книги / Математические модели элементов интегральной электроники

зависимости токов, протекающих через внешние выво­ ды, или напряжений от времени:

В качестве примера для иллюстрации метода заряда рассмот­ рим диффузионный резистор, распределение потенциала в котором описывается следующим уравнением [7]:

где г и с — удельные (на единицу длины) сопротивления и емкости

резистора; U — напряжение относительно подложки. Статическое ре­ шение этого уравнения записывается в форме

Полный заряд, накапливаемый на распределенной емкости диффу­ зионного резистора:

Л,

Считая, что U(x, t) есть статическое решение (1.45) и пренебрегая зависимостью емкости от режима, получаем

Динамические составляющие токов, протекающих через резистор, определяются изменением полного заряда

,. dQn dUi _ С dUx

Здесь C = c(x 2—x{).— полная емкость; Лдип и /гдип— динамические

составляющие токов через левый и правый (х = х 2) выводы резистора (рис. -1.8,0). Полные токи равны сумме динамических и статических составляющих

где R = r [ x 2—хх) — полное сопротивление резистора.

На рис. 1.8,6 приведена эквивалентная схема, соответствующая уравнениям (1.49).

В методе заряда для получения динамической моде­ ли предварительно осуществлялось интегрирование исходного уравнения. В работе [10] предложен более общий метод получения динамической модели, в основе которого также лежит предположение о квазистационар­ ности процесса, но в котором не надо делать никаких преобразований с исходным уравнением. В данном ме­ тоде для получения приближенного решения дифферен­ циального уравнения в частных производных использу-

Контакты SiOzги

ш

Резисторр-тила п-область

а

Рис. 1.8. Эквивалентные схемы диффузионного резистора:

ется метод возмущений. Согласно этому методу реше­ ние уравнения, описывающегофизические процессы в элементе, представляется в виде суммы статического решения Uo(x)> временная зависимость которого опре­ деляется только Ui(t), U$(t), и добавочного динамиче­ ского члена О(я, t):

где U' = dU/dx; U" = d*U\dx\

Основное предположение метода возмущений состоит в том, что величиной dU/dt в левой части уравнения (1.50) можно пренебречь по сравнению с dUo/dt:

dU/dtcdUo/dt. (1.52)

Физически это означает, что решение уравнения (1.50) в нестационарном случае близко к статическому О0(х),

дифференцирования сложной функции, левую часть уравнения (1.50) можно записать в виде

С учетом (1.53) исходное уравнение (1.50) заменя­ ется обыкновенным дифференциальным уравнением относительно Щх, t):

= F (U0+U, U\ + U', U"t + G"). (1.54)

Здесь Ux= dU1jdt\ U2~dUjdt. На границах области зна­ чение U равно нулю

Решая уравнение (1.54), можно определить зависи­ мость U [х, Ui(t)y Uz{t)] и токи через электроды как некоторые функции напряжений и их производных по времени

/|= /( t/l, U2, и» Xi)t Uzt &h X2).

(1.56)

Полученные выражения представляют собой динами­ ческую модель рассматриваемого прибора, записанную в виде обыкновенных дифференциальных уравнений.

Выведем выражения для коэффициентов модели, по­ лученной методом возмущений. Статическое решение уравнения (1.50) определяется ,пз условия dU/dt=0, т. е.

Линеаризуя правую часть уравнения (1.54) в окрест­ ности решения (это можно сделать, так как V мало) и учитывая (1.57), получаем

F{U0+ Ut C/'o+tf', U”9+ U")*bF(U9, U \,U '\) +

+ А (х) U " + A 2 (х ) U' + А (х) U,

где

A ^dF/dU"; At = dF/dU'; A, = dF/dUf

Токи, протекающие через выводы резистора, определяются it<3 формулам

Разные знаки в этих выражениях объясняются тем, что за положи' тельные направления тока приняты направления втекающих токов (рис. 1.8). Напомним, что решение уравнения в статическом случае имеет вид (1.45)

Продифференцируем эту функцию по переменным 'Uif £/2, х и подставим полученные 'выражения в (1.60); в результате получим

Ха

С и = (1 /Р ) f c ( x - x , ) ‘ dx.

где 1 = х z—Xi— длина резистора. Для простоты не будем учитывать зависимость емкости с от напряжения. -Произведя интегрирование, получим

С и = С*22 = С/Ъ, С 12 = С 21 = С /6,

где С=с1 — полная емкость резистора.

Уравнения для токов (1.56) через выводы резистора принимают

заряда (рис. 1.8,6), емкостным генератором тока (С/6) (# 2—Оt),

включенным между выводами резистора, эквивалентным отрицатель­ ной емкости. Для сравнения точности обеих моделей были рассчитаны частотные характеристики резистора по эквивалентным схемам, показанным на рис. 1.8,6, в, и на основе точного решения уравнения (1.44). Сравнивались значения входного сопротивления Z (/CD) и коэффициента передачи тока к (/со)

Результаты расчетов, приведенные на рис. 1.9, пока­ зывают, что характеристики эквивалентной схемы, по­ лученной методом возмущений, совпадают с истинными с точностью до членов первого порядка (наклон каса­ тельных в точке со равен нулю). При использовании же метода заряда это справедливо только для коэффициен­ та передачи тока k(jw). Следовательно, метод возмуще­ ний по сравнению с методом заряда позволяет получить более точную динамическую модель.

