книги / Теория и расчет электронных пучков

торые результаты, которые будут приведены, имеются в ори­ гинальной статье Лангмюра [5]. Изложение по существу по­ хоже на предложенное автору Шокли [6]. Такой же метод исследования приведен в книге Майерса и приписывается там Габору.

8.1. ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ

Мы знаем из теоремы Лиувилля (§ 4,7), что плотность электронов в фазовом пространстве, которое рассматри­ вается как движущееся с электроном, не изменяется со временем. Можно использовать этот факт для вывода электронной плотности (и, следовательно, плотности за­ ряда, которая пропорциональна плотности электронов), если предположить, что поля, через которые движется электрон, не меняются со временем. Это не означает пре­ небрежения основным действием пространственного заряда электрона, но дает возможность пренебречь мелко-зерни­ стыми флюктуациями в электрическом поле, обусловлен­ ными дискретной природой электронов.

При таком предположении можно найти, что если распределение по скоростям электронов, покидающих

где dq — заряд, переносимый электронами, лежащими в элементарном объеме пространства и скорости, /( — постоянная, а V и Ф — величины, соответственно пропорциональные скорости и потенциалу. На­ пример, если Vх — х-овая компонента скорости,

ТО

(8.3)

Если U —-потенциал по отношению к катоду, то

Скорость V определяется как

(8.5)

Используя (8.3) и (8.4), видим, что для электронов, вышедших со скоростью V0 и ускоренных напряжением,

122

имеется просто Максвелловское распределение по скоро­ стям. Далее, следуя за любым электроном (с начальной скоростью V0) по всему потоку, мы видим из (8.6), что плотность заряда в фазовом пространстве, окружающем электрон, будет постоянная, так как V2— Ф — постоянная величина. Таким образом, при помощи теоремы Лиувилля (8.2) можно найти плотность заряда в фазовом простран­ стве, если электроны, покидающие катод, имеют максвел­ ловское распределение по скоростям и если на них дейст­ вуют только постоянные поля.

Элемент плотности заряда в обычном пространстве, dp, переносимый электронами в области скоростей dVxdVydV2

Компонента плотности тока в направлении х есть как раз плотность заряда, умноженная на х-компоненту ско­ рости vx . Можно обозначить плотность тока в направ­

лении х через /. Тогда, применяя (8.3), получим

Мы должны так подобрать постоянную /С, чтобы плот­ ность тока на катоде имела некоторую определенную ве­ личину / 0. На катоде Ф = 0 и Vу и Vz могут иметь все

возможные величины от —оо до -f-oo, тогда как Vх может

иметь все величины от оо до 0. Следовательно, для Ф=0 интегрируем (8.6) относительно Vx, Vy и Vz в соответст­

вующих пределах, приравниваем результат / 0, и, таким образом, выразим К через / 0. Используя это выражение К, приводим (8.8) к виду

Интегрируя (8.7) в соответствующих пределах, можно получить граничные выражения плотностей тока и для аксиально-симметричных и двумерных систем.

123

8.2. АКСИАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫЕ СИСТЕМЫ

Выражение (8.9) дает предел части плотности тока в точке, переносимой с электронами данной скорости и в данной области скоростей. Было бы более полезно иметь выражение, включающее общую плотность тока. В этом параграфе мы получим два выражения для аксиально-сим­ метричного потока. Одно будет граничным выражением, полученным применением очень простых геометрических и энергетических соображений. Второе будет выражением для плотности тока в безаберрационном изображении.

8.2.1. Граничное выражение

Вычислим предел плотности тока, переносимого к точке электронами, траектории которых проходят через эту точку внутри конуса с половинным углом 0.

