книги / Термодинамика
..pdfк концу процесса. В таком случае знак работы будет пблу^ чаться автоматически.
Теплота изотермического процесса подсчитывается, как было показано, через работу. Пользоваться здесь поняти ем теплоемкости не приходится, так как она равна беско нечности и после умножения на dT= 0 дает неопределен ность.
5.6. Адиабатный процесс
По определению адиабатный процесс имеет место, если ôq=0, т. е. теплообмен с окружающей средой исключен. Строго говоря, процесс может быть осуществлен в таком замкнутом пространстве, границы которого являются аб солютными тепловыми изоляторами. Таких абсолютно те плонепроницаемых материалов в действительности не су ществует. Тем не менее выводы, вытекающие из условия ôq=0, остаются практически справедливыми для всех тех случаев, когда теплота процесса пренебрежимо мала по сравнению с соответствующей работой.
Универсального критерия практической применимости уравнения адиабаты к описанию реальных процессов пред ложить нельзя. В каждом отдельном случае следует про анализировать условия процесса под углом зрения законо мерности его схематизации. Однако существует один при знак, который обычно позволяет судить о приближении физического явления к адиабатным условиям. Таким при знаком служит быстротечность процесса.
Обратимся, например, к процессу, происходящему в стволе орудия при выстреле. Пороховые газы производят громадную работу ускорения снаряда в столь малые про межутки времени, что по сравнению с этой работой коли чество отдаваемой стенкам теплоты пренебрежимо мало. Здесь мы встречаемся с нестационарным процессом, время развития которого значительно меньше времени релакса ции температурного поля в толстостенном металле. Другой пример, относящийся уже к стационарным условиям,— протекание газа в лопаточных каналах газовой турбины. Скорости течения составляют несколько сот метров в се кунду. Поэтому время соприкосновения со стенками како го-либо одного элемента струп очеЪь незначительно. За это малое время отдача теплоты холодным лопаткам чрез вычайно мала, тогда как совершаемая работа существен на. Большие по абсолютному значению потери теплоты в окружающую среду объясняются в подобных случаях тем, что сумма даже ничтожных удельных (отнесенных
6—3038 |
81 |
к i кг рабочего тела) потерь +еплоты может Достигать больших значений при многократном повторении (много выстрелов в минуту) или достаточно длительном непре рывном воздействии (стационарное протекание сквозь тур бину значительных массовых расходов газа). Таким обра зом, основанием для рассмотрения процесса, аналогичного адиабатному, служит утверждение, что отношение бq/Ы представляет собой достаточно малую величину, хотя в ре зультате продолжительного функционирования итоговый теплообмен с внешней средой может оказаться большим.
Остановимся теперь на формальной стороне определе ния процесса. Первоначально в качестве определяющего уравнения адиабаты было принято условие б<7=0. Возни кает вопрос, можно ли признать адиабатным всякий ко нечный процесс 1—2, который характеризуется условием <7I_2=0? Примером такого процесса может служить в ос новных чертах сжатие газов в цилиндре двигателя внут реннего сгорания. Температура газов в начале сжатия всегда ниже температуры стенок. Несмотря на охлаждение стенок проточной водой, по мере повышения давления при сжатии повышается и температура в цилиндре. Вследствие этого температура газов в конце хода сжатия оказывается выше температуры стенок. Очевидно, если в начале хода сжатия газ получает теплоту от стенок, то в конце хода он отдает теплоту более холодным стенкам. В итоге может случиться (и часто случается), что алгебраическая сумма элементарных количеств теплоты вдоль всей линии сжатия мало отличается от нуля: <7I_2=2Ô<7=%S0. Однако это вовсе не свидетельствует об адиабатности процесса на всем его протяжении.
Итак, условие <7I_2=0 является необходимым для утверждения адиабатности процесса, но не достаточным, поскольку оно может быть следствием скомпеисированности положительных и отрицательных теплот. Совершенно неверным было бы утверждение о том, что для адиабаты <7=const, где const — любое, в том числе значащее число. Ситуация здесь аналогична случаю изохоры, применитель но к которой dl= 0, но отнюдь не Z=const (см. § 5.2).
