книги / Основы математической теории термовязкоупругости
..pdfВ и с . 4*.
Инвариантность физического про цесса а (*) при снесении началастсчета времени
С другой стороны, |
|
5 К (*, т) 8И(т — |) йх = ец (I — I). |
(2.24) |
О |
|
Поскольку в формуле (2.23) функция влияния К{1, т) отлична от нуля только в интервале | ^ т ^ I, то нижний предел интегрирования можно считать нулем.
Сравнивая (2.23) и (2.24), имеем
К { 1 - Ъ , |
Х - 1 ) =К{1, х). |
(2.25) |
|
Равенство |
(2.25) справедливо для любого !■, а это имеет место только в |
||
случае, если |
|
|
|
к{1, |
т) = |
к(г — т). |
(2.20) |
Аналогично все |
другие ядра К х(2, т), Г(г, т), ГД*, т) станут также яд |
рами разностного |
типа К г(1 — т), Г(* — т), ГД* — т). Эти ядра не будут |
инвариантными относительно начала отсчета времени, если процессы, про исходящие в материале (например, в бетоне), связаны со старением.
Подставим теперь выражения |
(2.21) в (2.19). Получим |
т |
|
О О |
|
О |
(2.27) |
|
|
(где произведена замена порядка |
интегрирования по формуле Дирихле) |
С другой стороны, по свойству 6-функции (2.11) имеем
(2.28)
о
Сравнивая (2.27) и (2.28), заключаем, что ядра А* и Г должны быть свя заны следующим соотношением:
^ К (I, т) Г (т, тх) йт = 6 (I — т^). |
(2.29) |
Из выражения (2.29) видно, что по крайней мере одно из ядер К или Г должно иметь сингулярную составляющую, чтобы интеграл от произ ведения двух ядер дал сингулярность в виде б-функции. Если можно так выразиться, чем регулярнее будет одно из ядер, тем сингулярней другое. В самом деле, положим, например, в (2.29)
К (*, т) = (* — т)"-1/ (п - 1)! |
(2.30) |
Интегрируя по частям п — 1 раз, получим слева тг-кратный интеграл от функции К(1). Поэтому
Г(*) = в<п>(0, |
(2.31) |
т. е. сингулярность в виде м-кратной производной от б-функции.
Тип б-особенностей ядер К , К г, Г, Г\ в (2.19) — (2.22) является фунда ментальным свойством мгновенной реакции тела (при очень больших ско ростях нагружения и деформации). Вязко-упругие тела обычно предпола гаются мгновенно упругими, т. е. при очень больших скоростях деформа ции ведут себя как идеально упругие.
Но закон Гука получается из (2.21), (2.22) в предположении Г (2, т) = = 2СЬ (I — т), Гх (*, т) = Кб (I — т), где С — модуль сдвига, К — модуль объемного сжатия и такая возможность представления ядер Г, Г2 являет ся единственной.
Свойства классической вязкой жидкости получаются из (2.21), (2.22)
впредположении более сильных особенностей: Г = 2|яб' (* — т), Гх = Яб' (*—
—т). Как видно из соотношения (2.29), для упругих тел ядра К (*, т), Кг (г, т) будут иметь такие же особенности, как и ядра Г, Гх, для вязких же ядра К , Кг не будут иметь особенностей.