Удобно ввести сферические координаты, так что

v 2= K + K + v * ’ VX= V cos а

и элемент объема 2тиА/2 sin adcudV, Необходимо интегриро­ вать по а в пределах а = 0 и а = 6, где 0 — максимальный угол относительно оси, который могут иметь электронные траектории в рассматриваемой точке. Все электроны, до­ стигающие точки в поле, имеющем потенциал Ф, будут

иметь скорости, равные или большие V = потому что ни один электрон не может иметь скорость меньше нуля при эмиссии с катода. Пределы интегрирования по V

будут тогда равны Ф1/а и оо. Выражение для граничной плотности тока, полученное при помощи этих простых геометрических и энергетических соображений, имеет вид

Это выражение Лангмюр получил для верхнего предела плотности тока. Видно, что оно не зависит от природы собирающей системы, если рассматриваются постоянные поля.

124

8.2.2. Идеальная фокусировка

Граничное выражение (8.10) не позволяет предсказать действительно получаемую плотность тока. В этом пара­ графе мы будем иметь дело с теоретической плотностью тока в идеально сфокусированном изображении катода, т. е. в таком изображении, в которое все электроны, попадающие в данную точку, приходят из одной точки катода.

Очевидно, что в случае идеальной фокусировки элект­ роны, покидающие точку на катоде с нулевой начальной скоростью, придут в определенную точку изображения с определенным направлением и что электроны, прибываю­ щие в ту же самую точку изображения с другими направ­

сии. Трудность в получении истинного тока заключается в отыскании подходящих пределов интегрирования для скорости, соответствующей допускаемой величине 9.

Выражение для плотности тока, у изображения, созда­

В случае идеальной фокусировки все электроны, поки­ дающие область ДЕ' на катоде, будут прибывать в об­ ласть ДЕ, несмотря на начальные скорости.

Если М—линейное увеличение, то Д£=М2Д£'. Допустим, что на катоде, где Ф = 0, начальная скорость равна V0 и 0 равна 0'. Тогда ток из ДЕ' будет

diy = ДЕ'• dj'v = 2Д£'/0 sin2 Q'VQe_ l% -dV0. (8.12) У изображения для области А£ = М2№ Гток будет

div = M2№ d jv = 2М2ДЕ'/0 sin2 6у 2е~(у!~ф) VdV,

но в плоскости изображения, где потенциал равен Ф,

1/2 = у2_|_ф5 v d v = y Qdy 09

125

Подставляя эти выражения в соотношение для тока у изображения, получаем,

Как только ток di'v на катоде из области AS' станет таким же, как div у изображения в области AS, то из соотношений (8.12) и (8.13) следует, что

В оптике это условие для идеального изображения конеч­ ного источника известно как закон синусов Аббе.

Удобно ввести величину [3= Msin0. Используя это выражение, соотношение (8.14) может быть переписано так

Если 6' таково, что включает все электроны, покидаю­ щие катод, то его величина должна быть тг/2. Соответст­ венно этой величине (0') будет и угол прибытия 0К, кото­

рый включает все электроны, покидающие катод со ско­ ростью V0. Э т о соответствует величине которую м ы назовем

Если величину V2 — Ф заменить через VJJ, то (8.15) дает

Величина V является тогда максимальной скоростью которую может иметь электрон, еще достигающий ЛИ по траектории, образующей с осью угол, определяемый \v .

— максимальная величина (5 для электрона со скоро­

стью V.

Может показаться, что для значений Л4, меньших еди­ ницы, синус угла, определяемый '$v , может быть больше

покидающие катод, могут попасть в изображение только тогда, когда М больше единицы, и чем меньше М (наи­ меньшее изображение), тем меньше часть электронов, которая может его достичь.

126

Если положим Л/sin <х= у> то тогда М cosada = dy, и выражение для плотности тока, использованное в (8.10), может быть переписано следующим образом:

Желательно проинтегрировать это выражение для всех прибывающих электронов, траектории которых лежат внутри произвольно ограниченного угла 0, или для всех прибывающих электронов, для которых у меньше, чем величина fi, соответствующая углу 6.

и предельное значение для у дается через PK = g-(V). Для больших скоростей (Зк больше, чем р, и макси­

мально допустимая величина у определится произвольным ограничением р, соответствующего граничному углу 6. Интегрирование делится на две части с пределами

катодный ток приходит в изображение внутри угла 6, соответствующего

Если р стремится к нулю, у, определяемое уравнением (8.19), стремится к j m , которое определяется из (8.10).