Полагая в выражении первого начала dq=0, получаем du-\-dl—0\ ii\—«2=ZI- 2 - Это означает, что при адиабатном процессе работа совершается за счет внутренней энергии тела. Наоборот, совершение работы над телом, т. е. сжа тие, обусловливает тождественное увеличение внутренней энергии. Так как для идеальных газов du=cvdT, то
dl= —dii:=—cvdT\ /i_2=Mi—th—Cv(T\—T%), (5.6)
Следовательно, при адиабатном расширении (rf/>0) тем пература газа падает ( d T < 0), а при сжатии — растет.
Установим связь между р и v , исключив d T из взятого в дифференциальной форме термического уравнения со
стояния,
но |
|
|
|
p d v - \ - v d p = R d T , |
|
|
|
d T = — d l/c v= — p d v / c v, |
|||
поэтому |
|
||||
|
|
|
|
||
|
p d v - \ - v d p = — ( R /c v) p d u , или pdü(l+/?/cv)-füdp=0. |
||||
Но |
|
—cVl следовательно, |
|
||
|
|
|
|
{ c v/ c v) p d v + v d p = 0. |
|
но, |
Отношение |
к |
обозначаемое, как уже было сказа |
||
через k, является физической |
константой. Поскольку |
||||
c v |
и |
зависят |
от |
температуры, |
k также оказывается |
функцией температуры. Из простого преобразования вид но, что величина k , называемая показателем адиабаты, при увеличении температуры приближается сверху к еди нице, так как cv при этом монотонно возрастает,
k = c v l c v= 1-\-R fc v= f (T ) .
Итак,
k p d v + v d p = 0 y или k d v / v - \ - d p / p = 0. |
(5.7) |
Это уравнение представляет собой уравнение адиабаты в дифференциальном виде. Непосредственное интегрирова ние его возможно, если рассматривать k как постоянную. Тогда A ln ü+lnp=const и
p v h= const. |
(5.8) |
Разумеется, что вывод справедлив только в предполо жении об обратимости процесса.
В принципе было бы точнее принять при интегрирова нии, что k является линейной (убывающей) функцией тем пературы. Однако это отнюдь не очень точное приближе ние приводит к такой усложненной конечной формуле, что практического распространения оно не получило. Тем бо лее нет необходимости прибегать к следующим приближе ниям.- Таким образом, расчетные формулы для адиабаты строятся так, как будто теплоемкости газа остаются по стоянными, хотя это справедливо только для одноатомных газов1. Разумеется, улучшенный результат расчета полу-
1Заметим, что k=cP/cv является существенно более слабой функ цией температуры, чем сами теплоемкости. Поэтому допущение к—
=const не является столь грубым, как предположение о постоянстве теплоемкости. (Прим, рсд.)
G*
чается при подстановке в формулу среднего значения k (или cv) в заданном интервале температур. Если одна из крайних температур наперед неизвестна, то задача решает ся методом последовательных приближений. Ниже будут описаны диаграммы температура — энтропия газа, с по мощью которых задачи могут решаться графически с уче том сколь угодно сложной зависимости теплоемкости от температуры.
Изображением адиабат (рис. 5.5) согласно формуле (5.8) служит семейство неравнобочных гипербол, коорди-
Рис. 5.5 Рис. 5.6
натами которых являются величины рм, vM, где индексами отмечены такие точки, через которые мы хотим провести ту или иную адиабату. Поскольку всегда Л >1, последние
|
проходят |
круче |
изотерм. Физиче |
||||
|
ское |
объяснение |
этого заключается |
||||
|
в том, что, как было отмечено, |
при |
|||||
|
расширении вдоль |
адиабаты |
тем |
||||
|
пература газа падает, а состояниям |
||||||
|
с падающей температурой отвечают |
||||||
|
точки под изотермой. Поэтому, кста |
||||||
|
ти, работа |
адиабатного расширения |
|||||
|
от |
произвольного |
начального |
со |
|||
Рис. 5.7 |
стояния р0, ÜO ДО некоторого фикси |
||||||
рованного объема V меньше изотер |
|||||||
|
|||||||
мической работы газа, совершаемой в тех же границах (рис. 5.6).
Другие геометрические свойства адиабаты в р, v- коор динатах таковы: 1) касательная к линии адиабаты накло нена к оси v под углом ср, тангенс которого равен —kp/v, и 2) подкасательная равна —v/k (рис. 5.7).
