книги / Методы математической физики и задачи гидроаэродинамики

Уравнение (2.5) есть интегральная форма уравнения тепло­ проводности. Оно имеет смысл при относительно слабых огра­ ничениях, накладываемых на входящие в него функции. В нем интегралы существуют, если функции k, с, р, F только кусочно непрерывны, а функция и непрерывна и кусочно дифференци­ руема. Как будет видно из изложенного ниже, переход к диф­ ференциальной форме уравнения теплопроводности связан с бо­ лее жесткими требованиями гладкости, предъявляемыми к функциям k, с, р, F, и.

Применим в равенстве (2.5) к поверхностному интегралу

Обозначим подынтегральную функцию в этом равенстве че­ рез Ф(М, /). Пусть Ф(Л1, t) непрерывна в любой точке М рас­ сматриваемого тела D в любой момент времени t. Тогда ра­

венство JJJ Ф (М, t)d x = 0 в силу произвольности выделенного

%

объема т возможно лишь в том случае, .когда Ф(М, / ) = 0 в те­ ле D при любых t. Действительно, если предположить, что в некоторый момент времени to в некоторой точке Mo подынтег­

ходному равенству JJJ Ф(Л1, i)dx—0 при любых т и i. На ос­

новании сказанного из равенства (2.6) в предположении не­ прерывности подынтегральной функции и в силу произвольно­ сти выделенного объема т получим

нение (2.7) есть уравнение теплопроводности в дифференци­ альной форме.

Заметим, что для обеспечения непрерывности Ф(М, t) необ­

ходимо потребовать непрерывность функций с, р, F, непрерыв­ ную дифференцируемость коэффициента k и существование не­

На основании теоремы Остроградского — Гаусса отсюда сле­ дует, что

J f f ( ( d,v ( W > + - F ) * = 0 "

1

В силу произвольности объема т при условии непрерывности подынтегральной функции отсюда получаем

Рассмотрим теперь безвихревые движения жидкости (что возможно только в идеальной жидкости), т. е. такие, для кото­ рых rot 6 = 0 . Из курса математического анализа известно, что безвихревое поле потенциально и что оно является полем гра­ диентов некоторой скалярной функции и(х, у, z, t), называемой потенциалом (в данном случае потенциалом скорости) :

v = —grad и,

d ivgrad«=0 или Ди=0.

Таким образом, потенциал скорости любого безвихревого те­ чения идеальной несжимаемой жидкости при отсутствии в по­ токе источников и стоков удовлетворяет уравнению Лапласа.

В соответствии с введенной классификацией линейных урав­ нений второго порядка [ср. уравнения (2.10) и (1.23)] уравне­ ние Лапласа является уравнением эллиптического типа.

§ 2.3. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ

Волновое уравнение описывает колебательные процессы различной физической природы.

Выведем уравнение малых (акустических) колебаний уп­ ругого газа. Предварительно получим уравнения, описывающие любые движения идеального газа. Выделим мысленно в прост­ ранстве, заполненном движущимся газом, произвольный объем т с границей 5 (см. рис. 2.1)'. На граничную поверхность S вы­

Применяя формулу Остроградского — Гаусса к каждому из по­ следних интегралов, получаем

JJ p n d s = l J jJ div(/>7)flhr-f7Jf f dlv(p7)rft+

dx,

T. e.

J j pads= JJJ grad pdx.

Подставляя это выражение в равенство (2.12), находим, что

JÎKp^-p17~grad^t=0'

откуда в силу произвольности объема т при непрерывной подынтегральной функции получаем

- ~ = — - g ia d /»+/*. at р

Это уравнение движения идеального газа в векторной форме. Оно называется уравнением Эйлера, в нем v, р, р — неизвест­ ные функции. Присоединяя к уравнению Эйлера уравнение не­ разрывности (1.11) и уравнение состояния р—р(р), соответ­ ствующее адиабатическим или изотермическим процессам тече­ ния, получим замкнутую систему уравнений, описывающую дви­ жение идеального газа:

Рассмотрим малые (акустические) колебания газа в отсутствие массовых сил (F = 0 ) и в предположении адиабатичности про­ цесса колебаний, когда уравнение состояния р —р{р) имеет вид