Мы теперь можем видеть, что стало необходимым отбросить возрастающую часть катодного тока, как только достигнута граничная плотность тока j m. В рассмотрении

этого вопроса будут определены две величины: Е. — ко­ эффициент эффективности (intensity efficiency) и Е —

коэффициент тока (current efficiency). Коэффициент эф­ фективности определяется как отношение действительной плотности тока к граничной плотности, или

Jm

127

Если бы весь катодный ток пришел в изображение, то плотность тока в изображении была бы равна

Коэффициент тока, или часть катодного тока, дости­ гающая изображения, бу­ дет

ошибкой может быть использована в большинстве приме­ нений кривая дляФ —>оо.

8.3. ДВУМЕРНЫЕ СИСТЕМЫ

Мы можем исследовать поток в двумерных системах так же, как исследовали поток в аксиально-симметрич­ ных системах. Как и выше, мы найдем граничную плот­ ность тока, а также плотность тока для безаберрационного изображения.

8.3.1.Граничное выражение

Вдвумерном случае удобно использовать цилиндри­

128

Элемент объема есть Vr-dcn'dVrdVz. Его необходимо ин­

тегрировать по а в пределах — 0 и + 9, по значениям Vz и по компоненте скорости, не возмущенной фокуси­

рующими полями, от — оо до + оо, чтобы перекрыть все возможные величины тепловых скоростей. Любая энергия, которую электрон отбирает от поля, должна сказаться на изменении Vr. Пределы интегрирования Vr будут, соот­

ветственно, Ф1/г и оо. В этих пределах интегрирование дает для граничной плотности тока выражение

Второй член в (8.23) можно отбросить с ошибкой меньше 10°/0 для Ф >5 (U > 0,5 в для Т = 1160° К). Ошибка уменьшается при возрастании Ф.

8.3.2. Идеальная фокусировка

В оценке плотности тока для идеальной фокусировки в случае двумерного пучка можно применить те же методы для получения нижнего предела Vr. Полученный предел

равен

Удобно интегрировать только по положительным ве­ личинам у, а затем, удваивая результат, получить плот­ ность тока, заключенную в области от —15 до -}-р. Выра­ жение может быть сначала проинтегрировано по у, как и

УГ= 1Ф) Д° V, = oo.

Проведя sfo интегрирование, получим выражение

/-frM ^F )'‘+N*[,- ' ,(r?F),A])- <8'27>

по сравнению с первым. Из этих выражений можно вывести коэффициенты эф­

^1т 9

сJo

На рис. 8.3 показана Е. в зависимости от Ес для не­ скольких значений Ф. Величина Ес = 1 для {5= 1. Это в конечном итоге дает, при Ес = 1, для Et следующее:

130

При Ес— 1 £г стремится к нулю, когда Ф стремится к

бесконечности.

Оказывается, что для Ф > 10((/ > 1 в для Т =1160° К), может быть использована с небольшой ошибкой кривая для Ф—►оо. Как и в случае точечного фокуса, Ес всегда

равна единице для р ^1 .

8.4. ПРИМЕНЕНИЕ К КРОССОВЕРУ ИЛИ К ВЫХОДНОМУ

ЗРАЧКУ

Выражения для / в аксиально-симметричном и двумер­ ном случаях применяются к изображению катода. Можно •показать, что эти выражения применимы также к плот­

Рис. 8.4. Соотношение между параметрами у вы­ ходного зрачка и у изображения.

к точке, в которой сходятся все электроны, покидающие катод с нулевой скоростью. В этом можно удостове­ риться, рассматривая любое такое минимальное попереч­ ное сечение пучка, как в точке А на рис. 8.4. Рассмот­ рим прямолинейные лучи или электронные траектории,

зрачка одинаковы.

Если посмотреть обратно из точки на оси в изобра­ жении в направлении выходного зрачка, то увидим, что