книги / Сопротивление усталости и живучесть конструкций при случайных нагрузках
..pdfУI
'К*»/1
М \
/ \ в
Рис. 4.5. Поверхность разрушения |
Рис. 4.6. Напряженное состояние в зо |
|
не трещины в полярной системе ко |
|
ординат |
постулировать еще и основную причину развития трещины. Можно, например, считать, что развитие трещины может проис ходить только в направлении, перпендикулярном к действию максимальных нормальных напряжений. Тогда для определения этого направления составляют выражение для напряжения ае= = f(0) и исследуют его на максимум. В результате определяют искомое направление и максимальный КИН. Для оценки тре-
щиностойкости максимальный |
КИН сравнивают с |
Кс — при |
|
плоском |
напряженном состоянии |
и с K ic — при плоской дефор |
|
мации. |
Кт = 0 ,-то в полярной |
системе координат |
(рис. 4.6) |
Когда |
|
<T>= " 7 i r c“ T ( ' (,cosi- f ~ - H |
" sine) ; |
(4|1) |
|||
ar = |
2^ L _ |
|^/CI (3—cos 0) cos |
+ /Сц (3 cos 0— 1) sin -5-J; |
|||
|
Tr0 = ---- i |
cos — [/Ci sin 0 + /Сц (3cos 0 — 1)]. |
|
|||
|
|
2 ■y’lnr |
2 |
|
|
|
Отсюда имеем, что <т0 = О при угле 0, определяемом из урав |
||||||
нения |
|
|
|
|
|
|
|
|
K jsin0-f /CH (3COS0— 1) = 0. |
|
(4.12) |
||
При |
/Си=0 |
0=0, |
а при /Ci= 0 |
0~ ±70°. |
Знак минус со |
ответствует схеме нагружения, показанной на рис. 4.2, б. Знак
плюс принимается для случая, когда касательное |
напряжение |
|
т действует в обратном направлении. |
|
(см. рис. 4.3) |
Для случая наклонно расположенной трещины |
||
коэффициенты К\ и /Си определяются |
соотношениями (4.6). |
|
Подставив эти соотношения в формулу |
(4.12), получим уравне |
ние для определения расположения опасной площадки: sin0 + ctg P(3cos 0^-1) = О.
32
Графическое |
представление |
решения -в |
|
|
|
|||||||
этого уравнения |
приведено на рис. 4.7. |
|
|
|
|
|
||||||
Из анализа напряженного состояния в so |
|
|
|
|||||||||
зоне трещины следует, что |
в ее вершине |
|
|
|
|
|||||||
(в предположении абсолютно упругой ра- ио |
|
|
|
|||||||||
боты материала) |
напряжения |
становятся г0 |
|
|
|
|||||||
бесконечно |
большими. На |
рис. 4.8 схема |
|
|
|
|
||||||
тически |
показана |
эпюра |
напряжений ау |
0 |
го |
w во |
во р |
|||||
при 0 = |
0 для трещины типа I. Однако в |
|||||||||||
действительности эти напряжения ограни- |
Рис. |
4.7. Решение уравне- |
||||||||||
чены и для случая плоского |
напряжен- |
ния |
(4.13) |
|
|
|||||||
ного состояния не должны превышать пре |
|
|
|
|
||||||||
дела текучести сгт. В первом приближении |
|
в |
виде, |
пока |
||||||||
эпюру |
этих напряжений |
можно |
представить |
|||||||||
занном на |
рис. 4.9. |
Зону |
пластичности |
ориентировочно |
можно |
|||||||
принять |
в |
виде |
круга с диаметром гр, |
определяемым из уравне |
||||||||
ния |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Уу |
Of, |
|
|
|
|
|
(4.13) |
Подставив в (4.13) формулы (4.8) и (4.3), получим |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
X? |
оЧ |
|
|
|
|
(4.14) |
|
|
|
|
|
Гр |
2ло* |
2о\ ‘ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Реальная зона пластичности будет несколько больше, чем та, которая определяется соотношением (4.14). Этот вывод следует из того, что действующая на элемент нагрузка пропорциональна площади под кривой ау = / (х) и в обоих рассматриваемых слу чаях (рис. 4.8 и 4.9) должна быть одинакова. Поэтому кривую ау = / (*) следует сдвинуть вправо так, чтобы заштрихованные
б
1 Н М Н Н Н Н Н Ж
'7ггТ77777Г777У |
X |
ТТТТТГГГГГГГГГГТТ7
б
Рис. 4.8. Эпюра напряжений ау в усло виях абсолютно упругого деформи рования
4
4
^777777777^' Л ГР
ттпттгггттттттт
б
Рис. 4.9. Эпюра напряжений оу с уче том зоны пластичности
3 Гус^в А. с. |
33 |
6 |
|
|
|
ж ж жё ж ж ш |
l i l - Ш ! ! у ж |
ж |
ж |
||
бу |
|
|
|
*б1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ if |
|
|
|
|
бг- fh> |
rf |
X |
|
|
X |
|
|
|
||
ж ж ж |
ж |
ж |
ж |
ПТГГШТП7 ТПТТ |
б |
|
|
6 |
Рис. 4.10. Эпюра напряжений ау с учетом уточненной зоны пластич ности
Рис. 4.11. Эпюра |
напряжений оу |
в случае плоского |
деформированного |
состояния |
|
на рис. 4.10 площади были одинаковыми. Увеличение диаметра зоны пластичности А, определяется из условия
А.0, = ^O ydr 0ТГр .
