книги / Теория инженерного эксперимента

Предполагается, что данные, представленные в этой таблице, являются чисто случайными и образуют пуассо­ новский ряд. Справедливо ли такое утверждение для этих данных?

Фи г . 8.3. Распределение числа частиц ^космического излучения (данные из примера 8.3).ТПрямая изображает соответствующее теоретическое пуассоновское распределение.

Е п X ni — число минут, когда число частиц равно л, умноженное на л1;

п— число частиц за минуту.

'Решение. Представим полученные результаты в' виде следующей таблицы*

Построим график, откладывая на линейной оси абсцисс значения п, а на логарифмической оси ординат значения E„xni, как показано на фиг. 8.3. Первые^четыре точки располагаются вблизи прямой, а пятая точка отклонилась вверх. Однако следует заметить, что отдельные отсчеты могут иметь значительные отклонения. Нижние значе­ ния п являются наиболее значимыми, что свидетельствует о хорошем соответствии пуассоновскому распределению. Более строгую проверку можно провести с помощью кри­ терия х2Среднее число событий m равно 87/60, или 1,45. Зная эту величину, по формуле (8.5) можно вычислить предсказанное значение Еп для каждого п. Получаем следующие результаты:

| Здесь предсказанные значения округлены до ближай­ шего целого числа. Используя ту же методику, что и в примере 8 .1 , находим ха:

Число степеней свободы равно трем. Из фиг. 8 . 1 видно, что вероятность появления этого или большего значения X2 составляет почти 0,99. Таким образом, гипотеза о том, что обе эти выборки данных относятся к одной и той же совокупности, является почти достоверной, и результа-

ты проверки с помощью критерия х2 соответствуют ре­ зультатам приближенной графической проверки1.

Пример 8.4. За определенный период на одной из фаб­ рик было обследовано 647 работниц. Число производст­ венных травм, полученных каждой из них, имеет следую­ щее распределение:

Можно ли считать, что число травм носит случайный ха­ рактер и подчиняется пуассоновскому распределению?

' Решение. Как и ранее, составим таблицу, необходи­ мую для выполнения графической проверки:

Построив зависимость Enti\ от п, видим, что график имеет мало сходства с прямой линией, несмотря на то что на глаз кажется, что табличные данные имеют пуассо­ новское распределение. С помощью критерия X2 получим, что вероятность того, что это распределение совпадает с пуассоновским, меньше 0,1%. Таким образом, мы при­ ходим к выводу, что число травм работниц фабрики не подчиняется пуассоновскому распределению. Причина этого расхождения имеет важное значение и может дать некоторое представление о том, почему некоторые распре­ деления отличаются от пуассоновского. Если бы каждая из 647 работниц находилась в почти одинаково опасных условиях и, кроме того, каждая из них имела бы одина­ ковую предрасположенность к производственному трав­ матизму, то для всех работниц вероятность получения производственной травмы была бьГодинаковой. Если бы получение одной производственной’травмы не оказывало существенного влияния на последующее поведение ра­ ботницы, то вероятность повторного травматизма при возвращении на работу была бы почти такой же, что и вероятность (для других работниц) получить первую про­ изводственную травму. Таким образом, некоторым ра­ ботницам не повезет и они получат одну производствен­ ную травму, другим же может не повезти еще больше и они получат по две травмы и'т. д. Из'фиг. 8.4 видно, что очень много работниц получили по две или более травм. Не следует удивляться тому, что эти точки находятся

большую осторожность и избегать появления второй травмы.

Здесь мы сталкиваемся с явлением различной подвер­ женности рабочих производственным травмам/ Группа из 647 работниц не является однородной с точки зрения подверженности травмам. По-видимому, здесь имеется несколько групп с различной подверженностью произ­ водственному травматизму. Таким образом, 4 основное до­ пущение о’том, что все работницы одинаково подвержены производственному травматизму, явно несправедливо. Совершенно очевидно,' что большое число работниц, по­

лучивших три, четыре и пять производственных травм, принадлежат к отдельным группам1.

