книги / Теория и расчет электронных пучков

нелегко найти какую-либо траекторию в поле. Так, (6.45) не дает необходимых средств для создания полей линз с заданными фокусными расстояниями.

6.6.3. Сходимость

При данном положении z электронная траектория, заданная параллельно оси г, пересечет ее на расстоянии f от линзы; f называется фокусным расстоянием и дается уравнением

Обратной величиной f является сходимость с

Подставляя эти величины в (6.31) и применяя (6.47), по­ лучим

Это уравнение оказывается удобным для численного ин­ тегрирования. Если мы зададим величину с при г, то можем получить с' и, следовательно, сможем легко найти увеличение с на малом расстоянии &z. Добавляя эту величину к с при г, получим с при г + Дг. Затем можем оценить с' при z^\-&z и сделать следующий шаг. Из выражения с в функции от г, г можно получить интегри­ рованием (6.48)

Здесь Г| — величина г при z x.

92

Величина, до некоторой степени аналогичная сходи­ мости, может быть получена в связи с (6.40). Пусть

пускаем, что в слабых электрических линзах г постоянно

из (6.40) видим, что для какой-либо действительной

Г2

получим при интегрировании (6.40)

(6.56)

и

(6.57)

Так как действительная величина R всегда меньше, чем предположенная постоянная величина, использованное

93

значение R" больше по величине, чем действительное, и фокусное расстояние, подсчитанное по формуле слабой линзы, оказывается короче действительного.

6.7.ДВУМЕРНЫЕ ПОЛЯ

Вэтом параграфе будут рассматриваться поля, в кото­ рых электрический потенциал U и магнитное поле В явля­ ются только функциями х, у и направления движения. От­ сутствует магнитное поле вдоль оси z, тогда как в присут­ ствии магнитного поля движение будет в направлении 2. Поля предполагаются симметричными относительно пло­ скости у — 0.

Двумерное видоизменение теоремы Буша для пара­ ксиальных лучей записывается так

Поступая, как в § 6.2 получим уравнение параксиального луча для двумерных симметричных полей

рительны как приближения для физических систем, вслед­ ствие ограничений, накладываемых (6.59) на протяженность пучка в 2 направлении.

Можно видеть, что представления, развитые в § 6.4, применимы и к двумерным системам. Это относится и к соотношению (6.38) между фокусными расстояниями.

Из (6.61) можно видеть, что все двумерные поля между областями, свободными от поля, образуют собирающие линзы. Так (за это доказательство автор благодарен док­ тору Макколу) проинтегрируем (6.61) по всему полю линзы, чтобы получить изменение в у'

94

тельным и, следовательно, у' должен уменьшаться на протяжении поля; другими словами, поле действует, как собирающая линза. Преобразование § 6.6.2 оказывается теперь уже не таким удовлетворительным, как в аксиаль­ но-симметричном случае. Полагая

(6.65)

получим

Возможно заслуживает упоминания другое преобразование (6.61). Положим

95

ГЛАВА СЕДЬМАЯ

МАГНИТНЫЕ И ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЛИНЗЫ. АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ЧИСЛЕННЫЕ РЕШЕНИЯ

Наиболее часто аксиально-симметричные или двумерные поля имеют ограниченную протяженность и могут быть трак­ тованы как линзы. Для многих целей достаточно решения уравнения параксиального луча для таких полей, выражен­ ного в фокусных расстояниях ;и расположении главных плоскостей, иногда же, как, например, в электронном мик­ роскопе, очень важны аберрации. Имеется полная теория аберраций 3-го порядка, развитая посредством разложения величин в степенные ряды. Эта теория не будет обсуждена здесь, но небольшой материал относительно сферической аберрации в конце главы приводится.

В этой главе мы будем главным образом заниматься ре­ шением уравнения параксиального луча для различных ти­ пичных полей линз. Некоторые из них выбраны, в основном, ввиду того, что они могут быть рассмотрены аналитически и обеспечивают возможность легко сравнить верное фокус­ ное расстояние с фокусным расстоянием, даваемым форму­ лой слабой линзы. Однако все рассматриваемые поля могут быть созданы, точно или приближенно', электродами прием­ лемой формы.

Необходимо отметить, что уравнения параксиальных лучей могут быть решены аналитически лишь в небольшом числе случаев. Численное решение этих уравнений, однако, достаточно просто, и здесь будут обсуждены некоторые ме­ тоды такого решения.

7.1. МАГНИТНАЯ ЛИНЗА

Уравнение параксиального луча для чисто магнитной линзы (6.25) проще, чем для чисто электрической. Рас­ смотрим один из примеров его решения, а именно случай приближенно однородного поля протяженностью L

ка диаметра апертуры D.

где Вг — постоянно. Если переходные области достаточно

Траектория будет иметь вид, представленный на рис. 7.2. По выходе из поля радиус и наклон, rL и r'L , становятся

98

где

Если N1 ~ число ампервитков, то

Из (7.5) видно, чтофокусное расстояние fдается соот­ ношением

определением слабой линзы (§ 6.5.3) Ljf должно быть равно Ф2, a D нужно взять равным нулю. Величина L/f для слу­

и предположим, что Bz равно нулю для г<С%\ и для

> г 2> 2|, а в области Z i < z < z 2 равно^ некоторой по­ стоянной величине не равной нулю, то найдем, что фоку­ сов, соответствующих точечным источникам, в области z<Cz\ не будет. Объяснение этого парадокса может быть

занной на рис. 7.1; L — длина линзы; пунктир­ ная кривая показывает аппроксимацию сла­ бой линзы.

найдено в том, что указанное поле не удовлетворяет уравнению divi3=0, тогда как это уравнение применялось при выводе уравнения (7.1). Следовательно, уравнение (7.1) принимает во внимание неявно выраженные попереч­ ные компоненты реального магнитного поля, что не каза­ лось ясным в нашей идеализации, но что существенно для фокусирующего действия магнитного поля.

7.2. АПЕРТУРЫ КАК ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЛИНЗЫ

Рассмотрим круглое отверстие с градиентами и'2 справа и U, слева от него, как показано на рис. 7.4. Найдено, что если U2 , то диафрагма действует, как

100