Отсюда следует, что к = г„, а зона пластичности вдвое больше получаемой по формуле (4.14).
Рассмотренное увеличение зоны пластичности можно тракто вать как увеличение эффективной длины трещины на величину X.
При увеличении толщины пластины и переходе к плоскому деформированному состоянию зона пластичности и напряженное состояние в ней существенно изменяются. Несложный анализ показывает, что максимальное напряжение ау в зоне пластичности может уже в 3 раза превышать предел текучести, а диаметр зоны пластичности уменьшается в соответствии с соотношением (4.14)
в 9 раз. Напряженное состоя
|
ние в зоне трещины при плос |
|||
|
ком деформированном |
состоя |
||
|
нии схематически |
показано на |
||
|
рис. 4.11. После разгрузки в зо |
|||
|
не пластичности появляется по |
|||
|
ле |
остаточных сжимающих на |
||
|
пряжений. Эпюра этих |
напря |
||
|
жений показана на рис. 4.12. |
|||
|
|
При более детальном анализе |
||
|
формы зоны пластичности мож |
|||
|
но |
воспользоваться различны- |
||
Рис. 4.12. Эпюра остаточных напря- |
ми |
критериями |
пластичности, |
|
жений |
Так, по критерию максималь |
34
ных касательных напряжений считается, что текучесть материала наступает в тот момент, когда максимальное касательное напряже ние превысит половину предела текучести, а по критерию пре дельной энергии формоизменения это произойдет тогда, когда будет выполнено соотношение
(<Ti — а2)2 + (<*2 — сг3)2 + (<т3 — <7I)2> 2а2. |
(4.15) |
Использовав выражение (4.11), получим следующие соотно шения для определения главных напряжений в зоне трещины типа I:
<’, = Т |
^ |
а в т |
( | + ““ т ) : |
|
|
|
Кг |
0 |
/. |
, 0 \ |
(4-16) |
|
°8 — И1(<*2 + ^l) |
|
|
||
— для случая плоской |
деформации; |
|
|
||
|
|
а8 = |
О |
|
|
— для случая плоского напряженного состояния.
Подставив (4.16) в критерий пластичности (4.15), определим соответствующую этому критерию границу зоны пластичности, заданную в виде уравнения кривой в полярной системе коорди нат:
для случая плоской деформации
Г Р (0) = - Д г [ т S‘na о + |
(1 - 2р)2 (1+ COS0)J; |
(4.17) |
VT |
|
|
для случая плоского напряженного состояния |
|
|
Гр (0) = - Д - ( l + T |
sin20 + cos0) • |
<4Л8> |
WT |
|
|
При использовании критерия максимальных касательных на |
||
пряжений имеем: |
|
|
для случая плоского напряженного состояния |
|
|
г’ (9)" - ^ - [ смт |
( 1+ 5|" т ) ] !! |
<4Л9> |
для случая плоской деформации (наибольшая из величин)
_ ^ |
cos» 4 ( l - 2 p + sin-!-)2; |
гр (0 ) = |
(4.20) |
Л |
COS2 Sin8-|- |
2яа\ |
|
3* |
36 |
Рис. |
4.13. |
Зоны |
I: |
пластичности |
щин: |
|
|
для |
трещины типа |
|
|
|
|||
а — по критерию (4.15); б — по крите |
а — типа II; б — типа III; |
/ — при плос |
|||||
рию ттах; 1 — при |
плоской деформа |
ком напряженном состоянии; |
2 — при плос |
||||
ции; |
2 — при |
плоском |
напряженном |
кой деформации |
|
||
состоянии; ----------— при |
меньшем |
гр , |
|
|
|||
определяемом по (4.20) |
|
|
|
|
|||
На рис. 4.13 представлены зоны пластичности, задаваемые |
|||||||
безразмерным |
радиусом |
rp = |
rpn (oT/Ki)2. |
|
Аналогично определяются зоны пластичности для трещин типа II и III. На рис. 4.14 представлены зоны пластичности, со ответствующие этим типам трещин.