Ф и г . 8.4. Данные о числе производственных травм из примера 8.4, нанесенные на вероятностную бумагу для пуассоновского рас­ пределения. Прямая изображает соответствующее теоретическое

распределение.

Еп X п\ — число работниц, имевших п производственных травм, умноженное на п\\ п — число производственных травм, полученных одной работницей.

8 .6 . Выводы и обсуждение результатов

Рассмотрев в данной главе критерии х2 и /, а также пуассоновское распределение, мы лишь поверхностно затронули некоторые вопросы математической статисти-

1 Эти данные приведены в работе [7]. По существу это составное пуассоновское распределение, и хорошего соответствия можно до­ стигнуть при допущении, что все работницы по их подверженности производственным травмам делятся на две отдельные группы. Это распределение является предметом более детального математическо­ го исследования.

ки, и автор не ставил целью более углубленное ее изуче­ ние. Однако читатель при желании может перейти от рассмотренных здесь простых методов оценки значимости к другим более сложным проверкам. И даже если чита­ тель никогда ранее не прочел ни строчки о статистическом выводе, на данном этапе он уже может иметь некоторое представление об этом вопросе, о способах статистическо­ го анализа и характере утверждений и выводов, которых можно ожидать от специалиста в области математической статистики.

Эти замечания сделаны не для того, чтобы уменьшить важность рассмотренных здесь методов. Эти методы про­ сты, их применение требует совсем немного времени и, кроме того, они имеют большую практическую ценность для инженеров-механиков, инженеров-строителей и ин- женеров-электротехников. В учебных лабораториях ме­ ханического, химического и электротехнического профи­ ля любые статистические проверки можно выполнить с помощью критерия х8 или t. После нормального закона наибольшее применение находит пуассоновское распре­ деление. Оно является основным во всех промышленных экспериментах и при испытаниях на долговечность. Крат­ ко обобщим рассмотренные методы и укажем некоторые более сложные вопросы, которые можно найти во многих книгах по математической статистике.

Какой бы статистический критерий ни был выбран, существует возможность появления ошибок двух'видов: ошибки первого рода, когда мы приписываем получен­ ным данным эффект, которого в действительности нет, и ошибки второго рода, когда мы исключаем как незна­ чимый эффект, который в действительности является зна­ чимым. Эти два вида ошибок являются взаимно исключаю­ щими. Это означает, что если установить очень жесткий критерий для уровня значимости, то существует^риск до­ пустить ошибку второго рода, но фактически исключается ошибка первого рода. С другой стороны, если ослабить требования к величине вероятности отклонения гипоте­ зы, то значительно увеличивается опасность появления ошибки первого рода, но почти исключается ошибка вто­ рого рода. Не существует какого-либо твердого правила, устанавливающего, какая из этих двух ошибок более же­

лательна; решение зависит от многих факторов, в том числе моральных и экономических.

Во многих случаях могут быть ^получены данные в виде числа объектов, числа событий и т. д. Если на осно­ ве теории или простых вероятностных рассуждений ожи­ дается, что эти числа имеют некоторое распределение, то необходимо проверить, совпадают ли наблюдаемые дан­ ные с ожидаемыми результатами или отличаются от них. При таком анализе обычно используется критерий х2* При проверке с помощью этого критерия основная гипо­ теза формулируется следующим образом: «Наблюдаемые числа и ожидаемые числа относятся к одной совокуп­ ности». После вычисления числа степейей свободы и значе­ ния х2 с помощью графиков или таблиц находится вероят­ ность появления этого или большего значения х2, если эти две группы чисел действительно относятся к одной гене­ ральной совокупности. Если Р = 0,05, то это означает, что лишь в одном случае из 2 0 мы получим наблюдаемые данные, если гипотеза верна. Р = 0,001 означает, что наблюдаемое (или большее) значение х2 может появиться только в одном случае из тысячи, если гипотеза верна. При вероятности'/5, меньшей 0 , 0 2или 0,01, обычно счи­ тают, что гипотеза^неверна и что две группы чисел отно­ сятся к различным совокупностям.

