книги / Термодинамика
..pdfИтак, развитие процесса представляется в следующем виде. На начальном участке трубы к движущемуся с небольшой скоростью потоку подводится теплота, вследствие чего скорость течения и число М начинают расти. Одно
временно растет и температура, которая при М = 1/'|/гй достигает максимума. Последующий подвод теплоты в до
звуковой области (1 /1 /^ < М < 1 ) сопровождается даль нейшим ростом числа М и скорости потока, но теперь уже при понижающейся температуре. После того как достигну то значение М =1, для увеличения скорости потока соглас но уравнению (16.36) теплоту следует уже не подводить, а отводить (dq<Z0).
Не вдаваясь в подробности, отмечаем, что в цилиндри ческой трубе ускорение потока с переходом от дозвуковых скоростей к сверхзвуковым достигается посредством по следовательного воздействия на поток внешним подводом и отводом теплоты. В связи с этим трубу, в которой осу ществляется такого рода процесс, уместно назвать тепло
в ы м с о п л о м .
Согласно изложенному сопло Лаваля не является единственным инструментом перехода через звуковую ско рость. Такой же эффект может быть достигнут с помощью как механического, так и теплового сопла. При этом во всех случаях переход через состояние, соответствующее условию М=1, требует изменения знака внешнего воздей ствия, посредством которого вызывается увеличение ско рости потока.
Рассмотрим влияние последнего слагаемого в левой ча сти уравнения (16.32) — работы трения d/Tp. Как и в пре дыдущих случаях, примем, что влияние всех остальных воздействий исключено: dF=dq=^dtr=0. Получаем урав нение
— (к/а2)dlrp= (М2—1 )dw/w, |
(16.40) |
согласно которому при дозвуковом течении (М<1) трение в цилиндрической трубе обусловливает увеличение скоро сти потока (dw>0). При этом, как следует из уравнения энергии
kj (k—1 )R dT = —wdw,
температура с ростом скорости падает и, следовательно,
уменьшается { скорость звука a=}fkRT. Таким образом, вниз по потоку число М растет, и при соответствующей длине трубы может быть достигнута звуковая скорость те чения (М =1), Однако в отличие от предыдущих случаев здесь выход в область сверхвузковых скоростей неосущест-
19* |
291 |
вим, так как величина d/Tp существенно положительна и, следовательно, изменение знака внешнего воздействия не возможно. Это означает, что условие М=1 может выпол няться только на выходном срезе трубы.
Нетрудно обнаружить, что при сверхзвуковых скоростях на входе в трубу наличие трения замедляет поток и приво дит к росту температуры. Очевидно, при этом число М па
дает, имея своим нижним пределом |
значение |
М =1, |
так |
как переход к дозвуковым скоростям |
согласно |
(16.40) |
не |
реализуем. Здесь необходимо оговориться, что уравнение (16.40) описывает непрерывные изменения скорости, тогда как в действительности торможение сверхзвукового потока происходит скачком с образованием ударной волны сжа тия. Впрочем, эффект удара не является неизбежным, по крайней мере с точки зрения термодинамики, однако обсуждение этого вопроса выходит за рамки рассматри ваемой темы.
Рассмотрим вопрос о влиянии трения на условия пере хода через критическую скорость для всех трех рассмо тренных ранее сопл: геометрического, механического и теп лового. Имеем соответственно
р= ( М * - 1 ) ^ ; |
(16.41) |
|
тр= (М2 - |
!) - i r ; |
(16-42) |
i - ^ T P = (Ms- |
1 ) ^ . |
(16.43) |
Согласно данному выше определению критические условия соответствуют ситуации, когда М=1, т. е. М2—1 = =0. Отсюда следует, что в уравнении (16.41) критические условия М=1 достигаются не в горле, а в расширяющейся
части сопла, где dF>0 (напомним, что |
всегда |
d/TP> 0). |
Этот результат согласуется с комментариями |
к формуле |
|
(16.30). Точно так же анализ уравнений |
(16.42) |
и (16.43) |
показывает, что при наличии трения процесс разгона дви жущейся среды до звуковой скорости затягивается на ту часть сопла, в которой при отсутствии трения наблюдал ся бы уже закритический режим.
Допустим теперь, что у нас имеется серия одинаковых во всех отношениях цилиндрических труб, различающихся только значениями коэффициента трения на внутренней поверхности (например, из-за различной шероховатости).