Чтобы найти уравнение адиабаты в Т, ^-координатах, исключим из выражения (5.8) давление с помощью
84
термического уравнения состояния:
p u k= ( R T j v ) v h= R T v h- i= |
const; |
Tvh- l= const. |
(5.9) |
Аналогичным образом находим |
|
(T Ip )(h- W k= const. |
(5.10) |
Для работы при адиабатном процессе было найдено выра жение /i_2=wi—и2. При расчетах часто бывает удобнее
пользоваться |
формулами иного вида, |
получаемыми непо- |
|
|
2 |
средственным |
вычислением интеграла |
j*pdv. Нужно заме- |
|
|
i |
тить, что если вычисление работы через убыль внутренней энергии дает точный результат при любом поведении теп лоемкости cv в зависимости от температуры, то все форму лы, начиная с (5.8), содержащие показатель /г, справедли вы в приближении, соответствующем независимости k от температуры. Имеем
1,., = ^ pdv = |
const [ -d j = ^ - {v\~k - v'-"), |
i |
i |
где const= p\vh\= p2vk2- Вводя значение const в скобки, находим
или
'. - г= й = г ( 7 \ - 7 \ ) .
Последнее выражение интересно тем, что оно совпадает (поскольку R=Cp—cv и k= cp/cv) с формулой (5.6), полу ченной непосредственно из выражения для первого начала
(и, следовательно, |
является точным). При сопоставлении |
с формулой (5.3) |
оно показывает, что в пределах между |
одинаковыми изотермами работа адиабатного процесса в (k—1) раз меньше работы изобарного процесса.
Заменяя в (5.11) отношение Тг\Ту из формул (5.10) и (5.9), находим также
, _ ( А ) '* - '* ] . (5 12)
При выборе той или иной формулы для работы следует руководствоваться соображениями об удобстве вычислений. При расчетах нужно учитывать, что для одноатомных га зов в соответствии с теорией A=const=l,67; для двухатом ных газов (кроме водорода) и их смесей при комнатной температуре £=1,40, что согласуется с классической кине тической теорией (для водорода Æ=1,41 ). При 1000°С k = =1,30-ь-1,32, для водорода 1,36. Нужные значения получа ются из таблиц.
5.7. Энтропия идеального газа
Как мы видели, существуют три комбинации термиче ских параметров (pvk, Го*-1, T/p^-W*), каждая из которых сохраняет постоянное значение при адиабатном изменении состояния газов. Всякой точке на плоскостях р, v\ T, v и Т, р соответствует определенное числовое значение каждой из комбинаций pvk, Tvk~x и и это числовое значение с', с" или с"' является параметром тех не пересекающихся друг с другом линий адиабат, которые заполняют соответ ствующие координатные плоскости.
Полезно отметить, что адиабатность изменения состоя ния газов равноценна требованию, чтобы дифференциал каждого из указанных параметров был равен нулю: при бр=0 должно быть dc=0. Напротив, при 6чФ 0 и йсф0. Кроме того, сообщение газу теплоты заставляет линии про цесса отклоняться в ту сторону, где проходят адиабаты с большими значениями параметра с, и наоборот, т. е. при àq>0 должно быть d c > 0, при бр<0 должно быть dc<0. Таким образом, для идеальных газов существуют такие
функции |
состояния с'=с'(р, v), с"=с"(Т, |
о) и с'"= |
= с"'(Т, |
р), которые увеличиваются при |
теплоподводе, |
уменьшаются при теплоотводе и остаются постоянными при условии адиабатности.
В противоположность ôq величины de', de" и de"' явля ются полными дифференциалами. С точки зрения матема тики это означает, что бр имеет ряд интегрирующих мно жителей, т. е. таких функций состояния, умножив на кото рую величину бq, получаем полный дифференциал некото рых новых функций состояния. То, что применительно к идеальным газам сама величина ôq не есть полный диф ференциал, видно из выражения первого начала ôр = = cvdT + pdu. Рассмотрим накрест взятые первые производ ные от коэффициентов при dT и dv (71CVI0V) T, (<9р/г77)г. Первая из них равна нулю, так как в данном случае (иде альный газ) теплоемкость cv не зависит от объема. Между
80
тгём второй производная равна R/и, т. é. непременно ofjiîi^ чается от нуля. Таким образом, выражение ôq через неза висимые переменные не удовлетворяет требованиям, предъ являемым к полным дифференциалам, что, разумеется, и не могло быть иначе, как это ясно из физических сообра жений, изложенных в начале книги.
