книги / Методы оптимизации эксперимента в химической технологии

подобия в максимум. Необходимые условия экстремума дает система уравнений

а неотрицательная определенность матрицы

является достаточным условием того, чтобы локальный экстремум был максимумом функции правдоподобия.

Найдем методом максимального правдоподобия оценку парамет­ ра X показательного распределения с плотностью

/ ( * ) = Хе Хдг, 0 с JC < оо

по выборке хи х2, ..., хп.

Для этого распределения функция правдоподобия имеет вид

Дифференцируя (11.15) по А, и приравнивая производную нулю, получим уравнение

- Г - ■S =

откуда находим оценку А* параметраX:

или X* = 1 / х, где х —среднее выборки.

Пусть распределение случайной величины X подчинено нормальному закону:

Тогда вероятность совместного осуществления п независимых собы­ тий X=XjQ= 1, 2, ..., п) равна

1= 1

Продифференцируем (11.18) по т и ст2;

dL 2 V I

i=l

откуда находим оценку

2 U - * ) 2

( 11. 21)

3. Оценка математического ожидания и дисперсии. Метод максималь­ ного правдоподобия всегда приводит к состоятельным, хотя иногда и смещенным оценкам, имеющим наименьшую возможную дисперсию при неограниченном возрастании объема выборки. Для нормально распределенной случайной величины получают оценки следующего вида: среднее арифметическое Зс для математического ожидания тх

* = 2 х'!п

t=\

и выборочную дисперсию ^ для дисперсии D[X]

*’ = £(■X i - x f l n .

1=1

Последняя оценка получается несколько смещенной:

Для получения несмещенной оценки ^ надо умножить на п/(п—)\

Уменьшение знаменателя в (11.23) на единицу непосредственно свя­ зано с тем, что величина Зс, относительно которой берутся отклонения, сама зависит от элементов выборки. Каждая величина, зависящая от элементов выборки и входящая в формулу выборочной дисперсии, называется связью. Можно доказать, что знаменатель выборочной дисперсии всегда равен разности между объемом выборки п и числом связей /, наложенных на эту выборку. Заразность

называется числом степеней свободы выборки. В практических вычисле­ ниях для дисперсии ^ часто удобна формула

__ 1_

п — 1

Преимущество формулы (11.25) в том, что в ней нет операций вычита­ ния близких чисел, как в формуле (11.23), что приводит к потере точ­ ности. В формуле (11.25) эта операция применяется только один раз. Среднее и дисперсию выборки по сгруппированным данным табл. 1 вычисляют по формулам

k k

Величина fc/\2 называется поправкой Шеппарда, она связана со смеще­ нием дисперсии при группировании.

4. Классификация ошибок измерения. Каждый результат измерения — случайная величина. Отклонение реального результата от истинного называется ошибкой наблюдения. Ошибка наблюдения также есть слу­ чайная величина —она является результатом действия только случайных (неучитываемых) факторов. Если обозначить истинный результат через я, ошибку —через АЛ", результат измерения —через Л", то

Различают ошибки трех видов.

1. Грубые ошибки возникают вследствие нарушения основных усло­ вий измерения. Результат, содержащий грубую ошибку, резко отличает­ ся по величине от остальных измерений. На этом основаны некоторые критерии исключения грубых ошибок.

2.Систематические ошибки постоянны во всей серии измерений или изменяются по определенному закону. Выявление их требует спе­ циальных исследований, но как только систематические ошибки обна­ ружены, они могут быть легко устранены введением соответствующих поправок в результаты измерения.

3.Случайные ошибки —ошибки измерения, остающиеся после устране­ ния всех выявленных грубых и систематических ошибок. При таком определении к случайным факторам, порождающим случайную ошибку, не относят факторы с постоянным действием (систематические ошиб­ ки) и факторы с однократным, но очень сильным действием (грубые ошибки). Случайные ошибки вызываются большим количеством таких факторов, эффекты действия которых столь незначительны, что их нельзя выделить в отдельности (при данном уровне техники измерения). При этом распределение случайных ошибок симметрично относительно нуля: ошибки, противоположные по знаку, но равные по абсолютной величине, встречаются одинаково часто. Из симметрии распределения ошибок сле­ дует, что истинный результат наблюдения есть математическое ожидание соответствующей случайной величины. Так как из (11.28) Х = а+ А Х и при отсутствии грубых и систематических ошибок

В дальнейшем будут рассматриваться только случайные ошибки измере­ ний.

5. Закон сложения ошибок. Для независимых случайных величин свойством аддитивности обладают дисперсии, а не среднеквадратичные ошибки. Если Хи Х2, Хп —независимые случайные величины; аь аъ ..., ап—неслучайные величины и

35

то выборочная дисперсия величины Z определится следующим образом:

где

Если величины Xv Х2, ..., Хп интерпретировать как п независимых на­

Из выражения (11.34) следует практический вывод: при оценке точности двух методов следует учитывать длительность анализа. Применяя менее

точный экспресс-метод, можно сделать за то же время значительно большее число опытов и добиться более высокой точности, чем дает трудоемкий точный метод.

6. Ошибки косвенных измерений. Измерения делят на прямые и

.косвенные. В первом случае непосредственно измеряется определяемая величина, при косвенных измерениях она задается некоторой функцией от непосредственно измеряемых величин. Пусть случайная величина z зависит от наблюдений хи ..., хп по известному закону:

* = *2, ... , хп).

Истинное значение величины z может не совпадать с математическим ожиданием Мг, а определяться тем же законом:

обычная дисперсия, только отклонения берутся от среднего косвенного измерения az. Ее можно найти, зная дисперсии отдельных наблюдений и вид функции / На практике определяют выборочные дисперсии да. и по ним выборочную дисперсию косвенного измерения &z , которая служит оценкой генеральной дисперсии Чтобы найти $ , разложим функцию z=f(xv х2> хп) в ряд Тейлора в точке (mX)i mx<i9 ограничиваясь членами первого порядка

df

.......’ т*п) + 1 £ 1 Х1- п Л +

равно: f } =т] - 1, f 2 = m2- 1, f n=mn - 1. Общая дисперсия воспроиз­ водимости всех опытов будет равна средневзвешенному значению част­ ных дисперсий (в качестве весов берутся степени свободы):

Число степеней свободы общей дисперсии равно общему числу изме­ рений минус число связей, использованных для определения п средних:

Учитывая, что частные дисперсии определяются по результатам парал­ лельных опытов по формуле

Таким образом, при равном числе параллельных опытов общая дисперсия воспроизводимости равна среднеарифметическому значению частных дисперсий. Число степеней свободы общей дисперсии при

этом равно

И окончательно

лт

Число степеней свободы у общей дисперсии воспроизводимости, определяемой по формулам (11.39) и (11.42), гораздо больше, чем у каждой частной дисперсии в отдельности. Поэтому общая дисперсия воспроиз­ водимости намного точнее оценивает дисперсию генеральной совокуп­ ности ав2оспр.

При вычислении дисперсии воспроизводимости по текущим измере­ ниям объединяют между собой только те пробы, которые можно рас­ сматривать как выборки из генеральных совокупностей с равными

Р е ш е н и е . По данным таблицы вычислим sf по формуле

Для вычисления общей дисперсии по формуле (11.37) понадобятся слагаемые вида

mt

2 уи

а \и= 1

si (пц — 1) = Уи—----—

пц

и = \