Примем, что dlT= d q = 0. Сравним параметры потока |
на |
выходе из этих труб при условии, что во всех случаях |
па- |
292
раметры на входе (Ро, v0) идентичны, одинаков также рас ход через трубы 0 • Очевидно, что согласно уравнению сплошности в этих условиях для всех труб
GiF = w /v= const;
отсюда ясно, что значения ш и v взаимио-однозначно свя заны. Очевидно, чем больше трение, тем больший перепад давления необходимо приложить к трубе, чтобы протолк
нуть через нее заданный рас |
|
||||||||
ход, |
и |
тем, |
следовательно, |
|
|||||
больше |
удельный |
объем |
на |
|
|||||
выходе |
из |
|
трубы |
|
(процесс |
|
|||
адиабатный). Таким |
|
образом, |
|
||||||
массовый расход во всех се |
|
||||||||
чениях трубы |
постоянен |
(6'= |
|
||||||
=const). |
Однако |
объемный |
|
||||||
расход |
(произведение |
Gv) |
от |
|
|||||
входного сечения К выходному |
|
||||||||
возрастает, и в тем большей |
|
||||||||
степени, |
чем |
больше |
трение. |
s |
|||||
Поскольку |
при фиксирован- |
||||||||
ной |
площади |
{F=z const) |
ско- |
Рис. 16.7 |
|||||
рость прямо |
пропорциональна |
|
объемному расходу, можно заключить, что для данной се рии труб скорость на выходе определяется уровнем их ше роховатости. При этом каждому уровню шероховатости соответствует вполне определенная комбинация параметров состояния на выходе, т. е- определенная точка i, s-диаграм ме. Геометрическое место таких точек (рис. 16.7) называ ется кривой Фанно по имени автора, впервые получившего их в 1904 г.
Выведем дифференциальное уравнение, определяющее вид кривой Фанно в i, s-диаграмме. Для этого обратимся
к уравнению T ds=di—dp/р; отсюда найдем |
|
di/ds=T+ {dpjds) /р. |
(16.44) |
Величину dp можно представить в виде |
|
dp= (dpldp)sdp-\-{dplds)pds. |
(16.45) |
Согласно (6.13) производим здесь замену (dp/ds) = —р2(дТ/др)а, кроме того, имеем (dpjdp)s= a2. Наконец на основе сопоставления уравнения энергии di-\-wdw=0 и за писанного для условия F=const уравнения сплошности dplp-\-dw Iw = 0 получаем dp—p (dityw2) . Подставив ука занные величины в (16.45), найдем
dp=a2pdi/w2+p2(dTjdp)sds. |
(16.46) |
293
Используя очевидное соотношение (р/Т) (дТ1др)а= (д 1п Т/д\пр)8у
на основе (16.44) и (16.46) приходим к дифференциально му уравнению кривой Фанно в окончательном виде:
di
(16.47)
ds
В уравнении (16.47) выражение в квадратных скобках всегда положительно, так как для всех реально применяе мых рабочих тел изменения Т и р вдоль изоэнтропы всегда
одного знака. В частности, для идеальных |
газов (Tvh~l= |
|||||
=const) |
сумма |
в |
скобках равна |
к. |
Следовательно, |
|
в (16.47) производная dijds отрицательна |
при |
М<1, по |
||||
ложительна при М>1 |
и неограниченно возрастает по абсо |
|||||
лютной величине при М=1. |
|
|
|
|||
Очевидно, что точки, отображающие состояние газа на |
||||||
выходе |
из трубы, |
располагаются на |
кривой |
Фанно тем |
ближе к точке 0, чем ниже уровень шероховатости. По мере роста шероховатости выходные скорости потока увеличи ваются, соответственно этому уменьшается энтальпия и ко нечная точка процесса сдвигается вправо вниз. Когда до стигается скорость звука (например, в точке У), наступает кризис и дальнейшее увличение скорости становится не возможным. Эту ситуацию следует понимать так, что при некотором достаточно высоком уровне шероховатости тру ба данных размеров не может пропустить заданный рас ход. Следовательно, чтобы получить технически возможное решение, надо изменить задание: либо уменьшить расход, либо взять трубу большего сечения, либо, наконец, исполь зовать трубу с более гладкой внутренней поверхностью. Первые два варианта изменения задания означают, что отношение G/F изменится, чему соответствует переход ко нечной точки процесса (например, точки 2) на другую кри вую Фанно. Таким образом, на поле iy 5-диаграммы для дозвуковых течений можно нанести множество идущих вправо вниз от точки 0 линий Фанно, характеризующихся различными значениями G/F Аналогично вправо вверх от точки 0 можно построить семейство кривых Фанно, соот ветствующих торможению первоначально сверхзвукового потока. Предельной линией семейства дозвуковых кривых Фанно является горизонталь i0=const, которая отображает процесс дросселирования и для которой G/F=0. По мере
увеличения наклона по отношению |
к этой |
горизонтали |
кривые Фанно соответствуют все |
большим |
значениям |
G/F. |
|
|
В Заклк)ченке более подробно остановимся hà вбпробё
об истечении через геометрическое |
сопло. |
Эта важная |
в практическом отношении задача |
обычно |
встречается |
в двух вариантах: заданы граничные условия — параметры потока на входе в сопло и выходе из него и режимный па раметр-расход, подлежат определению размера сопла; заданы параметры потока на входе и выходе и размеры сопла, подлежит определению расход. Первый вариант принято называть прямой задачей, второй — обратной.