Умножим теперь бq на некоторую, наперед не установ ленную функцию состояния газа А,, приняв за независимые переменные, например, Т и v, и потребуем, чтобы Xôq= =г/ф; cvXdT+ pXdv=d'ty, где с/ф должно быть полным диф ференциалом. Приравняв накрест взятые производные от коэффициентов при dT и dv, получим уравнение для на хождения общего вида функции Х(Т, v). Частных видов этой функции существует произвольно большое число. Дей ствительно, допустим, что найден один из частных видов
ко(Т, v), так что
dtyo=c»h4T+pXodv.
Если мы введем любую однозначную функцию Ф(фо), то произведение Ф(фо) йфо можно рассматривать как полный дифференциал некоторой новой функции состояния Й =
=Q(T, v):
dQ—Ф(фо)^фо=сДоФ (гро)dT+ рХоФ (tpo)dv.
Дсно теперь, что интегрирующим множителем для ôq слу жит также произведение ЯоФ ("фо)-
В математическом отношении все возможные интегри рующие множители равноценны. Поэтому преимущество одних множителей перед другими следует искать, если воз можно, в их физическом смысле. Вспоминая сказанное по поводу формулы (2.11), замечаем, что существенно важно разыскать тот интегрирующий множитель, который был бы функцией одной только температуры (здесь мы временно возвращаемся к температуре, показываемой идеально-га зовым термометром). Кроме того, целесообразно в нашем случае оперировать интегрирующим множителем вида 1/0 стем, чтобы привести величину б<7 к выражению типа tjdX. Итак, полагая ©=©(7'г), ставим задачу раскрыть вид этой функции применительно к идеальным газам в предположе нии о равновесности процесса.
Из формулы (cvl&)dTr+ (p/Q)dv—d\|) должно вытекать, что
д(рЪ)
дТг
Так как cv й Ô не зависят от v и (d®ldTr)v=d@/dTr, то
¥ ( ^ 1 |
de |
А |
1 |
P |
е2 </гг |
= 0 |
ИЛИ — |
- J1Tг- — в2 </7Y |
Ьткуда d@l®=dTrlTT\ dln(0/7’r)=O и, наконец, 0=/СГг, где К — произвольная постоянная, которую ничто не меша ет принять равной единице. В таком случае 0 = Г г.
Таким образом, в качестве интегрирующего множителя для àq в случае идеальных газов служит среди прочих величина, обратная абсолютно-газовой температуре. Част ное значение функции ф, отвечающее этому интегрирующе му множителю, обозначим через s и назовем его энтропией
(удельной) идеального газа. Имеем |
|
ds=ôq/TT; 8q=Trds; 8Q=TTdS. |
(5.13) |
Как видим, если бы мы воспользовались идеальным га зом (в качестве посредника) для мысленного выполнения процедуры, описанной в § 2.5 при обсуждении идеи по строения абсолютной термодинамической шкалы темпера тур, то нашли бы, что 7Vi/7,r2=Qi/Q2 вместо полученного там выражения Ti/ 7,2= Q I/Q2. Это означает, что идеально газовая температура Ттсовпадает с абсолютной термоди намической температурой Т [см. (3.6)]. Следовательно, выражения (5.13) можно переписать в виде
ds=8qlT; bq=Tds\ ôQ = TdS. |
(5.14) |
||
Выразим теперь новую функцию состояния 5 |
в зависи |
||
мости от попарно взятых термических параметров. |
|||
Выражая 8q через независимые Т и v, имеем |
|
||
ds=cvdT\Т +R dv/v. |
(5.15) |
||
Учитывая, что dvjv=dTjT—dpfp\ |
dT/T=dplp + dv/v; |
||
cp—cv=R, можно получить также |
|
|
|
ds=cpdT IT—Rdp fp=cvdp/p+cpdv/ v. |
(5.16) |
||
Из последних формул получаем |
|
|
|
s = ГcvdTjT + |
R In и + |
s0; |
(5.17) |
s = j c„liT !T — R In p-\- s„ ~ |
cvdp!p -J- j Cpdvjv -j- s„. (5.18) |
||
Если считать теплоемкости постоянными, то соответственно находим
s = c v \nT-\-R In у + 5 0; |
( 5 . 1 9 ) |
s= cp ln T—R ln p + sQ= cv In p + C p In y-hso. |
(5.20) |
Фигурирующая в этих формулах величина so является про извольной постоянной. В технических приложениях эта не определенность не вызывает затруднений, так как можно ограничиваться вычислением только разностей энтропии.
