книги / Математические модели элементов интегральной электроники
..pdfВ |
результате решения системы уравнений (1.4) — |
(1.9) |
(а при необходимости совместно с дополнительны |
ми уравнениями) определяются функции, описывающие значения л, р, <р, Е. После этого можно вычислить плот ности токов, просуммировать их и найти полные токи,
протекающие через выводы компонента. |
условиями |
|
Уравнения |
(1.4) — (1.9) с граничными |
|
(1.10) —(1.16) |
описывают статические и переходные ха |
|
рактеристики |
прибора в режиме малого |
и большого |
сигналов. |
|
|
При расчете частотных характеристик в режиме ма лого сигнала математическая формулировка задачи мо жет быть получена, если в выражениях (1.4) —(1.16) переменные представить в виде
Индексом 5 обозначена постоянная составляющая, а ин дексом t — амплитуда переменной составляющей.
1.3. Методы построения моделей
Прямое решение системы дифференциальных уравне
ний в |
частных |
производных, каковой является (1.4) — |
(1.9) |
, связано |
со значительными математическими труд |
ностями и требует -больших затрат машинного времени.
Поэтому при построении |
моделей обычно |
начинают |
с упрощения исходной системы уравнений. |
приборов |
|
Для каждого класса |
полупроводниковых |
|
(диод, биполярный или МДП-транзистор и т. д.) из об щей системы (1.4) — (1.9) удается выделить основные уравнения, которые описывают физические процессы
вэтом приборе или в какой-либо его области. Например, процессы, протекающие в активной обла
сти базы биполярного транзистора при низких и сред них уровнях инжекции, достаточно точно описываются одномерным уравнением непрерывности для -неосновных носителей (1.4). В МДП-транзисторе определяющую роль играют основные носители, концентрация которых зависит .от величины внешнего электрического поля Г41. Так, например, характеристики р-канального МДПтрэнзистора могут быть описаны уравнениями (1.6) и (1.9) . Процессы в фотоэлектрических полупроводнико вых приборах описываются уравнением непрерывности с учетом генерационной составляющей тока [4].
Итак, из общей системы (1.4)-—(1.9) выделяются те уравнения, которые определяют характеристики данного прибора. Затем, используя эти уравнения, строится ММ, которая связывает токи, протекающие через прибор, с напряжениями и а его электродах. Существует т.ри подхода (рис. 1.3), позволяющие получить такую модель.
Непосредственное решение основных уравнений. Точ ное решение уравнений в частных производных можно
получить аналитическими и |
численными методами. |
К сожалению, в большинстве |
случаев дифференциаль- |
Рис. 1.3. Основные методы построения моделей.
ные уравнения в частных производных, описывающие характеристики приборов, нелинейны и не имеют анали тического решения. При численном решении простран ственные и временные производные, входящие в уравне ние, представляются ь конечно-разностном виде [6]. Проиллюстрируем этот способ на простом примере. Рас смотрим одномерное уравнение непрерывности, описы вающее процессы в базе диффузионного транзистора [5]:
dpldt= — (р - pt)fH + D, (д*р/дх’). (1.17)*)
Граничные условия на эмиттероном и коллекторном р—n-переходах имеют вид [18]
р (0, i) = р0(0) &Js'4'T, р(т6, t) = p, { т ) е к1ч\ (1.18)
Уравнение (1.17) с граничными условиями (1.18) имеет ана литическое решение f51 и выбрано нами только для иллюстрации численного метода.
ГД6 о)с — ширина базы транзистора; t/a, Уи —напряже ния на эмиттериом н коллекторном переходах. Началь ное условие определяется распределением дырок в базе до поступления импульса. Это распределение равно рав новесному
|
|
p(xt 0)=po(x). |
|
|
(1.19) |
||
Заменим производные в |
уравнении (1.Л7) |
конечными |
|||||
разностями по формулам [6] |
|
|
|
|
|||
дР |
Рк. /+ . — Рк. / |
д*р _ |
Pk+I.i — 2pk.j + Pk-ui |
п о т |
|||
~ d t ^ ------- It------- |
д*г~------------ W*------------• |
|
|||||
Здесь А/ — шаг по времени; Ах—шаг |
по |
координате; |
|||||
Ph,j+1— концентрация в точке |
/-И |
(рис. |
1.4). Под |
||||
ставляя (1.20) в (1.17), получаем следующее выражение
для определения puj+i |
методом сеток [6]: |
|
|||
. /+* = |
/fc./ + A<(- |
Pk, I — pok,j_ |
|
||
, |
п |
Pk+,.l —2Pk.i + P k - ,.i\ |
(1.21) |
||
+ Di> |
Ш |
у |
|
||
Применяя формулу |
(1.21) последовательно к каждо |
||||
му узлу сетки, можно вычислить распределение концен
трации р(ху t) в любой момент |
|
|
|||||
времени. |
|
|
рассмотренного |
|
|
||
Достоинством |
t ' |
|
|||||
метода является |
его |
универсаль |
kJ+f |
||||
ность; с его помощью можно про |
I |
|
|||||
водить анализ характеристик при |
kj |
k+tj |
|||||
боров с различными параметрами |
|
|
|||||
структуры |
и управляющими |
сиг |
|
|
|||
налами. |
|
этого |
способа |
Рис. |
1.4. Конечно-раз- |
||
Недостаток |
соtr ц0СТПая сетка |
||||||
стоит в том, |
что |
использование |
сеток) |
для не |
|||
численных |
методов |
(типа |
метода |
||||
посредственного решения основных уравнений требует большого объема памяти вычислительной машины и приводит к значительным затратам машинного времени. Это связано с тем, что для обеспечения сходимости и точности решения необходимо выбирать значения Ах и Дt достаточно малыми.