теплоемкостей при постоянном давлении ср и постоянном объ­ еме Су\ величины ро, ро — значения давления и плотности в не­ возмущенном газе. Малость колебаний математически будет выражаться, во-первых, в малости скорости v движения газа и,

Если произвольные функции f, q> связать соотношением <p'=f, то

ди

Б = ■

Д2 ~дГ

Подставляя это значение в и выражение и= —grad и во второе из уравнений (2.16), получаем

альные, описываемые волновым уравнением (2.17), которому

которой мал по сравнению с длиной трубки и вдоль оси кото­ рой расположена ось Ох, получаем, что и есть функция только одной пространственной переменной х и времени t Уравнение (2.17) тогда принимает вид

X X '

К такому же уравнению приводит и задача о свободных малых поперечных колебаниях струны.

Струна — это гибкая упругая нить, т. е. нить, не сопротив­ ляющаяся изгибу и сопротивляющаяся растяжению. Поэтому

Ох.

Поставим задачу: составить уравнение свободных колебаний струны, когда действие внешних сил отсутствует.

Обозначим отклонение точки х от положения равновесия в момент t через и(х, t) и предположим, что и(х, t) — дважды непрерывно дифференцируемая функция. Выделим малый отре­ зок между точками х и лг-f-Ах и пусть он в момент t занимает положениe^MiM2 (рис. 2.2). Малость колебаний означает, что квадратом величины их можно пренебречь, поэтому удлинение рассматриваемого отрезка в момент / как разность длин^ЛМ^а

и отрезка Ах равно

Следовательно, в каждой точке струны сила натяжения |7 | =

—То не зависит ни от х, ни от t. Найдем равнодействующую

R =z TQUX (X , 0~\~TQUX (X ~{“Длс, t)^^ToUxx(x, t) Ax.

С другой стороны,

R = Дmutt= pAxutt.

Приравнивая выражения для R, сокращая на Ах и деля на р, получаем

—хх t

где положено а 2 — Т 0/р .

В случае свободных малых поперечных колебаний мембра­ ны (тонкой гибкой упругой пластинки), проводя аналогичные

Волновое уравнение описывает колебательные процессы и иной физической природы, например распространение электро­ магнитных волн в однородной непроводящей среде и др. Во всех случаях множитель а2, входящий в волновое уравнение, равен квадрату скорости распространения возмущений (волн) в собтветствующих колебательных процессах. В частности, при акустических колебаниях газа множитель а равен скорости рас­ пространения малых возмущений в однородном газе (скорости распространения звука). Используя введенные ранее соотноше­

Как указывалось ранее, уравнение с частными производны­ ми имеет, вообще говоря, бесчисленное множество решений, за­ висящих от произвольных функций.

При рассмотрении конкретного физического процесса необ­ ходимо из бесчисленного множества решений уравнения, опи­ сывающего общий физический закон, выделить единственное, для этого надо подчинить решение дополнительным условиям, или, как говорят, поставить задачу математической физики. Дополнительные условия в зависимости от их физического смысла разделяют на'начальные и граничные (краевые).

Начальные условия в случае нестационарных процессов за­ дают значения искомой функции или ее производных во всей рассматриваемой области в начальный момент времени. Так, в задаче о распространении тепла может быть задано распре­ деление температур и{М, t) в области D a R n в начальный мо­ мент времени t = t 0

й(ЛМ 0)=<р(М) V M œ D .

В задаче о малых поперечных колебаниях мембраны могут быть известны отклонения и(М, t) точек М мембраны от поло­ жения равновесия в начальный момент времени и их началь­ ная скорость

й(М ,/0)=<р(М), ut (M, t0)=ty(M) Y M G E œ R2. (2.18)

В задачах о процессах в ограниченных областях могут быть из­ вестны значения искомой функции, ее производных или соот­ ношения между ними на границе области в любой момент времени. Такие условия называются граничными или краевы­ ми. Краевое условие линейное, если искомая функция и ее про­

На практике часто приходят к следующим трем видам линей­ ных краевых условий на S:

Взадаче о распространении тепла в ограниченном теле D

ккраевому условию первого рода приходят, когда в каждой