книги / Периодические кусочно-однородные упругие структуры

К

Т а б л и ц а 1.2.1 (продолжение)

R JB t

i

2

3

4

5

G

7

8

9

1

10

11

0,4

0,07

0,00

-

0,12

- 0,20

- 0 ,2 3

- 0 ,2 4

- 0,20

- 0 ,0 6

0,09

0,18

0,21

0,55

0,68

0,95

1,16

1,28

1,32

1,33

1,37

1,42

1,49

1,53

0,6

0,12

0,04

-

0,12

- 0 ,2 6

- 0 ,3 5

- 0 ,3 7

- 0 ,3 1

- 0,11

0,16

0,30

0,32

0,34

0,50

0,87

1,23

1,46

1,54

1,59

1,73

1,93

2,18

2,31

0,8

0,15

0,09

- 0 ,0 9

■ - 0 ,3 0

- 0 ,4 6

- 0 ,5 1

- 0 ,4 5

- 0 ,1 9

0,25

0,43

0,42

1,70

0,34

0,77

1,27

1,65

1,79

1,91

2,29

2,99

4,09

4,72

fan) =

1, fan)>== fa22> == 0

0,2

(<j12> = 2,33

1,86

1,06

0,53

0,28

0,21

0,35

0,76

1,29

1,64

1,75

0,4

2,86

2,28

1,18

0,34

-

0,11

- 0 ,2 4

- 0 ,0 6

0,56

1,43

2,08

2,31

0,6

3,29

2,70

1,43

0,22

- 0 ,5 6

- 0 ,8 3

- 0 ,6 5

0,10

1,46

2,84

3,43

0,8

3,55

3,04

1,76

0,23

-

1,01

- 1 ,4 9

- 1 ,4 3

- 0 ,9 2

0,71

4,13

6,72

* ( * ) -

2itf ]

“ (<)£(*-

2) * - 1 5 ( 1 » (*)£ (< )*

+

L

Lx

к

4- 2^ Cj In a (z — Zj) + Az,

Zj e

z<=

♦ (*) =

-^7 J I® W dt — * ® ( 0 d i ] £ (* -

2) + Bz +

(2.18)J

+

L

c &

i z - Z j ) -

к

_

ft

-

к 2

Cj In о (z -

2,-),

^

= -

2

Cj,

Cj =

f CO(t) ds~

3~X

j =2

Lj

Здесь

0 (*)={<оД*)» £e=L,}

— искомая функция, £, (z)

определе­

на в

(П.2.26),

направление

интегрирования — по

часовой

стрелке.

Учитывая

формулы

(П. 1.5),

(П .1.8),

(П.2.9)

и

(П .2.28), на­

ходим приращения функций (2.18)

Ф (*) |ÓР= Aa>v -

6pQx (ш),

[ г ф Ц

+ ^F(z)]*+fi>p = Л(о9 + Ш Р~ ур0 7 (^

+

б Д

М , (2Л9)>

L

L

*

-

ь

(со) = 6 + 2 CjZj,

й 2 (со) = а +

х а + х 2 C a t.

i=i

;=i

Im Q2 (со)

= Im [ ( к

— 1) а +

х

2

CjZ; j =

( 2.20)

имеет

ви д1)

R e А =

<(Tii > + < gj2 >

+ д

е л В|

D _

<q22> - < gn > + 2K g12> + Я»,

( 2.21)

2/'1 R e -d o

=

I m [ ( 6 2coi —

61СО2) Qi (со) ] —

Jt Re f i2(co),

2F B a =

2 K Q\(со) +

i(^ico2 — "f2coi) fit ( CD) +

1(620)1 — 6iO)2)Re Й2(ш ).

Предельные значения функций

(2.18)

на L находим с учетом

формул (2.8), (2.9).

Имеем

V1 (« -

± 4-<» (« + 4г f ■“(«)■С(*■- «'* —S5- f

ffl 1» 1■w* +

i

i,

h

+ 2

C’j ID G (Ц — zi)

"Ь

^0 e

j= i

k ® l y

+ ♦ ® ] ± =

<2-22*

-

=F -jf-o> ft,) -

-5 5 - J Й 0 [ f i ( ( - * . )

+

f t -

0 W

- '«)] <“

-

____

L

_________

h

_

__________

“

2НГ j [

di -

X£0W

£ (* -

*o) +

Д

[*o£ («0 -

*i) -

— £ 1 (*o — zj)]

— x

2

Cj In ex (t0 — Zj) -)- Л*0 +

5 7 0.

j= i

+ -н г \ “ й I [f i (‘ - « - ( « - » *> ■ - « ] <5 + с ■(<-

у л ) +

г.

