книги / Основы математической теории термовязкоупругости

(22.19)

*=I

ф

Здесь г)г есть указанные интегралы с обратным знаком, в которых после

Вопрос о целесообразности использования преобразования Лапласа — Карсона в рассматриваемых задачах выясняется в зависимости от метода их решения.

В случае динамических задач в правых частях дифференциальных уравнений (22.23) необходимо добавить рд2иг/д!2

д2и1

(22.24)

р ~дёг

Учитывая (22.6), для простоты письма можно не отмечать волной свер­ ху искомые и данные величины, подразумевая, что все они в зависимости от выбора переменных (2, х) или (гх, 1) рассматриваются (а заданные — выражены) как функции тех или других.

Метод однородных (в изображениях — упругих) решений задач третьего типа. Пример. За редким исключением задачи рассматриваемого типа являются весьма сложными. Если температура Т не зависит от х (сле­ довательно, ат не зависит от х), т. е. поле температур нестационарно, но однородно, то из (22.19) = 0, и получается задача, рассмотренная ра­ нее (§ 16, 17).

Следовательно, можно построить метод однородных приближений, аналогичный методу упругих решений в теории пластичности, если в ка­

Уравнения равновесия (22.23) в изображениях принимают вид обыч­ ных уравнений однородной линейной теории упругости с фиктивными объемными силами Р\, фиктивными поверхностными силами *$%• 1$и пере­

менным по объему температурным полем Ф* (р, %)

^ 1 ^ и к,къ + - 2 “ ^ ^г, ЛгЛ: — = О»

ные изображения ядер Я, Яг. По полю Оц определяем величину 2* и ее

приближение Р\ и 8 ц .

Сходимость этого метода обеспечена по крайней мере для нестационар­ ных температурных полей малой неоднородности по координатам. Усло­ вия и границы сходимости для сильно неоднородных полей температуры должны еще быть выяснены.

Изложенный метод, конечно, не требует перехода к изображениям на каждом шаге приближений, если известно решение задачи однородной теории упругости для произвольных массовых и поверхностных сил, т. е. известно общее решение уравнений (22.31) в изображениях для произ­

вольных Рг и 8ц , так как оригинал такого решения строится по методу аппроксимаций. Алгоритм просто сводится к вычислению последователь­

Задачи с контактными граничными условиями 1-го и 2-го рода по су­ ществу ничем принципиальным не отличаются от рассмотренной основной задачи термовязко-упругости.

В качестве примера рассмотрим простейшие задачи термовязко-упру­ гости с неоднородным напряженным состоянием, неоднородным и неста­ ционарным заданным температурным полем.

причем это уравнение может быть упрощено за счет перестановки поряд­ ка интегралов и введения обозначений

г ) ^ < 1 т.

аО

При заданном давлении р (*) перемещение Л (г) находится из этого ин­ тегрального уравнения Вольтерра 2-го рода обычным методом итераций. При заданном Л (1) явно получен закон изменения р (2) внутри шара. В частности, релаксация давления р (I) при достаточно быстро созданном

или в явном виде — через ядро релаксации К (1Г)

Рассмотренная задача о шаре может быть решена методом последова­ тельных приближений без предположения об упругой несжимаемости, с учетом сдвиговой и объемной релаксации материала.

VI. Динамические задачи

§ 23. Метод усреднений в динамических задачах

Интегро-дифференциальные уравнения динамики и малый параметр.

причем 1\ (0, Г (0 — производные В 1 (0 и В (0 с обратным знаком, т. е. положительные, монотонно убывающие функции времени

(23,1) в (15.1), получим динамические уравнения вязко-упругости в сле­ дующем виде:

причем В т(2) — универсальная функция релаксации материала при рас­ тяжении. Таким образом, в прикладной теории вязко-упругости динами­ ческие уравнения получаются из соответствующих уравнений упругих колебаний заменой модуля Е на оператор, однозначно определяемый функ­ цией релаксации В г (2).

Уравнения продольных колебаний однородного стержня, поперечных колебаний неоднородной по толщине балки и пластинки имеют вид [95]

здесь и (х, 2), ю (гг, I), ю (х, у, %) — соответствующие продольные и попе­ речные перемещения; Е — мгновенный приведенный модуль, () — нагруз­ ка на единицу длины балки; Р — на единицу площади пластинки, М — масса единицы длины балки или единицы площади пластинки; В и й — приведенные жесткости. В случае анизотропных тонкостенных конструк­ ций каждый из модулей Е ш анизотропии должен быть заменен оператором

Еш — Ет, аналогичным (23.11). Например, согласно результатам § 14 уравнение поперечных колебаний ортотропной пластинки из гомоген­ ного полимера, армированного упругими нитями или пленками, получает­ ся из (23.12) заменой

где а<1 — некоторые структурные постоянные.