Так как при выводе формул (4.17)—(4.20) не учтено, что при появлении зоны пластичности уменьшается несущая способность конструкции, реальная зона пластичности будет несколько боль шей, чем это показано на рис. 4.13 и 4.14. Уточнение размеров и формы зоны пластичности можно сделать подобно тому, как это было сделано при выводе формулы (4.14).
§ 5. Закономерности развития усталостных трещин
Общие положения. Появление в элементах конструкций уста лостных трещин еще не означает окончательного выхода этих эле ментов из строя и необходимости немедленного проведения ре монтных работ. На практике элементы конструкций с трещинами могут продолжать надежно функционировать еще значительное время, а небольшое снижение эксплуатационных нагрузок, на пример, может резко повысить их долговечность и даже пол ностью приостановить рост трещин. Поэтому достоверный расчет ный прогноз развития трещин в конструкциях при переменных эксплуатационных нагрузках, может способствовать значитель ному повышению эффективности их использования. Для такого прогноза необходима информация о закономерностях роста тре щин в материале конструкции при переменных нагрузках. Рас смотрим способы представления этих закономерностей.
Из общих физических представлений о прочностных возмож ностях материалов следует, что скорость роста трещин при пере менных воздействиях (скорость разрушения) должна зависеть от
36
уровня возникающих напряжений о и от длины / имеющейся на данный момент трещины:
t = f(o,D , |
(5.1) |
где / — производная по числу циклов нагружения или по времени. Получение зависимости (5.1) по результатам эксперимента требует проведения чрезвычайно трудоемких испытаний и сложных программ анализа получаемых при этом данных. Поэтому на прак тике зависимость (5.1) часто представляют в упрощенном виде. При этом полагают, что скорость роста усталостных трещин можно
описать в виде произведения двух функций, одна из которых |
(о) |
|
зависит только от уровня возникающих |
напряжений, а |
дру |
гая /2 (/) — только от длины трещины. В |
результате получают |
|
следующую зависимость: |
|
|
* = М ® )М 0 . |
|
(5.2) |
Поскольку такую же структуру, что и соотношение (5.2), имеют формулы для определения КИН [см., например, выраже ния (4.3)—(4.7)1, дальнейшее упрощение соотношения (5.1) за ключается в том, что скорость роста трещины представляют в виде ее зависимости от КИН:
/ = т ) . |
(5.з) |
Наибольшее применение из подобных формул получила сле
дующая степенная зависимость: |
|
I = аКп, |
(5.4) |
где ос и п — параметры циклической трещиностойкости материала, которые в общем случае могут зависеть от уровня действующих напряжений.
Параметры а и п определяются обычно либо при симметрич ных, либо при отнулевых положительных циклах нагружения. В обоих случаях принимается, что величина К в (5.4) равна макси мальному значению цикла нагружения.
Механизм увеличения длины усталостной трещины при цикли ческом нагружении можно представить следующим образом. При достаточно интенсивном нагружении путем растяжения рас крытие трещины и ее удлинение происходят за счет сдвига слоев металла в одной из плоскостей с наибольшими касательными на пряжениями (рис. 5.1). При последующих растягивающих на гружениях плоскости сдвига чередуются, и длина трещины по степенно увеличивается. Процесс увеличения длины трещины счи тается непрерывным. В экспериментах, однако, часто обнаружи вается скачкообразный рост трещин, чередующийся со значитель ными приостановками их развития. Полный учет этого явления в расчетах пока затруднителен.
