книги / Методы математической физики и задачи гидроаэродинамики

где gMd ^ = |(- g - )’ . р — ПЛОТНОСТЬ.

Название интеграла (3.58) не случайно: он определяет пол­ ную энергию колеблющегося тела D в момент t. Покажем это, рассматривая для наглядности случай п= 2 (случай колебания

мембраны). Очевидно, что (çu\dxxdxàl2 — кинетическая энер­

циальной энергией. Действительно, потенциальная энергия рав­ на работе, которую надо совершить, чтобы перевести мембрану из фиксированного положения в данное. В качестве фиксиро­ ванного положения возьмем положение, когда мембрана зани­ мает область D на плоскости Ох\Х2. (Выбор фиксированного

положения не важен, так как потенциальная энергия опреде­ ляется с точностью до константы.) Разобьем область D на ячейки векторными линиями поля gradin и линиями, им орто­ гональными (рис. 3.3). Элемент do (с точностью до бесконечно малых высшего порядка малости относительно диаметра ячей­ ки do) — прямоугольник со сторонами dh и dl (рис. 3.4). В мо­ мент t он занимает положение прямоугольника со сторонами dh и dl'. Элемент Ло мембраны сопротивляется растяжению с силой Tdh. Поэтому элементарная работа по перемещению do

Суммарная работа по перемещению мембраны из положения D в положение D' равна

Действительно, пусть щ, и2— решения этой задачи. Поло­ жим и—щ—и2. Тогда и будет решением этой же задачи с / = 0,

Ф=0, ф=0, р=0.

Если ü\, Uz — решения первой или второй начально-краевой

7 = 0 и—0. Следовательно, и = 0 и wi= w2 в области Q.

Рассмотрим вопрос об устойчивости решений начально-крае­ вых задач для волнового уравнения. Не проводя полного обос­ нования в общем случае, покажем, как можно доказать непре­ рывную зависимость решения от начальных условий. Для про­ стоты записи при этом будем считать р = 1 , а —1 .

Рассмотрим класс дважды непрерывно дифференцируемых в области Й функций. Расстояние между любыми двумя его функциями / и q определим равенством

(3.65)

где А> 0 — произвольное фиксированное число.

Т е о р е м а . Пусть щ и и2— два решения уравнения иц=Аи, удовлетворяющие начальным условиям ÜI | /=о==ф1^ Си1)<|/=о=ф1

при 5<e/c, где c = iï 6+Л 2| pü|‘/2, pD — мера области D.

Тем самым теорема доказана.

З а м е ч а н и е . Можно получить оценку максимума модуля изменения решения. Доказательство в этом случае несколько сложнее, а в случае п^Ъ еще необходимо потребовать, чтобы были малы максимумы модулей производных от tpi—фд до по­ рядка £=[я/2] включительно.

Единственность и устойчивость начально-краевых задач для уравнения теплопроводности является непосредственным след­

Т е о р е м а (принцип максимума). Пусть и(х, t ) — решение уравнения'(3.71) в области Пт, непрерывное в области йг. Тогда Y (*, t) œ Q

Действительно, предполагая, что тахт;, достигается в неко §г

торой внутренней точке Р о(х°/°)е й г , получим dv

= 0 при /0< 7 \

di Ра

Применяя доказанное к функции —и, получаем, что V (х, i)Œ.

уравнения ut=a2Au+f в QT, непрерывные в Qт, и удовлетворя­ ющие условиям

й1|/-0= 9х» И2|/-0= ? 2»

« i|s = th > й 2|5= р 2.

где |ф |< е, | р |< е . Согласно принципу максимумаV (х, t)Œ Qj |и|<шах^шах|<р|, m ax|n]j<e

и, следовательно, \и\—и2|< е . Полагая е= 0, получаем единст­

венность решения первой краевой задачи.

Единственность и непрерывная зависимость решения второй краевой задачи от начальных данных может быть получена,

ГЛАВА 4

СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ

Применение метода Фурье для решения многих линейных задач математической физики приводит к обыкновенным диф­ ференциальным уравнениям, решение которых не выражается через известные элементарные функции. Подобные решения называют специальными функциями. В частности, решение за­ дач для уравнений Лапласа, теплопроводности, колебаний в цилиндрических или сферических координатах методом разде­ ления переменных приводит к обыкновенным дифференциаль­ ным уравнениям указанного типа.

В этой главе рассмотрены цилиндрические функции, или функции Бесселя,' через которые выражаются решения многих, в том числе и упомянутых выше, уравнений математической физики, записанных в цилиндрических координатах. В начале главы дается представление о Г-функции, с помощью которой строятся цилиндрические функции.

§4.1. ГАММА-ФУНКЦИЯ

Интегралом Эйлера второго рода или Г-функцией (гаммафункцией) называют следующий интеграл, зависящий от пара­ метра s:

Г-функция входит в так называемые цилиндрические функции, широко используемые при решении различных задач матема­ тической физики. Интеграл (4 .1)— несобственный, так как верхний предел бесконечен и при s < l и * -> 0 подынтегральная функция неограниченно возрастает. Однако при s > 0 интеграл

(4.1) сходится. Для того чтобы в этом убедиться, перепишем интеграл (4.1) так:

1 «•