Всоответствии с изложенным в основных соотношениях между на пряжениями — деформациями — временем (2.19) — (2.22) для изотроп ных упруги^ тел положим
Г (^,чт) = |
2СЬ {I |
— т) — Г (*, т), |
(2.32) |
К({,т)= - ± - 6 |
Ц - х ) + К(1,т) |
(2.33) |
|
и аналогично |
|
|
|
г 1(г,т) = |
К б ( г - т ) - Г 1(г,т), |
(2.34) |
|
*!(<.*) = |
ТГ а ( « - т ) + 1м «,т), |
(2.35) |
|
где ядра Г, К , Гх, Кг с волной наверху означают регулярную часть соответствующих ядер Г, К , Г1? а коэффициенты О и К — упругие модули сдвига и объемный модуль соответственно. Поэтому уравнение (2.29) примет теперь вид
^ Я ( * , Т ) Г ( Т , Т!)Й1Г + 26 Гу,т1) = 2СтКЦ,т1). |
(2.36) |
Подставляя (2.32) в выражение (2.21), получим
(О = 5 [2С6 {I — т) — Т (*, т)] е1}(т) йх =
|
О |
г |
|
|
|
|
|
|
(2.37) |
||
|
= |
(0 — Ц, т) е1}(т) йх. |
|||
Выражение |
(2.37) |
представляет |
собой уравнение |
Вольтерры второго |
|
рода и имеет |
всегда |
решение в |
виде |
|
|
|
1 |
* |
|
|
|
(О |
+ |
-с) «у (г) Л, |
(2,38) |
||
20 |
|||||
|
|
О |
|
|
|
причем ядро К(1, т;) находится из решения уравнения (2.36) методом последовательного приближения
2вК(г,х) = 2 Г<»> («,*), |
(2.39) |
|
где |
7 1 = 1 |
|
(г,х) = Т(1,х), |
|
|
2 |
|
|
|
I |
|
2сг® (г, х) = 5 га) (I, гх)Т (х1гх) ах1г
|
2СГ(") («, х) = 5 Г<*-1>(*, -Сл) Г К д ) Л . |
(2.40) |
|
|
|
т |
|
Таким |
образом, |
если мы экспериментально определим |
ядра Г(2, х) |
и Г1(^, |
т), то ядра |
К(1, т) и 7^ (I, т;) могут быть найдены аналитически и |
|
экспериментально, и путем их сравнения можно проверить основные поло жения теории.
В заключение приведем другую запись соотношений (2.19) —(2.22), которая принадлежит Больцману [10] и будет использована нами при ре шении задач линейной вязко-упругости. Предположим, что ядра релакса
ции и ползучести являются ядрами разностного типа. Обозначим |
|
||
Г (1) = |
- Е ’{1), |
Г4(0 = - ^ ( < ) . |
|
Х (0 = |
1Г(«). |
Ях(0 = п;(0- |
(2-41) |
Функции В(1) и П(2) называются соответственно функциями сдвиговой релаксации и ползучести, а функции В г(1) и Пх(^) — функциями объем ной релаксации и ползучести, штрих означает дифференцирование по ар гументу. Функции В, П, В г, Пх соотношениями (2.34) определены с точ ностью до констант, которые могут быть найдены из выражений (2.19) — (2.22) интегрированием по частям с использованием (2.32)—(2.35). Подставим, например, в (2.19) выражения ядра К в виде (2.32) и восполь зуемся (2.41). Интегрирование по частям дает
|
|
г |
|
|
|
ец (0 = |
~ |
2 (0 ± 5 |
П' V ~ *) |
(т) йх = |
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
* |
, |
|
(2.42) |
= |
|
(*) + $ |
- х) |
(х) - п (0) (I). |
|
о
Таким образом,
|
|
г |
|
(2.43) |
|
ец (0 588 § Н (* — *) *«1 СО. |
|||
|
|
О |
|
|
причем П(0) ~ |
1/2С, и произвол в выборе константы объемной функции |
|||
релаксации ликвидирован. |
|
|||
Аналогично |
получим |
|
|
|
|
*«(0 = |
о (« —0 * « (0 . |
(2.44) |
|
|
|
|||
|
I |
|
(2.45) |
|
|
6(0 = $ п х(* — О й<з(т), |
|||
|
о |
|
|
|
|
о (/) — § |
(I — т) Й0 (т), |
(2.46) |
|
причем |
о |
|
|
|
11(0) = 1/2С, |
Д(0)='2С, |
|
||
|
|
|||
|
П!(0) = |
1 /X, |
= ^ |
(2.47) |
§ 3. |
Определение ядер |
ползучести и релаксации |
|
|
|
и их свойства |
|
|
|
Для определения универсальных характеристик материала — сдвиговых функций ползучести ГТ(2) и релаксации Н(1) — проще всего использовать опыты на чистый сдвиг, которые можно произвести кручением тонкостен ных трубок. Тонкостенная трубка внутреннего радиуса а, наружного 6, расчетной длины I под действием крутящего момента М закручивается на угол у/, где у = 2е12 = 2е12— деформация сдвига; сдвигающее напряже ние определяется равенством М = тс(Ь2 — а2)а12, а12 = з12, все другие напряжения и деформации равны нулю. Если М (или а12) задать во вре мени, то угол у1 (сдвиг е12) может быть измерен в каждый момент; если, обратно, задать у1, в опыте можно измерить М . Теоретические значения соответственно найдутся из уравнений (2.43) и (2.44), если предположить,
что материал нестареющий:
I
8и (0 = $ П (* — О (тг), 0
I
а 1 2 ( 0 = $ Л ( * — тг) ^ 8 1 2 ( т ).