Гармоническое нагружение. Для анализа процесса роста тре щин в неограниченной пластинке, нагруженной на бесконечности
37
б
Рис. |
5.1. Механизм увеличения |
Рис. 5.2. |
К анализу роста трещин: |
длины |
усталостной трещины |
а — вид |
нагружения; б, в — процессы на |
|
|
гружения |
|
напряжениями а (t) (рис. 5.2), используем соотношение (5.4). Процесс нагружения будем считать гармоническим с постоянной амплитудой напряжений а и средним значением, равным нулю. Тогда
|
|
(5.5) |
dl/dN = |
роп1п/2, |
(5.6) |
где |
|
|
с = Y я/2, |
р = ас". |
|
Интегрируя дифференциальное уравнение (5.6), получим длину трещины к моменту r-го по счету нагружения:
{ 2-Л |
I |
2 |
|
2-л |
(5.7) |
||
to2 |
+ 0,5р (2 — п)гап) |
. |
Блоковое гармоническое нагружение. Рассмотрим процесс на гружения, представляющий собой k блоков нагружения с различ ными уровнями напряжений at (i = 1, 2, .... А) (см. рис. 2.3). Будем считать, что параметр трещиностойкости п зависит от уровня напряжений и каждому уровню напряжений о* соответствует не которое значение п = щ. Тогда с учетом соотношения (5.7) длина
трещины к концу первого этапа |
нагружения |
( 2-<lt |
2 |
2-л, |
/о2 + 0 ,5 р ,(2 -л )^ ,о ? * / |
, |
(5.8) |
где рх = etc"*; Nx — число циклов нагружения на первом этапе, |
|
а к концу второго этапа нагружения ее длина будет |
|
( 2 1». |
2 |
р-л, |
|
-f- 0,5|32(2 — /12)Af2<J: |
2 |
|
|
|
|
2 - п , |
) 2-п, |
|
2-я* |
|
2—fit |
|
(6.9) |
2 |
(2 — /tj) A fjo"‘] |
-(- 0 ,5 0 2 (2 |
— n<t)Njffa'‘I |
|
i /о 2 Н- 0,5Рх |
где 0* = ас"»; ЛГЯ— число циклов на втором этапе нагружения. Обобщив соотношения (5.8) и (5.9), получим следующее ре куррентное соотношение для определения длины трещины к неко
торому t-му этапу нагружения:
| 2-r^ |
2 |
|
|
\2-nt |
|
|
|
и = [иЛ |
- и . б м г - л о а д * } |
, |
(б.ю) |
где Р< = ас \ /(_1 — длина трещины в конце (f — 1)-го этапа на гружения; Nt — число циклов на t-м этапе нагружения.
Соотношением .(5.10) можно воспользоваться и при анализе роста трещин при нерегулярном нагружении (рис. 5.3). В этом
случае каждый блок нагружения продолжительностью |
U (I = |
= 1, 2, ..., k) состоит из одного цикла. Из соотношений |
(5.8)— |
(5.10) следует, что возрастание длины трещины зависит от. порядка чередования блоков нагружения, т. е. от истории нагружеция. Рассмотрим, например, двухэтапный процесс нагружения и изме ним в нем порядок приложения нагрузок: вначале создадим напря жение о3 с числом циклов Nit а затем — напряжение ах с числом циклов Nt . За время нагружения длина трещины увеличится до
|
|
|
2 |
|
2-я, |
|
] 2-я, |
2-я* |
|
|
1 |
|
||
р={[fe |
|
|
|
|
2 |
j |
+ O,50i (2 - л,) |
|
. |
I P lU 2 + 0,502 (2 - Па)W |
|
(5.11)
При пх Ф Пъ выражения (5.9) и (5.11) различны, и поэтому дей ствительно длина трещины в этом случае зависит от истории на-
соотношения (5.9) и (5.11) со впадают и определяют длину трещины
2-я
и= 1/о 22 + 0,5р (2 — л) X
2
Рис. 5.3. Нерегулярный процесс натру-
(5.12) жения
tg i
Рис. 5.4. Диаграмма скоростей роста усталостных трещин:
а — реальная зависимость; б — расчетная схема
Обобщив соотношение (5.12) для k блоков нагружения, полу чим
2-п |
|
2 |
i=k |
2-л |
|
lh — |
+ 0,50 (2 - п) S N r f |
(5.13) |
|
»=1 |
|
Уточнение зависимости для скорости роста трещин. Считается, что зависимость (5.4) справедлива во всем диапазоне изменения величины К, но в эксперименте обнаруживаются определенные отклонения от этой зависимости.