Будем полагать, что на входе заданными всегда явля ются давление ро и удельный объем Vo (для идеального газа температура Т0). В выходном сечении сопла задаем ра— конечное давление или Яа — приведенную скорость. Параметры на входе в сопло и выходе из него вместе с рас ходом составляют краевые условия, т. е. условия, доста точные для получения единственного решения первого ва рианта задачи. Краевыми условиями во втором варианте являются параметры на входе и выходе и геометрия сопла.
Исследование изменения параметров в процессе истече ния начнем с рассмотрения удельного объема. Из формул (16.23) и (16.29) получим (обозначим Р=р/Ро):
VI П0= [ 1—Ч (1—Э^А*-1)) ] / р;
Здесь и далее для наглядности выводов используется уравнение адиабаты pyft=const, однако такой подход не обязателен, и на практике для идеальных газов расчеты истечения выполняются часто с помощью прямого построе ния соответствующих процессов на i, 5-диаграмме.
С помощью формул (16.8), (16.27) и (16.20) предста вим действительную скорость потока так:
= <рЯнд у / 2 ^ рЛ =«р 2 |
p0vt X |
X | / 1 -
где ф — коэффициент скорости. Подставив полученные со отношения в уравнение G=Fwjw, найдем
1 /(Ар—1)
(16.48)
0 = f / - 5r / 2 ^ ( r b )
где q — безразмерная величина, которая в зависимости от того, каким образом заданы краевые условия, может быть
Выражена через ра или ка. Имеем соответствен^ ^ + iy/№-D
|
Я— ? |
|
|
|
X |
|
1 — |
/ —И Pi*— | ", ч(,*)1;! ( 1 6 . 4 9 |
|
ik + |
о |
Ч>-^Г"7 (' |
k— 1 |
|
« = ( — ) |
|
k + \ |
||
|
|
|
|
(16.50) |
Расчеты по этим формулам можно существенно упро стить, если ввести хорошо известную газодинамическую функцию
„Р)=(‘4'У,,*“Yî±|ГKÎHF-\)Пг
или в другом представлении
По своему физическому смыслу эта функция представ ляет собой отношение удельного расхода (плотности тока рдо) в текущем сечении к его критическому значению. Вме сте с тем по отношению к функции q уравнений (16.49), (16.50) она является предельным случаем течения без по терь (г|=1). В дальнейшем будем помечать эту функцию индексом «ид» — в отличие от q(%a, т|) или <7(ра, г|).
Формула (16.49) легко приводится к виду
? = ? » » С " 1,'*/11чО - |
С6.49а) |
равным образом (16.50) преобразуется к виду
9 = |
+ |
~ 4 ) / * и д ] . |
(16.50а) |
Значения г/„„ и тид следует определять по таблицам га зодинамических функций, принимая в качестве аргумента Х„д=Х,а/ф или р.
296
Графики на рис. 16.8 позволяют наглядно представить ход решения прямой и обратной задач для сопла Лаваля. Как и ранее, везде полагаем, что вдоль каждой кривой q=f($) значение КПД не меняется. По отношению к реальной ситуации это является упрощением, особенно,
для диффузорной части сопла. Нетрудно увидеть, что из менение За или Ха вызывает перемещение выходного сече* ния сопла вдоль кривой l/q. Каждое значение q в интер вале qa—<7мдкс поток проходит дважды: один раз при до звуковой скорости, второй — при сверхзвуковой, что соот ветствует двум корням уравнений (16.49) или (16.50), при решении его относительно q.