0
В опыте на ползучесть мгновенно прикладывается и поддерживается постоянным напряжение а12, т. е. задается
а12(0 = <&*(*), |
(3.2) |
где Н(1) — единичная функция Хевисайда, которая определяется как интеграл от 6-функции
I *
/&(*) = ^ 6 (т) дх,
—со
Рис*5* |
Рис. Я. |
Характерный график ползучести |
Характерный график релаксации |
Т. е.
[ 1 при I > О,
к{1) = \ 0 при г < 0 .
Внося
йо* (г) = 0°12 ^ - а х = о (т) ах
в (3.1) и используя свойство б-функции
\/Ц,Х)6(Х) = /(1,0)к(1),
о
получим расчетное значение деформации
е12 = б?2П (0Л (0. |
(3.3) |
Измеренную в этом опыте величину деформации во времени обозначим
е12 — /12 (0 МО • |
|
(3.4) |
|
Сравнивая |
(3.3) и (3.4), |
получим |
выражение для функции ползучести |
0) |
|
|
|
Щ<) = 4 - / 1 2 (0- |
(3.5) |
||
|
°12 |
|
|
При всех |
напряжениях |
а?2, для |
которых свойства материала остаются |
линейными, Щг), а значит/12 (г)/о?2, не зависит от а?2; если же для а?2 >
(н?2)тах с выбранной точностью /12(0/°12 П (2) зависит от значит при
такцх напряжениях свойства уже нелинейны, и точность соотношений § 2 недостаточна. Обычный вид функции ползучести дан на рис. 5.
Вопыте на релаксацию трубка мгновенно закручивается на угол уI
идеформация е12 затем сохраняется постоянной, т. е.
812 = гпН(1). |
(3.6) |
Сравнивая теоретическое значение 012 = с экспериментально измеряемым сг12 = §12,Ц)Щ), находим функцию релаксации (2 > 0)
причем в области линейности 812(1)1г12 не зависит от е?2. Обычный вид функции релаксации дан на рис. 6.
Специфический недостаток опытов на ползучесть и релаксацию состо ит в том, что из-за невозможности мгновенно приложить нагрузку или дать деформацию и измерить мгновенно функции/12, #12 начальные участки кри вых ползучести и релаксации /12, #12 остаются неопределенными, в част
ности, неопределенными будут мгновенные значения /»(0) |
И #12(0). По |
|||
свойству мгновенной упругости должно быть |
|
|||
в». (0)/б« (0) = |
/„ (0)/<& = |
П (0) = |
1/2а , |
|
(0)1*, (0) = |
§12 (0)/е?2 = |
Л (0) = |
2С, |
(3.8) |
так что П (0)7?(0) = 1. Следовательно, мгновенные значения входящих в (3.8) функций, а значит и мгновенного значения модуля сдвига С остаются в этих опытах неопределенными; функции 7?(^) и П (I) фактически опре деляются только для I где гт 1п — некоторое малое время, ха рактерное для методики опытов и измерительной аппаратуры. В обычных так называемых статических опытах это время может быть порядка се кунд, в более безынерционных — порядка десятых, сотых или тысячных долей секунд, а для больших образцов и нагрузок значительно больше. На начальных участках при этом могут получаться заметно различающие
ся кривые П и 7?, но для |
^ |
гт1п они близко совпадают |
между собой. |
||
Этот |
вопрос изучался в работах [11,12]. |
Кривые П(^) |
и 7?(0 очень |
||
резко |
изменяются в окрестности I = О (П — возрастает, 7? — убывает), |
||||
и производные |
|
|
|
|
|
|
< Ш ( 0 /л = Я ( 0 . |
й К ( 0 / ^ = — г > ) |
(3.9) |
||
обычно считают равными |
+ о о |
(для П) и |
— оо (для 7?). |
|
|
Заметим попутно, что формулы (3.9) определяют ядра ползучести и ре лаксации, введенные в § 2 и связанные между собой интегральным уравнени ем (2.36). В линейной области это уравнение с выбранной точностью обла сти линейности будет тождеством, и потому взаимные опыты на ползучесть
и релаксацию, определяющие П и 7?, а значит К и Г, исключают необхо димость решать интегральное уравнение (2.36).