Критерий х2 применяется при любых видах контроля продукции, при оценке влияния материалов, рабочих смен, методов и при общей проверке распределений. Часто мы имеем ряд повторных отсчетов, несколько одинако­ вых деталей, станков, приборов или ряд решений, прини­ маемых человеком, и т. д. Необходимо сравнить данную группу отсчетов с другой группой отсчетов, получен­ ных другим оператором, на другом приборе и т. д. Для такой проверки используется критерий t Стьюдента. В данном случае имеем следующую гипотезу: «Получен­ ные две группы повторных отсчетов принадлежат одной и той же совокупности». После определения вероятности Р остаются в силе все идеи, рассмотренные при использо­ вании критерия х2- Мы не рассматривали применение критерия t при сравнении группы повторных отсчетов с данным значением; этот вопрос изложен в любом учеб­ нике по математической статистике.

Эти два критерия применяются в самых различных инженерных задачах. Если имеется несколько совокуп­ ностей повторных измерений, то можно сравнить их с выбранной совокупностью, используя критерий t несколь­ ко раз. Для сравнения нескольких распределений чисел необходимо использовать несколько критериев X2. Одна­ ко существует много других статистических критериев, применяемых в более сложных инженерных задачах. Пусть, например, необходимо узнать, действительно ли изменение независимой переменной X оказывает влияние на зависимую переменную Y. Обычно на график наносят­ ся значения двух переменных. Но иногда данные могут иметь настолько большой разброс, что бывает трудно узнать, действительно ли между ними существует какаялибо зависимость. Математик исследует эту проблему с помощью коэффициента корреляции и регрессионного ана­ лиза, используя F-распределение и, возможно, ряд дру­ гих средств и математических приемов. Этот раздел мате­ матической статистики называется дисперсионным ана­ лизом. В случае непрерывных данных может быть по­ строена контрольная карта, позволяющая не только следить за ошибками эксперимента, но и выполнять текущую проверку резко отклоняющихся значений (см. разд. 7.5), а также определить, существует ли зависи­ мость между переменными, имеющими большой разброс. Читатель может найти этот материал в ряде книг по ма­ тематической статистике различной степени трудности.

Наиболее широко применяется хорошо известное нор­ мальное распределение. Его вывод основан на идее со­ вместного воздействия большого числа малых ошибок или отклонений, вызывающего суммарное отклонение или ошибку. Если изучается аналогичная ситуация, но ре­ зультаты имеют нулевой предел, то получаем асимме­ тричное распределение типа пуассоновского. Проверить соответствие пуассоновскому распределению можно точно так же, как проверялось соответствие нормальному рас­ пределению, а именно путем нанесения на график данных таким способом, чтобы получить прямую. Более точным показателем сходства (или отсутствия сходства) между полученными данными и пуассоновским распределением является критерий у2. Доказательство существования

пуассоновского распределения играет важную роль, так как это свидетельствует о том, что полученные данные являются результатом случайных событий. Отклонение распределения числа частиц космического излучения от пуассоновского указывает на то, что в процессе экспери­ мента изменилась вероятность появления данного числа частиц либо, что счетчик перегружен и при более высоких

Время работы — ►

Фи г . 8.5. Схема возможного распределения отказов. Ряд изде­ лий выходит из строя в начальный период эксплуатации («при рож­ дении»), а остальные становятся «взрослыми» и выходят из строя главным образом вследствие старения. Для такой плотности рас­ пределения время, по-видимому, следует откладывать в логарифми­

ческом масштабе.

интенсивностях излучения дает заниженные показания. Отклонение распределения числа бракованных деталей от пуассоновского говорит о том,- что вероятность браков­ ки различна для каждого станка, каждой рабочей смены и каждого рабочего. Отклонение распределения вещества во вселенной от пуассоновского может подсказать новые глубокие идеи в области космологии. Для распределений случайных событий, которые не обрываются в нулевой точке, следует использовать нормальный закон и прове­ рять полученные данные на соответствие этому закону.