Переход к системе дифференциально-разностных уравнений. Распределенные модели. При таком подходе
уравнения в частных производных заменяются системой обыкновенных дифференциальных уравнений, которые получаются приближенной заменой пространственных производных разностными формулами. Как правило, полученные уравнения являются математическим описа нием ^эквивалентной схемы. Такие модели носят назвав ние распределенных ММ.
В методе, предложенном Линвиллом [7], -производ ные по координатам в основных уравнениях заменяются соответствующими разностными формулами. Физически это означает, что весь прибор разбивается на элемен тарные области, каждая из которых заменяется эквива лентной схемой. Обратимся к уравнению (1.17). Заме ним в этом уравнении вторую производную дгр!дх1 сле дующей .разностной формулой'.
Ъ'Р |
_ |
(Pk+1— Рк)!Аа:А+1 — (Pk— Pk- \)fhXk |
' |
/1 nm |
dx* |
~~ |
Axk+i/2 + bxk/2 |
' |
где Ахи, Axk+1 — шаги разбиения слева и справа от £-й точки.
В отличие от разностной формулы (1.20) выражение (1.22) учитывает возможность неравномерного разбие ния базы. Уравнение непрерывности (1.17) для &-й точ ки в базе при /г=.1, 2, N аппроксимируется выра жением
dpk ^ |
p k — pok |
, n (pk+i — pk)/bxh+i |
— (pk— pk+\)/&xk |
/i |
oo\ |
dt ^ |
tp |
Axk+i/2 |
+ Axk/2 |
‘ { |
} |
Уравнение (1.23) является обыкновенным линейным дифференциальным уравнением относительно временной переменной t. Если количество точек разбиения равно N, то приближенное распределение носителей заряда в базе описывается системой обыкновенных дифферен циальных уравнений N-ro порядка.
Чтобы установить связь между уравнением (1.23) и физическими процессами в базе, запишем выражение для диффузионного тока
. /двф= - qADp (др/дх), |
(1.24) |
где А —площадь поперечного сечения базы. В разност ной форме диффузионный ток, втекающий в точку k слева, описывается выражением
/днф к = (qADp/Axh) (Рк-i — Рк). |
(1.25) |
Введем понятие «элемент диффузии» — сосредоточен ного элемента, описывающего процесс диффузии:
Hdk = qADpI Axk- |
(1.26) |
Заметим, что элемент диффузии можно считать схем ным элементом, ток через который пропорционален раз ности концентраций на его внешних выводах (рис. 1.5,а).
0--- III--- - |
Нек |
|
|
h -1 Hju Pk |
|
|
|
а |
5 |
д |
г |
Рис. 1.5. Элементы модели Линвилла:
а —диффузии; б — рекомбинации; в — накопления; г — генерации.
Введем определения для сосредоточенных элементов, которые отображают процессы генерации, рекомбинации и накопления. Умножим обе части уравнения (1.23) на величину qA
|
* dvh |
qApk |
| qApok i |
|
|
<*A ч г = ~ — |
+ ~ ъ ~ + |
|
|
I |
Hdk {pk -\ — Pk) — ftd k + t (pk — pk+i) |
/1 0 7 \ |
||
“* |
|
(Д** + Д**+.)/2 |
* |
|
Определим сосредоточенные элементы накопления Sk и рекомбинации # с& в узле к следующим образом (рис. 1.5,6, в) :
S k = qA Ахк+^+Л™ ;
Hck=q— |
Axk+'2+— ■ |
(128) |
хр |
I |
|
Используя параметры введенных элементов, уравне ние непрерывности (1.27) можно переписать в виде
Sft (dpkldt) HckPk — HckPo = ЛшФ ь — /диф ft+i.