Неопределенность П и 7? на начальном участке I < 2т т, в частности, незнание истинного модуля С, не вносит неопределенности в решение та ких задач, где можно пренебречь изменением нагрузок на тело за время *тт; будем говорить в этом случае, что задачи соответствуют методу экспе риментального определения П и 7?. Интересующий интервал времени де формации тела ^оо в таких задачах значительно больше 2т 1П. Как увидим позже (гл. V), в выражениях напряжений и перемещений в теле через на грузки (например, силу Р) и перемещения границы (например, перемеще ние II) аддитивно входят интегралы типа
г |
г |
|
5 П (I — т) ЛР(т), |
\в .Ц — |
х)<Ш (х).(3.10) |
о |
о |
|
Для |
*тт> считая согласно сказанному, что для I — т < ^п» т. е. |
т > * |
— ^тт, приращения |
мы сможем вычислить (3.10) по приближенным формулам
I |
*ппп |
|
(3.12) |
$П (* — *)<№ {х)тъ |
I |
1Щ — х)йР(х), |
|
0 |
0 |
|
|
г |
^ю т |
|
|
\ Я { 1 — %)Ш {%)~ |
\ |
К [I — Х)Ш (х), |
|
о |
о |
|
|
в которые уже входят . вполне определенные в опытах величины Щт), Я (т) прит > 2т т. В этом случае, конечно, ни при каком I не допускаются
конечные скачки Р и С/ за малые времена порядка |
^ п. Попытки ре |
шать несоответствующие опытам задачи, когда (3.12) |
несправедливы, ко |
нечно, не могут приводить к результатам гарантированной точности. Объемные функции релаксации и ползучести, входящие в соотноше
ния (2.45) и |
(2.46), |
|
|
г |
|
$ (I) = |
§ Яг (I — тг) <70 (т), |
|
|
" |
(3.13) |
0 (0 = |
§ Пг (I — тг) йо (X) |
|
|
о |
|
непосредственно находятся из опытов на релаксацию и ползучесть образ ца любой формы в камере с давлением. Пусть динамометр измеряет давле ние р(Ё) в камере, тензометр — линейную деформацию удлинения М об разца на базе I; тогда, очевидно, для изотропного тела при любой форме образца напряженное и деформированное его состояние будет однород ным, девиаторы з^ = = 0 и постоянные по объему инварианты о, 0 будут
а = — р, |
0 = Зе = ЗАIII. |
В опыте на объемную ползучесть в камере мгновенно создается давле ние р о = — а0, которое поддерживается постоянным во времени, и изме ряется деформация АI, т. е. находится функция
0(0= т т . |
(з.14) |
Поскольку при этом а = о01г(1), то теоретическое -значение 0 находим из (3.13)
0 = |
(3.15) |
Сравнивая эти два выражения 0, находим ядро объемной ползучести
Пх(*) - / ( 0 4 - |
(3.16) |
Аналогично в опыте на релаксацию:мгновенно прикладывая некоторое давление и измеряя мгновеннуюобъемную деформацию 0О, вследующие моменты времени так уменьшаем давление р(2), чтобы объемная деформа ция оставалась постоянной; следовательно, при заданной 0 = 0о/г(2) по~ лучим
о = *(0М0- |
(3.17) |
Но из (3.13) имеем теоретическое значение сг
Следовательно, |
находим |
|
Дх(*) - |
*(*)/9о> |
(ЗЛ9) |
В области линейности свойств тела, конечно, |
/(^)/а0 и #(2)/0о не зави |
|
сят от а 0 и 00, т. е. П1(^), Е ^ ) — универсальные характеристики материа ла, причем они одинаковы при всестороннем равномерном растяжении и сжатии; если же для некоторых а 0^> а отах> 0О> ботах они начинают зави сеть от а 0, 0О, значит происходит переход в область нелинейности свойств.