+ М{о> (*),*„} = /?(д,

(2.23)

Здесь

# М * ) Л } = - - £ а

®(0 £ W * +

2x 2

^ 1n|a(<„ — Zi)| +

h

Lx

i= 1

_

____________

__________

+ 2

Cj [Cl (^0

Zj)

^oC (^0

zj)\

"b (**

1) ^0 R e -^0) +

i=i

+ г (x + 1)

Л — toB.r

F (ta) — 2 ц ( B I +

fog) — Ч ( * — 1)

4

<~<r’!i'> +

- < < ’ „ > + 21 < °a >

+ r0 -------------------- 2---------------------

Прежде

чем

определить

константу

Imvl,

фигурирующую в

(2.23),

выясним

мехапическпй

смысл

условия

совместности

(2.20). Для этого вычислим главный момент всех сил, действую­

щих на L.

Введем регулярные в 2)-,

(/ = 1 , 2 , . .. ,

к) функции

=

J “ СО С(* — г) Л — 2 ^ f ш ( * ) Ш < Й + Л г , г е

L

Ьг

Ь (z) =

~2 У

\[°>(ОЛ -

х© 5) Л ] С (I -

z) +

B z +

(2.24)

L

+ -шJм(*)to(*-*)-»(<-«)]*-2 % <*- г,)-

г

h

ь

i=i

В

силу

(2.22),

(1.15)

и

(1.10)

имеем

на Ц

(/=• 1,.2, ..., к )

* (* ) -

/(* ) +

^

=

ф ( 0

+

1Ф

« +

=

= фН9 +

«<М9 +

+

(1 -

н)ю(<) +

л

к

__________

С учетом

(2.25) и

(П.1.1) получаем

J g (t) dt =

2i Im J

ф,- (t) +

2^ Cn In a (t — zm)j dt +

(2.26)

+ ( l - x

) j (o(t)dt + 2niCjtj - 2nixCj (t} - ~z5).

Li

Здесь tj — некоторая фиксированная точка контура Lj.

Суммируя

соотношения (2.26) по всем

/, находим согласно

<1.10),

(2.19)

М = 2n Im j^(x — 1) а + х 2

C fr j-

(2.27)

/ ( * ) - ( * + 1)<р(0 - М * ) .

(2.28);

J f(t)d~t = J

g ( t) d t = (x + 1)|

t +

A § td t +

-b

Г со (/) dt J £ (t — 10) dt0 -(-

^

Cm j*In о (< — zm) dil

J h (t) dt.

L

L

m=1

L

j

L

(2.29)

+ 2НГ J '“ (0dt f c(i-

i„)<tf„l -

-jqrj Rej h (t)<B, (2.30)

L

L

>

L

2Я =

f (x2 dxy — xy dx2) ф 0.

из к непересекающихся включений 2 )j

(с упругими

постоянны­

ми Е }, Vj), ограниченных контурами Ц

(; = 1, 2,

к ). Мате­

контакта,

а вектор

смещения

претерпевает

разрыв h (t) =

Введем функции ф(з), "ф(и) и <pj(z), % (z), описывающие ре­

шения в областях 3 )

и £Dj соответственно. В

силу сказанного

выше

они

должны

удовлетворять

условиям

сопряжения

на

L = * [}L }

___

___

___

■

qp(t)+ *Ф (0 + х|)(0 =

*ФД?) + фДг),

у [*Ф (*) -

*Ф(0 -

'ЙО] =

у - [«-ifpi(t) -

гФ7(Г) - ^ 7 Щ

+

где

+ 2к, (t),

t е

Lj ( / = 1, 2, . . . ,

к),

(3 .1)

Е

Ej

3 — v

3 — v,

^

2 (1 -f- v)

^

2 (1 -j- v;) ’

Х

=

Т + 7 ’

Wi = T

Т Т Г

Ф (* ) -

+ Az,

z e = 3 ),

^ (z) =

^ r U B^

p ^ + r {t)q ® ~

tp~ ' (*)] £ (t -

z) dl +

L

+

L

+

(3.2)

^

( г ) = 2Нг1

T = T dt + A^

z ^ ® i (7 - 1, 2,

. . . , * ) ,

4

A j = = _

^

A .