(1.29)
Каждый член этого уравнения имеет размерность тока; для узловой точки к уравнение непрерывности яв ляется выражением первого закона Кирхгофа. Уравне-
§5
нию (1.29) можно поставить в соответствие эквивалент ную схему с сосредоточенными параметрами (рис. 1.6). Элементы эквивалентной схемы Лиивилла отражают конкретные физические процессы: диффузию представ
|
|
|
ляет элемент Нак, |
рекомбина |
||
|
|
|
цию ЯсЛ> генерацию tfcftp0, на |
|||
|
|
|
копление |
неосновных |
носите- |
|
|
|
|
лей заряда 5^. |
символиче |
||
|
|
|
Таким |
образом, |
||
рк-1 |
р* |
нйм |
ские элементы, с одной сторо |
|||
ны, непосредственно выражают |
||||||
|
|
|
физические процессы |
в полу |
||
Рис. |
1.6. Эквивалентная |
проводнике, а с другой, имеют |
||||
схемотехнический |
смысл, по |
|||||
схема |
Линвилла |
для объема |
зволяя записывать |
физические |
||
полупроводника. |
|
|||||
процессы в виде эквивалентной электрической схемы. В этом заключаются смысл и до стоинство модели Линвилла.
Недостаток модели состоит в том, что ее нельзя не посредственно использовать в стандартных программах анализа электронных схем, так как переменными в мо дели Линвилла являются ток и концентрация, а не ток и напряжение. Этот недостаток устраняется, если в уравнениях непрерывности и переноса сделать замену переменной, выразив концентрацию через квазипотенци ал Ферми:
p = tti exp [(<рр —<p)l<fT]. |
(1.30) |
Как и в методе Линвилла, разобьем полупроводник на конечное число элементов малого объема (рис. 1.7,а). Можно считать, что в каждом k-м объемном элементе значения электростатического потенциала ф& и квазипо тенциала Ферми фpk постоянны. Токи генерации-реком бинации и накопления текут в пределах самого элемен та, а ток диффузии — между соприкасающимися /г- и (/г+ 1)-м элементами.
Ток накопления определяется выражением
^нак k = dQk/dtf |
(1.31) |
где Qh — заряд, накапливаемый в £-м |
объемном эле |
менте. |
|
Используя условие Qh^q&XkApk, выражение (1.31)
можно переписать в виде |
|
|
/«« * = |
x kA fd = |
■ (1.32) |
Легко заметить, что ток tmKh аналогичен Току, upofekih ющему через емкость:
1ижк = Ср^ Ы - ч и ) ^ |
(,.33) |
I ле CPh= (q&XkArii/fpr) exp [ (фрЛ—фЛ)/фТ] — нелинейная емкость, величина которой зависит от разности потен циалов на ее выводах.
|
|
5 |
|
|
Рис. 1.7. Распределенная ЯС-модель полупроводника: |
|
|
||
о — разбиение |
полупроподиика на |
элементарные объемы; б — распределен]! |
||
эквивалентная |
ЯС-схсма. |
|
|
|
По определению диффузионный ток |
|
|
||
|
/диф = — qADp (|dp/dx) = qA\ipp (d<pp/dx). |
(1.34) |
||
Диффузионный ток, протекающий между к- и |
(к + |
|||
+ 1)-м элементарными |
объемами, можно |
получить, |
||
представив (1.34) в конечио-разностной форме: |
|
|||
|
/диф»=9Л|л/ * + / * +' |
|
(L35) |
|
Ток /диф/t аналогичен току, протекающему через |
рези |
|||
стор: |
|
|
|
|
|
/дифА — (?р& — 9pk+i)/Rpkt |
|
(1.36) |
|
где RPk= |
2Дx 2k)Dp (CPk + |
Cpk+i) — нелинейный |
резистор, |
|
величина которого зависит от емкостей, связанных сего выводами. Ток рекомбинации в k-м объеме описывается следующим выражением:
/рекА = AQA/^P, |
(1.37) |
27
где ЛQh — избыточный зарйд в 6-м объемном элементе. Иначе
__ |
qbxkA |
/рек k |
(iOh — P°k) — |
|
ХР |
(1.38)
Ток /рекл можно представить как ток, протекающий через нелинейный элемент 7?r/t, вольт-амперная характе ристика которого задана выражением (1.38).
При построении физической эквивалентной схемы каждый объемный элемент удобно характеризовать двумя узлами, имеющими потенциалы cpp/t и <р*.
Объединяя элементы RPh, iRr/i и Cp/t, получаем экви валентную ЯС-цепь, изображенную на рис. 1.7,6.