Характерный ее вид в логарифмической системе координат представлен на рис. 5.4, а. Различают следующие три зоны, от личающиеся интенсивностями роста трещин: / — с относительно малой скоростью развития трещины [при К < /Сщ. где Кгъ — пороговое (или стартовое) значение КИН, ниже которого скорость развития трещины незначительна); II — с умеренной скоростью развития трещины (при Кхъ •< К < KfC, где /С/с — циклическая вязкость разрушения); III — с высокой скоростью развития тре щины (при /С/с < К < /С*, где /С* — значение КИН, при котором прекращается устойчивое увеличение длины трещины и оно пере ходит в неустойчивое лавинообразное разрушение конструкции); можно принять /С* = К и — при плоской деформации и /С* = = Ки — при плоском напряженном состоянии.
Для проведения практических расчетов полученную экспери
ментальную зависимость I = f |
(/Q |
(см. рис. 5.4, а) схематизи |
|||
руют (рис. 5.4, б). В |
этом |
случае |
зависимость скорости |
роста |
|
трещины от КИН имеет следующий вид: |
|
||||
/ = |
О |
при |
0 |
< /C < /C th; |
(5.14) |
аКп |
при |
/Cth< К < Kfc, |
|||
|
оо |
при |
К > /С/с- |
|
При использовании соотношения (5.14) для прогнозирования роста трещин при переменных нагрузках необходимо учитывать историю нагружения даже в том случае, когда параметр п в диапа-
40
зойе |
Kth < |
К < |
У]С не за |
к |
|||||
висит |
от величины |
К. |
Дей |
|
|||||
ствительно, |
в |
этом |
случае |
|
|||||
можно было |
бы представить |
|
|||||||
зависимость |
(5.14) |
|
в |
виде |
|
||||
соотношения (5.4), |
в котором |
|
|||||||
величину |
п |
тогда |
|
следует |
|
||||
принять |
равной |
— оо |
при |
|
|||||
К < Kth и равной |
|
+ оо |
при |
|
|||||
К > Kfc- Таким образом, па |
|
||||||||
раметр п |
зависит от |
уровня |
|
||||||
воздействий. В |
этом случае, |
Рис. 5.5. Несимметричные циклы нагру |
|||||||
как следует из сопоставления |
жения |
||||||||
соотношений |
(5.9) |
|
и |
(5.12), |
|
кинетика роста трещины зависит от истории нагружения. Несимметричные циклы нагружения. Процесс нагружения ма
териала в зоне трещины в случае несимметричного нагружения характеризуется циклами изменения коэффициента интенсивности напряжений, а за параметры циклов принимаются максималь ное /Стах и минимальное Ктт-значения КИН, размах нагруже ния Кр и среднее значение цикла Кт (рис. 5.5). Величины Кр и Кт определяются соотношениями
|
|
0» ^Стах ^ 0; |
(5.15) |
|
Кр = |
' |
•^Сшах» |
•Ктах^’О» |
|
|
, |
^Сшах |
-Кmin» ^Crnln |
|
|
|
0* ^Стах^О» |
(5.16) |
|
К т = |
{ 0,5 (/Стах “Ь /Сmin)» /Стах^О. |
|||
Коэффициент асимметрии циклов нагружения |
|
|||
|
|
R — /Cmln/^Cmax* |
(5.17) |
Циклы нагружения с произвольными Кр и Ктможно привести к эквивалентным по скорости развития трещины симметричным или отнулевым положительным циклам нагружения. Соответст вующий размах эквивалентного процесса нагружения обозна чается /С8. В этом случае скорость роста трещины можно вычис лить по формулам (5.4) и (5.14), если в них вместо величины К подставить значение К9- В зависимости от степени асимметрии циклов нагружения пороговое значение размаха КИН обозна чается /Cth,-i при симметричном цикле нагружения и Kth, о при отнулевом положительном цикле нагружения. Аналогично обо значаются соответствующие циклические вязкости разрушения:
К/с, -X И Kfc о-
Циклы |
с параметрами |
{Кр = |
К/с, _i, К т = 0}, {Кр = |
К/с,о. |
|||
Кго — 0,5 К/с,о} |
и {Кр = 0, |
Km = |
Kic}, а также циклы с пара |
||||
метрами |
{Кр = |
Kth,-1, Km = 0), {Кр = Kth,o. Km = |
0,5 |
Kth, о} |
|||
и {Кр = |
0, |
Кт = Kic} являются |
эквивалентными. |
В |
первом |
41