Таким образом, точки каждой кривой, с одной сторо ны, соответствуют параметрам потока в последовательно расположенных сечениях данного сопла, характеризуемого только некоторым постоянным значением т]. Выбор значе ния Ха( Р а ) определяет выходное сечение — выделяет реа лизуемое в данном сопле течение. С другой стороны, каж дая кривая определяет для множества сопл, характеризуе мых данным значением т], изменение ца в зависимости от значения параметров (X или {$) в выходном сечении.
Кривая 1 представляет течение без потерь (т]=1), для кривых 2 и 3 значения КПД составляют т]2 и т|з, соответ ственно, причем т|3<Ст]2* На рис. 16.8,6 относительное дав ление р= р/р0 изменяется от 1 до 0. При этом <р-Я) соот ветствует истечение в абсолютный вакуум (/?->0), a fl-M отвечает отсутствию движения потока (р->Ро)- Величина 1jq пропорциональна относительной площади проходного сечения канала. При р = 0 и ($=1 эта площадь стремит ся к бесконечности. Для течения без потерь (кривая 1) минимальное значение площади, т. е. максимум функции
q (*7 = 1 ) и минимум функции |
\jqy имеет |
место при р = |
;= {2/k-\-l)hth- \ что очевидно |
совпадает |
с соответствую- |
2S7
щей из формул (16.28). При наличии потерь Рмакс<1, при чем, как показывают подробные расчеты, которые здесь не приведены, изменение <7макс практически пропорциональ но КПД процесса.
Функцию 1 /.<7 на рис. 16.8 можно понимать как отобра жение в некотором масштабе криволинейного обвода соп ла Лаваля, поток в котором направлен слева направо, истечение безотрывное и происходит в абсолютный ва куум, а горлу соответствует значение q = q Mauc Видно, что с ростом потерь (например, из-за роста шероховатости стенок канала) площадь, потребная для пропуска задан ного расхода (заметим, что массовые расходы во всех сравниваемых случаях одинаковы) возрастает; возрастает также давление в горле.
Рассмотрим несколько подробнее влияние потерь на изменение параметров потока в горле сопла. Условимся отмечать индексами: г — параметры в горле, * — парамет ры в критическом состоянии, -|---- параметры в горле при максимальном расходе через сопло. В случае отсутствия потерь, очевидно, однородные величины, отмеченные тре
мя указанными индексами, тождественны друг |
другу: |
Рг=Р+=Р»; р г = р + = р » ; Хг=А,+= 1 . При наличии |
потерь |
рг='Р+>'Р.; рг= р +>р*; Я.Г=Х < 1 . Значение С м ож ет быть определено из условия d q / d \ = 0, где q рассчитывается по формуле (16.50). Выполнив необходимые преобразования, найдем
|
X + = V \ - n )/2 + fe/(ft- 1 ) - " |
|
* - |
1 )1*-т)(£-1 )ям -Г). |
(16.51) |
Предельный |
переход к течению без потерь (ri=l) |
приво |
дит к тривиальному результату À+= l . Значение р+ (а зна чит и р+) можно найти из (16.29) после подстановки А,=Я,+. Из (16.51) видно, чем больше потери, тем меньше К+. При этом влияние потерь усиливается с ростом пока зателя адиабаты k. Хорошо известно, что при наличии потерь критические условия (т. е. совпадение скорости потока с местной скоростью звука) достигаются за гор лом— в расширяющейся части сопла Лаваля — это отчет ливо видно на рис. 16.8,а. Таким образом, получена пол ная иллюстрация соображений, высказанных ранее при обсуждении формулы (16.41).
Среди всех возможных режимов течения выделяется расчетный режим. Его отличительные признаки: совпаде ние давления р0 в выходном сечении сопла с давлением
298
рн в окружающей среде при Моно1чэнноМ возрастаний ско рости по длине сопла с переходом через скорость звука (для сужающегося сопла — с установлением в выходном сечении скорости, равной местной скорости звука). Соот ветственно этот режим характеризуется тем, что весь пере пад давления р0—ря срабатывается в пределах сопла. При
этом, как непосредственно видно из |
рис. 16.8, iq достигает |
||||
максимального |
значения |
в самом |
узком сечении |
(гор |
|
ле) при |
1 и затем в расширяющейся части монотонно |
||||
уменьшается |
вместе с падением р, проходя значение q(y\, |
||||
;U=1). Значения |
переменных в выходном сечении |
сопла |
в условиях расчетного режима принято называть расчет ными.