Для определения Е г, П2 при известных Е и П можно использовать любые другие опыты, отличные от опытов на чистый сдвиг, например опыты на растяжение образца, или более точные опыты на растяжение пластин ки по направлению нормали к ее серединной плоскости (она должна быть приклеена к плоским металлическим плитам, укрепленным в захватах разрывной машины).
Многие полимеры в линейной области обладают ничтожно малой объ емной релаксацией и ползучестью, т. е. функции /(2) и #(2) в (3.14), (3.17) оказываются постоянными. При этом из (3.13) имеем
|
а - |
Е г(0)0, |
0 = |
Пх(0)а, |
|
|
и, |
следовательно, |
обе характеристики выражаются через модуль объемно |
||||
го |
сжатия |
материала |
К |
|
|
|
|
а - |
Я0, |
Е г(0) - 1/ПД0) - К . |
(3.20) |
||
Объемные деформации |
часто |
считают упругими. |
В некоторых задачах |
|||
объемными деформациями и вообще можно пренебречь, так как модуль
К очень велик, |
и тогда вместо (3.13), (3.20) можно |
использовать условие |
несжимаемости |
|
|
0 = |
= 0. |
(3.21) |
Модуль К и мгновенный сдвиговый модуль 6 в линейной области де формации вещества являются истинными физическими константами, ко торые должны непосредственно определять упругие свойства мгновенных процессов деформации. Такие физически мгновенные деформации должны происходить на фронтах волн сильного разрыва.
На плоском фронте волны растяжения — сжатия нормальное напря жение оп скачком возрастает от 0 до (Тп, соответствующее удлинение — от 0 до Сп, причем все другие деформации равны нулю. При Ь— 0
|
а„ = о1Щ), |
вп = ВпЩ), |
|
|
(3.22) |
||
а поскольку еп = е„, |
е22 = е33 = 0, |
еи = |
0(1 Ф ]) и |
0 = |
еп, |
||
еи = |
еп — 0/3 = |
2еп/3, а для напряжений 01х = оп, |
< 22=сг33, |
о |
= 0 |
||
(I ф |
]) имеем |
|
|
|
|
|
|
|
Зп = <г„ + |
2022, |
«П = огп — 0 = |
2(0П — 022)/3, |
|
|
|
то из (3.1), (3.13) находим
а°п - 02°2 = Н(0)е° = 2Се®
а°п + 2022 = ЗЛх(0) Еп = 3Ке°п.
Следовательно, связь между оп и гп на фронте волны
оп = (К + 4б/3)е„. |
(3.23) |
Рис. 7.