Здесь

р (t) =■ ips{t) ,

t e Lj)

и

q ( t) =

iqj(t) , t e L }) — функции,

подлежащие определению,

величины

А и

В ,

регуляризуннцие-

кусочпо-лостоянныс

е (г )= {е л-,

t е L,),

г ( Ь ) = - { г t ^ L }) и

посто­

янные а*, р,-. будут определены пиже.

Интегрирование

ведется

против часовой стрелки.

и В

Легко видеть, что константы Re Л

определяются форму­

лами

(2.6), (2.5), причем под

функционалами а

и Ъ теперь не­

обходимо понимать следующее:

«= 2НГ[I*WPW+ г(‘)Ш* + 2НГI р

№й'

L

L

Ь -------- s r i p

» * ;

(3.3>

L

Условие совместности

(2.7)

в пашем случае имеет вид

Re(ia) = 0.

(3.4>

Выясним его механический смысл. Для

этого перейдем во-

второй формуле (3.2)

к предельным значениям. Получим

Ф (0 =

Ы О -

[е W

+ '4 0 7 W -*/ (*)]•

(3.5)

где г|)(i) — предельное

значение функции i|)(z),

регулярной

в &)г

а т|)# (0 = (г]>* (t), t s

Lj\ —

предельные

значения

функции

i|)(z)

при

(очевидно, т])* (z)

регулярна

в

iZ)j

(/ =

1,

2, ...,

Л))..

Используя формулу (1.10) для главного

момента

всех

сил,,

действующих вдоль

L

со стороны области &), непрерывность-

функции g (z ) на L

и соотношения (3.5), находим

М

= - Re J <[е

+

г (t) W )\dt +

p (t) <Н).

(3.6>

Из (3.6)

следует,

что условие

совместности

(3.4)

равносиль­

но равенству нулю главного момента М.

Постоянную 1 т Л

зафиксируем следующим образом1):

1т Л = 1т [ ( 7 г - - ^ - )

б].

(3.7^

При таком выборе

1т Л

среднее

вращение

фундаментальной

ячейки равно нулю

[65] (см. также гл. 4,

§ 1).

Для сведения краевой задачи (3.1) к

эквивалентной

ей

сис­

теме иптегральных уравнений Фредгольма второго рода

перей-

дом в представлениях

(3.2)

к соответствующим предельным зна­

чениям и подставим

их в

(3.1).

Полученная

таким

образом-.

система интегральных уравнений будет фредгольмовой

вРтгв.

положить

'

P i " T = х г - *> = £ = ! ■

.

. (« + ■« )»а ,

_

и

(3.8)

'

‘ - V ,

’

•i - 5 7 '

■Она имеет вид

р(.*о) — ЯИр(0, ?(<),

t0>=*B3(t0),

.t0e L ,

9 (*а)-Щ <Р((), 9(t), t0} =■(?,-(f0)

(/= 1 ,

2,

/с)

’

(3-9)

тде

’

Ж Н р(*),д(0Л } =

- Ц Н [ “

s ^ y -

-

-

У

-

S ?

^ >

-

~

С( ‘ - « < * - ? ( * - У < й | + - ^ - g ( f ) t ( « — g < g j +

+ - ^ < ,R e / ,+

M i {P W. 5 « ).« .} = 2Й J (з « -i [ In 1 ^ 2 ] +

+ ^ ^ й(Ьч)+^ р«41п57п^-]|-

1 Г a i

2a -f

—

- S3JТГ P « C (‘ - U« + Re ^ _ £ S„

Л,-(() -

г

<<," >v , <'^ > + i

< ^ > ~ < °п > + 2|сп.л

2ц*. (<)

■>

2ei

H +

^

’

f t (t) -

(a,-

~

< V

+

2 i<°,8)

2|iftj (<)

*

2pi

~

I +

V

j '

Re.4, =

Re ^

+ - y —

i,- =

L \ L jt

L =

\) Ljt