Для прямой задачи в условиях расчетного режима нет никаких ограничений в отношении выбора расхода и гра ничных условий, т. е. параметров потока перед соплом и на выходе из него (за исключением очевидного требования Ра<Р*). В принципе нет ограничений на выбор интенсив ности трения (1 > т 1 > 0 ).
Размеры сопла Fa и Fr и распределение параметров потока по длине легко определяются по графикам или по приведенным выше уравнениям.
Для обратной задачи, в отличие от прямой, ограничения на задание размеров сопла существуют. Нельзя при задан ном iPa (через граничные условия ра и рн ) произвольно выбирать сечения Fa и Fr, задача оказывается переопре деленной по той причине, что задание ра устанавли вает однозначно отношение FajFT. Действительно по за данному ра, при данном значении г|, (как это видно из графика) определяется qa. Значение q+ однозначно опре деляется заданием т]. Но из постоянства расхода следует qalq+=FrlFa и поэтому произвольно можно задавать пло щадь только одного сечения. Введя обозначение FalFT= m , запишем Fa=mFr, или Fv= F ajm, Очевидно
m = q alq+. |
|
(16.52) |
|
Расход определяется из |
(16.48) |
по |
произведению |
q+FT или qaFa>в зависимости |
от того, |
какая |
из площадей |
задана по условию. Существенно, что во всех случаях рас пределение параметров потока вдоль сопла (по F/Fr) опре деляется непосредственно по значениям q, которые можно, в свою очередь, найти на основании инвариантности про изведения qF.
В сужающемся сопле, как хорошо известно, развитие процесса неизбежно ограничено (в рамках одномерной мо дели) наступлением кризиса. Следовательно применение
рассматриваемого расчетного аппарата для этого случая должно быть ограничено областью дозвукового течения.
Возвращаясь к течению через сопло Лаваля, рассмо трим вопрос о влиянии постепенного повышения противо давления, по сравнению с расчетным его значением Рн= = р а расч. Изменение картины течения начинается с пере мещения скачков уплотнения, расположенных за соплом, по направлению к выходному сечению сопла. До тех пор пока скачок не достигает выходного сечения, течение вну три сопла остается неизменным и ра—ра/р0 сохраняет рас четное значение. В момент совмещения места скачка с вы ходным сечением происходит скачкообразное возрастание ра до давления, соответствующего дозвуковой скорости по тока за скачком, и вместе с ним ра.
Дальнейшее увеличение рн сопровождается перемеще нием скачка уплотнения вглубь сопла. При этом в расши ряющейся части сопла возникает область дозвукового те чения, в которой в связи с d F > 0 происходит торможение потока с восстановлением давления до ра=Рн.
Таким образом, для нерасчетных режимов истечения этого типа характерно существование в расширяющейся части сопла двух зон течения, разграниченных скачком — сверхзвукового ускоряющегося и дозвукового замедляюще гося. Для уточнения напомним, что между горлом и кри тическим сечением находится еще одна зона дозвукового ускоренного течения весьма малой протяженности.
Возмущения, исходящие из окружающей среды (за сре зом сопла), не могут проникнуть через зону сверхзвукового течения. Поэтому, несмотря на изменение ра (соответствен но повышению рн), расход и распределение всех параме тров вдоль потока в области, замыкаемой скачком, сохра няются такими же, как и в расчетном режиме (в том чис
ле Хг=А+, qT= q +, Рг=Р+).
Здесь подчеркнем еще раз, что решение любого вопроса, связанное с рассмотрением эффекта скачка уплотнения, выходит за пределы термодинамики. Поэтому мы ограни чимся кратким рассмотрением существа основных зависи мостей, устанавливаемых совместно термодинамикой и га зодинамикой.
Прямая задача. F r определяется так же, как и для расчетного режима. В отличие от этого, для определения Fa условия задачи должны быть дополнены заданием ме стоположения скачка. Тогда привлечение уравнений одно мерной газовой динамики, связывающих между собой зна чения параметров до скачка и после него, позволит опре делить состояние потока в начальном сечении дозвуковой