Экспериментальное определение уп ругих характеристик вязко-упругих материалов ультразвуковым мето дом
За время й1 фронт волны по нормали переместится в недеформированное вещество на с (сх — скорость распространения волны), и столбик деформируется на ууШ — скорость движения вещества при прохож
дении фронта), т. е. возникает деформация
гп = |
V1/с1. |
(3.24) |
Количество |
движения этого столбика |
(рс1й^)1;1(рс1й^—масса) возникает |
за счет импульса опй1, т. е. |
|
|
оп = |
рС ^ . |
(3.25) |
Внося (3.24) и (3.25) в (3.23), получим |
|
|
<4 = |
У \ (к + 4 С) . |
(3.26) |
Для плоского фронта волны сдвига из аналогичных соображений по
лучим выражение |
скорости ее распространения |
|
с * = У Ш - |
' |
(3.27) |
На рис. 7 показаны тонкая пластинка (толщины к) изучаемого вещест ва и наклеенные на ее плоскостях металлические пластинки. Полупровод
никовый датчик В г(В2) |
и приемник В Х{В^) ультразвуковых колебаний |
||
могут |
быть приставлены |
вертикально (Вг, В х) |
или горизонтально (В2, |
Т)2) и |
позволяют измерить соответственно сг или с2. На основании (3.26), |
||
(3.27) |
можно вычислить константы К и в . Для |
полимеров величины К и |
|
20 имеют порядок 104 ~ |
10б кг/см2. |
|
|
Значения наблюдаемых модулей Он , полученные из статических экспе риментов, гораздо ниже указанных значений О. Рассмотрим опыт на сдвиг
при напряжении, которое при I ^ |
возрастает с постоянной скоростью, |
|||||||
а при I ]> 20 остается постоянным [12]: |
|
|||||||
|
«12 = V I - |
(I - |
Ч) ФЦг - |
*о), |
(3.28) |
|||
где |
= |
сопз1 = |
а?2/*о |
(рис. 8). |
Продифференцируем |
(3.28) с1в12 (2) = |
||
= |
— ^<ик(1 — 20)— (2 — 10) |
Щ — ^0) и подставим в (3.1); получим |
||||||
|
^ |
|
= 1 |
5 |
П(т)йт. |
|
(3.29) |
|
|
С12 |
|
° (И)Л(Ю |
|
|
|||
|
Выражение |
(3.29) для I = |
является наблюдаемой величиной Пн, |
|||||
определяемой |
из |
опыта, |
|
|
|
|||
|
Пн |
С12(*о) |
1 |
1о О |
йх. |
(3.30) |
||
|
|
42 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Рис. 8.
Характерный процесс нагружения в опытах на ползучесть
Таким образом, наблюдаемый модуль Сн зависит от времени в тече ние которого касательное напряжение изменяется от нуля до заданного
постоянного значения а?2- Для «статического» определения истинного мо дуля С необходимо провести серию экспериментов с различными больши ми скоростями нагружения 2Р, отличающимися друг от друга на несколь ко порядков, и экстраполировать значение Сн на предел ^ оо (*0-ьО). Аналогично можно поступить в опытах на объемную ползучесть. Получив истинные значения К и С, можно найти истинный коэффициент Пуассона
V= (ЗК — 26)/(6К + 26) |
(3.31) |
и убедиться в том, что полимеры обладают заметной объемной сжимае мостью и коэффициент V существенно меньше 0,5.
Сильная зависимость наблюдаемого модуля сдвига от скорости дефор мации показывает, что мгновенная упругость, выделяемая в выражениях
(2.32) - (2.35),
|
* |
|
= |
— т) ец(х)дх |
|
|
0 |
|
с помощью б-функции |
|
|
Г (*) = 266(0 — г (*) = 266(0 + #'(0 |
(3.32) |
|
сохраняется очень малое время, т. е. функция Я'(0 при конечных малых временах очень велика и отрицательна. Такого типа функция есть произ водящая для б-функции, обозначаемая 1)(а, 0 и содержащая малый па раметр а [13]. При а ->■ 0, В (а, 0 8(0» причем для любого а
оо |
оо |
|
$/>(<*, Г) й1 = \Ь{1)йЬ = 1. |
(3.33) |
|
ОО
Обозначим производящую для функции Хевисайда Ц 0
|
|
г |
|
(3.34) |
Н(а, *) = $Л(а, т)Л, |
||||
|
|
О |
|
|
так что ЛН!й1 = |
# , |
и представим функцию релаксации Д(0 в виде |
||
|
Д(0 = |
26 |
[1 — ЯЯ(а, 01 - Дг(0. |
(3.35 |
где 1 — |
1 — константа, а регулярное ядро Дг(0 |
обращается в нуль |
||
при I = |
0, |
|
|
|