В силовых конструкциях из полимерных материалов всегда приме­ няется армирование. Армирующая структура практически часто яв­ ляется вполне упругой и несет основную нагрузку, связующие же силы создают пространственную неизменяемость конструкции, воспринимая относительно малые или второстепенные напряжения, и одновременно по­ вышают вязкость конструкций и влияют на их колебания. Из этого следу­ ет, что для силовых конструкций положительные ядра Г операторов (23.3), (23.11) и входящие в (23.12) Гг пропорциональны некоторым поло­

для любого I. При этом во всех указанных уравнениях мы можем операто­ ры X*, р,*, Е* заменить на ек*, ер,*, гЕ*, рассматривая е как малый поло­ жительный параметр. Излагаемый ниже метод усреднений для решения динамических задач теории вязко-упругости предполагает существование малого параметра, в качестве которого мы принимаем е, причем в оконча­ тельных результатах, получаемых этим методом, следует положить е = 1,. так как малость интегральных членов обеспечивается условием (23.13).

Одним из многих известных методов динамическая задача для вязкоупругого тела может быть сведена к конечной или бесконечной системе

обыкновенных интегро-дифференциальных уравнений по времени [96]. Замена дифференциальных операторов второго порядка по координатам

(х) от вектора и конечно-разностными их представлениями в (23.5), (23.9) непосредственно приводит задачу к такой системе. .Значительно меньшее число уравнений при подходящем выборе координатных функций, умно­ жаемых на искомые амплитудные функции времени, будет получаться по методу Бубнова — Галеркина.

Точно или приближенно одним из указанных или другими методами динамическая система линейных уравнений вязко-упругости, т. е. (23.5), (23.9), (23.12) и другие, может быть приведена к системе обыкновенных интегро-дифференциальных уравнений вида

где N — число «степеней свободы» тела; 0П(I) — амплитудные функции времени; Рп1 — известные действительные постоянные величины; Тп1 (г) — линейные функции всех входящих в исходные уравнения ядер Г (например, Г, Г2, Гг. . .) с действительными постоянными коэффициентами; еь Рь (I)— амплитуды малых внешних нагрузок; повторяющийся индекс I означает суммирование от 1 до N

N

РпА = 2 ^ 0 * , - . .

2= 1

Предполагается, что система уравнений 0П+ Р п$г = 0 определяет сво­ бодные нормальные колебания около положения устойчивого равновесия тела, т. е. характеристическое уравнение

где — некоторый параметр; Сш (т = 1 , 2 , . . ., 2Л) — 2Р1 независимых функций времени, которым пропорциональны А п1, В п1. В матричной фор­ ме система (23.17) имеет вид

ядра типа

5трт Т5трп2, з1прт т соз рп1 соз рт Т81прп2, соз рт х соз рп1 *'

где Г (2 — т) — входящие в исходные уравнения ядра; рт , рп — частоты свободных колебаний. Согласно (23.13) существует и мал интеграл по лю­ бому интервалу I ^ 0 нормы ||со||, т. е. параметр е, отличающий малость правой части (23. 18), можно считать равным 1.

Метод усреднений, предложенный Боголюбовым для решения систем дифференциальных уравнений[97, 98], распространен на системы интегродифференциальных уравнений в работах [99,100], в [96] даны первые фун­ даментальные результаты применения его к задачам динамики вязко-уп­ ругих систем. Рассмотрим частный вид изученных в указанных работах «стандартных» систем нелинейных интегро-дифференциальных уравнений, которые являются естественным обобщением системы (23.18) и могут иметь приложения в нелинейной динамике вязко-упругих тел

где С, Р и Н — ^-мерные векторы. В линейном случае (23.18), е — малый параметр порядка интеграла (23.13),

гН (2, т, С) = со (г, т) С (т), е Р (г, С) — / (2) С (2),

причем, согласно, (23.19) и учитывая свойства Г и ^т^^ со и / ограничены по норме, и потому выполнены условия Липшица

Приводящий задачу динамики вязко-упругих тел к наиболее простым дифференциальным уравнениям вариант усреднения системы (23.20) состо­ ит в следующем [95]. Рассматривая входящий в Р и Н (23.20) вектор С как параметр, допустим, что существует предел

ГI

Существование такого предела для линейной системы (23.18) очевидно. Функция $ (С) представляет собой среднее по I значение правой части (23.20) на бесконечном интервале времени (при е = 1).

В случае линейной системы (23.18) уравнение (23.23) будет линейным с по­ стоянными коэффициентами.

Утверждается, что при весьма общих условиях решение системы (23.23) будет как угодно близко к решению системы (23.20) на как угодно боль­ шом конечном интервале времени при достаточно малом конечном е, где е — величина порядка значения интеграла (23.23), взятого по этому ин­ тервалу; следовательно, с определенной точностью С — Это верно и для