Рис. 1.9. Погрешность определения частотной зависимости входного

Другим достоинством моделей, полученных методом возмущений, является то, что они удобны при машин­ ном расчете переходных процессов ИС, так как при их использовании переменными состояния схемы являют­ ся напряжения в узлах и, следовательно, порядок си­ стемы дифференциальных уравнений получается невы­ соким (равным числу узлов в схеме). Кроме того, еди­ ная форма записи моделей всех компонентов (1.59) позволяет упростить составление автоматизированных программ анализа электронных схем.

Взаключение можно сделать следующие выводы по методам построения моделей полупроводниковых при­ боров и компонентов ИС.

Впервой группе методов для построения модели исходное уравнение в частных производных заменяется системой алгебраических уравнений, которые получают­

ся в результате представления пространственных и вре­ менных производных в конечно-разностном виде. Эти методы универсальны, но они связаны с большими за­ тратами машинного времени и памяти ЭЦВМ.

Методы второй группы (метод Лиивнлла, распреде­ ленные J^C-модели) используют представление в конеч­ но-разностном виде только производных по координатам. Модель прибора записывается в виде системы обыкно­ венных дифференциальных уравнений. Эти методы по сравнению с методами первой группы являются более экономичными с точки зрения затрат памяти ЭЦВМ, однако несколько уступают первым в универсальности.

Методы первой и второй групп целесообразно использовать для теоретического исследования, а также для проектирования отдельных полупроводниковых при­ боров и компонентов ИС. Для использования в про­ граммах анализа н расчета сложных схем с большим количеством компонентов такие модели практически не пригодны из-за ограничений ЭЦВМ по быстродействию п объему памяти. Тем не менее модели первой и второй групп являются основой для синтеза более простых ММ, обеспечивающих эффективность вычислений в програм­ мах анализа схем методами теории электрических цепей.

Если длительность переходных процессов в схеме значительно больше инерционности элементов, то для анализа можно использовать квазнстатические модели, которые получают экстраполяцией статического .решения на динамический режим (метод заряда, метод возму­ щений).

1.4.Эквивалентные схемы физических процессов

вполупроводниковых структурах

Основным уравнениям, описывающим физические процессы в по­ лупроводниках, могут быть поставлены в соответствие эквивалент­ ные схемы. Расчет этих схем с помощью методов теории электриче­ ских цепей является одним из перспективных подходов к моделиро­ ванию полупроводниковых компонентов. Это объясняется тем, что за последние годы достигнуты значительные успехи при использова­ нии ЭВМ для анализа и расчета электрических цепей. На базе этих методов разработаны универсальные программы анализа, в которых выбор переменных, характеризующих состояние схемы, формирова­ ние системы уравнений, описывающих схему, и распределение ячеек памяти ЭВМ под числовые и программные массивы выполняются автоматически. Такие программы позволяют не только получить ре­ шение задачи, но и максимально упростить ее подготовку к решению на ЭВМ [II].

Необходимо учитывать также, что при проектировании ИС зада­ чу построения моделей компонентов нельзя рассматривать обособ- -ленно от задач расчета и проектирования всей схемы, создаваемой на разрабатываемых компонентах. Следовательно, для построения

между узлами фРз- и ф,-. Через эту емкость протекает дырочный ток накопления

между узлами cpnj- и q>j. Через эту емкость протекает электронный ток накопления

W 4

Gnj — Axj + Axj+l \А>Cj ^ A x f +г )

— нелиненная проводимость, включенная между фт^ и фпз+i, через которую протекает электронный ток

На рис. 1.11,6 приведена эквивалентная электрическая схема объема полупроводника рис. 1.10, состоящая из элементарных проводимостей GPj, Gnj, Grj и емкостей Cj, CPj, C„j. Эта схема является электри­ ческим аналогом уравнений переноса тока и непрерывности для ды­ рок и электронов. Она описывает физические процессы в полупро­ воднике на переменном токе в режиме малого сигнала.

В режиме большого сигнала в ряде случаев (когда нарушается условие квазинейтралыюсти и заряды подвижных носителей и иони­ зированной примеси существенно влияют на распределение потенциа­ ла *>) помимо уравнений непрерывности и переноса тока необходимо учитывать еще и уравнение Пуассона (1.73). Если в качестве неза­ висимой системы переменных используются квазиуровни Ферми и электростатический потенциал, то уравнению Пуассона нельзя поста-

*) Конкретные случаи, в которых необходимо учитывать уравне­ ние Пуассона, рассмотрены в гл. 2—4, посвященных моделям би­ полярных и униполярных элементов,