Уравнение непрерывности (1.23) можно получить, если записать для каждого 6-го узла эквивалентной схемы рис. 1.7,6 первый закон Кирхгофа:
C Pk — ' Н“ /рек (?рЛ> 4 k) =
W -i — ypk |
<?Рк —ы+ 1 |
(1.39) |
|
Rpk~i |
Rpk |
||
|
Из уравнений (1.39) следует, что эквивалентная схе ма рис. 1.7,6 описывается системой обыкновенных диф ференциальных уравнений N-го порядка относительно потенциалов в узлах и может быть проанализирована на ЭВМ с помощью программ анализа электронных схем, использующих аппарат теории цепей.
Еще раз подчеркнем, что модель, в которой структу ра прибора разбивается на элементарные «сосредоточен ные объемные элементы, и каждому элементу ставится в соответствие его физическая эквивалентная схема, на зывается распределенной моделью. Название распреде ленные ММ отражает способ получения таких моделей: представление рассматриваемой структуры полупровод ника в виде распределенной линии, состоящей из эле ментов рис. 1.6 или 1.7,6. В зависимости от того, какие физические величины характеризуют элементарный объ ем, модель с распределенными параметрами может быть представлена или в форме модели Линвилла, или в форме эквивалентной /?С-цепи. В модели Линвилла
Независимыми физическими переменными являются кон центрации носителей. В модели типа эквивалентной RC-цепи такими независимыми переменными являются электростатический потенциал и квазипотенциал Ферми.
Распределенную линию, как правило, удается заме нить конечным числом схемных элементов (математиче ски это соответствует тому, что пространственные -про изводные заменяются конечно-разностными соотноше ниями).
Методы, использующие замену производных конеч ными разностями, являются универсальными и пра вильно отражают физические явления в полупроводни ковом приборе. Их недостаток состоит в том, что для обеспечения необходимой точности требуется большое количество разбиений, это приводит к высокому поряд ку системы дифференциальных уравнений и, следова тельно, к значительным затратам машинного времени.
Приближенные методы решения. Квазистатические модели. Этот подход основан на получении приближен ного решения уравнения в частных производных при использовании различных обоснованных упрощений и предпосылок [8—10].
Во многих схемах элементы работают в квазистатических режимах, т. е. в условиях, близких к статическим. В этих случаях собственной инерционностью процессов, протекающих в отдельных элементах, можно пренебречь. Например, при работе транзистора в низкочастотных схемах распределение неосновных носителей в его базе практически совпадают со стационарным. Транзистор как бы безынерционно «следит» за изменениями напря жений на электродах. То же самое относится и к цифро вым МДП-интегральным схемам. Собственная инерцион ность МДП-транзистора Имеет порядок 1 нс, а длитель ность переходных процессов в схеме 200—300 нс. В та ких случаях при построении динамической модели целе сообразно использовать информацию о статическом решении.
При квазистатическом приближении наиболее удоб ны два метода построения динамических моделей: метод заряда и метод возмущений.
В методе заряда вычисляется суммарный заряд, на капливаемый в рассматриваемой области прибора. При этом предполагается, что распределение заряда по коор динатам в переходном режиме близко к стационарному.
Рассмотрим Метод заряда на примере одномерного урав нения непрерывности
dp/dt = — (р — po/ър) — (1/<7) div jp. |
(1.40) |
Распределения потенциала ср и дырок р (как следует из (1.40)) являются функциями координаты и времени: ср='ф(л', t), р= р(х, /). Важное приближение метода за ряда состоит в том, что нестационарные распределения потенциалов и концентрации представляются в виде
tp (X, t) = 9>ст (А-) ft [?. (t), Ь (0]. P (x - t) =
(1.41)
где фст(*), рст(х)— распределения в статическом ре
жиме; /l [q>i(0, Фг(0]» h [Pi(0. Рг(0] — некоторые функции граничных условий. Таким образом, при ис
пользовании метода заряда предполагается, что времен ная зависимость распределений ф(я, t) и р(х, t) опре деляется только временной зависимостью граничных условий. Например, распределение дырок в базе бипо лярного диффузионного транзистора при работе в ак тивном режиме записывается следующим образом:
Рст (х) = |
Per э (1 — x/m), р (X, t) ^ |
рэ(/) (1 — х / Wb). |
Итак, |
основным приближением, |
которое делается |
в методе заряда, является приближение (1.41). Еще раз подчеркнем, что физически (1.41) означает, что рассма триваемый полупроводниковый элемент работает в квазистатических условиях, т. е. изменение внешних управ ляющих сигналов происходит значительно медленнее, чем протекание собственных (внутренних) релаксацион ных процессов. Поэтому все распределения близки к статическим.
Для определения полного заряда проинтегрируем (1.41) по координате
(1.42)
Дифференцируя Qp(£) по величинам, соответствующим управляющим сигналам, можно определить искомые