Имея в виду, что сР/с„=й; R/cv= k —1; R/cp= ( k —l ) /к, формулы (5.19) и (5.20) представим также в виде
|
s= cv ln(7'ü/f_1) +so; |
s cpln |
- f s0 = ca ln {pvk) + |
Таким образом, оказывается, что энтропия идеального га за при постоянных теплоемкостях пропорциональна (с точ ностью до произвольной постоянной) логарифмам найден ных ранее параметров адиабаты с\ с" и с'”
Как видим, если бы нам пришлось иметь дело только с идеальными газами, то особой необходимости введения в анализ энтропии не было бы. Можно было бы непосред ственно доказать, что посредством только механического воздействия на газ нельзя из данного состояния перевести его в любое смежное: при наличии одной степени свобо ды через некоторую точку на поверхности состояний Ф(р, и, Г ) = 0 можно провести единственную линию процес са. Проецируя последнюю на одну из трех координатных плоскостей, получаем соответствующие уравнения (с= =const) или «разрешенные адиабатой» изменения состоя ния. Смещения в «не разрешенных адиабатой» направле ниях требуют включения надлежащего теплообмена с окру жающей средой. Констатируя указанные формы реакции идеальных газов на внешние воздействия словами «энтро пия остается постоянной», «энтропия изменяется в такуюто сторону», мы попросту прибегаем к обобщенному языку. Однако физическое содержание этих словосочетаний очень велико, поскольку ими фиксируется существование особой координаты состояния, сопряженной со своей обобщенной
силой — температурой и |
поддающейся изменению |
только |
||||
под действием |
теплового |
воздействия. |
Переход |
системы |
||
в состояния, |
не |
принадлежащие |
данной |
адиабате («сход |
||
с адиабаты»), |
требует включения |
воздействия нового (не |
||||
механического) |
рода — теплового, |
которому соответствует |
||||
новая обобщенная координата — энтропия. Благодаря чрез вычайной простоте свойств идеальных газов для них такое умозаключение является математически очевидным. Вовсе не так просто обстоит дело применительно к сложным термодинамическим системам, тем более к таким, для кото рых уравнение, аналогичное термическому уравнению со
стояния идеальных газов, неизвестно. Между тем, как мы увидим дальше, роль энтропии и в теоретическом плане, и в практическом приложении исключительно велика. По этому уже в термодинамике газов это понятие нужно осво ить как можно лучше.
5.8. Тепловая диаграмма
Формула (5.14) и вытекающие из нее частные формулы имеют большое практическое значение в связи с возмож ностью построения на их основе тепловой диаграммы иде альных газов, облегчающей расширение многих задач, в частности выполнение расчетов адиабаты при перемен ных теплоемкостях и анализ КПД теоретических циклов двигателей.
Рис. 5.9
Легко видеть, что в координатах T, s изменение состоя ния идеального газа изображается линией, площадь под которой дает в соответствующем масштабе количество под веденной теплоты (рис. 5.8), подобно тому как в коорди натах р, и аналогичная площадь определяла работу. Поэтому, если р, и-диаграмму называют рабочей, то Г, s- диаграмму можно назвать тепловой. Линии, отклоняющей ся вправо, в сторону возрастающей энтропии, соответствует подвод теплоты к газу; линии, отклоняющейся влево, в сто рону убывающей энтропии, отвечает отвод теплоты от га за. Адиабата изображается вертикальным отрезком незави симо от того, считается ли теплоемкость газа постоянной или переменной. Движение вниз по вертикали сопряжено с расширением газа, так как при адиабатном расширении температура должна падать. Движение вверх по вертика ли сопряжено с адиабатным сжатием газа. Изотермический процесс изображается горизонтальным отрезком. При пе ремещении вправо по горизонтали мад имеем изотермич^-