книги / Неустойчивость горения

где F — площадь поперечного сечения камеры сгорания. Здесь и далее параметры с индексами «1» и «2» относятся соответствен­

мые единицей поверхности неподвижного фронта пламени. Связь между -бjm' и бY/ определяется конкретной физической моделью фронта пламени, позволяющей вычислить значения L*p u k Коэф­ фициент при 6/*ф в формуле (6.3.51) определяем после перехода к безразмерным переменным.

Совершенно аналогично выводятся для сечений сильного раз­ рыва уравнения закона сохранения количества движения, энер­ гии и другие уравнения дивергенционного типа. Полученные та­ ким образом уравнения, имеющие ту же структуру, что и уравне­ ние (6.3.51), образуют систему линейных уравнений, служащую для определения связи между значениями параметров до и после сечения сильного разрыва и, следовательно, значений L*ih и Li**.

Поперечные колебания. Процесс линеаризации и приведения к стандарт­

обратных токов и обеспечивающую на стационарном режиме равномерное рас­ пределение газа и капель в плоскости, перпендикулярной оси камеры сгора­ ния. Поэтому на стационарном режиме, рассматриваемая здесь модель горе­ ния совпадает с описанной в разд. 6.2.

Для упрощения записи уравнений будем учитывать всего одну группу капель (обобщение на случай произвольного числа групп капель очевидно).

Запишем исходную систему уравнений. Примем, что камера сгорания име­ ет цилиндрическую форму. Уравнения прогрева капель (6.2.21), их испарения

скорости капли на оси х, г и ср соответственно.

Уравнение движения капель (6.2.5) в трехмерном случае распадается на

191

где w = u —v.

Нетрудно убедиться, что правые части уравнений (6.3.55) и (6.2.5) совпа­ дают.

Уравнения для энтропии газа имеют форму, аналогичную формам уравне­ ний (6.3.52) и (6.3.53), а уравнения сохранения массы газовой фазы — анало­ гичную форме уравнения (6.3.54):

Уравнения сохранения количества движения для газовой фазы в трехмер^ ном случае будут иметь вид **

где /?, Rr и R<? — проекции силы R, возникающей в результате взаимодействия

газа и капли. Сила R, см. формулу (6.2.28), равна

Уравнения (6.3.52), (6.3.53), (6.3.55) и (6.3.59) являются аналогами урав­ нений конвективного типа. Все 6 F / и, следовательно, 6 G / в этих уравнениях являются скалярными или проекциями векторных величин на ось х. Линеари-

* Одномерному случаю соответствует формула (6.2.27).

192

зация уравнений, относящихся к этой группе, приводит к выражениям вида (6.3.12). Однако переменные 6 W в рассматриваемом случае зависят не толь­ ко от t и xt но и от г и ф:

Сходную структуру имеют также результаты линеаризации уравнений (6.3.56), (6.3.57), (6.3.62) и (6 3.63), записанных для проекций векторных ве­ личин па оси г и (р:

разобьем систему уравнений (6.3.66),.... (6.3.70), (6.3.72),..., (6.3.74) на три группы. К первой группе отнесем уравнения типа (6.3.66), т. е. уравнения кон­ вективного типа, описывающие изменения переменных, являющихся скаляра­

содержат однотипные выражения, выделенные скобками.

Решения для тп-й моды поперечных колебаний будем искать в виде:

для переменных, являющихся скалярами или проекциями векторных ве­

Здесь при продольных колебаниях М*\и совпадают с соответствующими эле­

меньшей мере в двух случаях:

194

при 6«г° — 6«®'= 0. Для приближенного выполнения этого условия необ­

ходимо, чтобы площадь, занятая отверстиями газовых форсунок, практически полностью занимала площадь головки;

два члена этих уравнений и правые части имеют ту же структуру, что и урав­

выражения, что и в случае продольных колебаний. В результате подстановки

ровки выражений, не содержащих производных в правой части, вновь прихо­ дим к стандартной форме (6.3.47). Дополнительные элементы матрицы М*, от­

личные о г нуля, имеют в этих уравнениях вид

МШиг ~ ^ qur “ ^{nv)vf i!г. (6 .3 .86)

Таким образом, при переходе от продольных колебаний к поперечным по­ являются дополнительные переменные 6иг и би, и соответствующие этим пе­ ременным дополнительные столбцы и строки матриц М* и М**. При этом от­ личные от нуля дополнительные элементы матрицы М* определяются форму­ лами (6 3.85) и (6.3.86), а все остальные элементы матрицы М*, так же как и матрицы М**, для продольных и поперечных колебаний имеют одинаковый

вид. Сингулярные члены для обоих видов колебаний из-за условия йг=ц<р =

— v;*=v = 0 отсутствуют.

6.4. ВЫЧИСЛЕНИЕ МАТРИЦЫ ЧАСТОТНЫХ

ХАРАКТЕРИСТИК ЗОНЫ ГОРЕНИЯ И ВЕКТОРА ОБРАТНОЙ СВЯЗИ [441

В этом разделе описан алгоритм, при помощи которого из системы уравнений возмущенного движения находится матрица частотных характеристик А и вектор обратной связи Q.

Расчетные соотношения. Полная система уравнений, опреде­ ляющая режим малых колебаний параметров зоны горения, со­ стоит из двух групп. К первой группе относятся уравнения, опре­ деляющие стационарный режим, ко второй — уравнения возму­ щенного движения типа (6.3.47). Для того чтобы получить систему уравнений стационарного режима, положим равным

нулю производные по времени в уравнениях (6.3.1) и (6.3.2), после чего они могут быть представлены в виде

и условиями, служащими для определения стационарных значе­ ний координат сечении дробления.

В простейшей модели (дробление происходит в сечении, где We = \Ve*) эти условия сводятся к обращению в ноль функций ф(х) — We—We*:

Будем искать решение системы уравнений (6.4.4) в виде

где 6Y(x) — вектор, компоненты которого являются комплексны­ ми значениями амплитуд колебаний основных переменных сис­

тем в сечении х.

После подстановки уравнения (6.4.5) в скалярное произведе­ ние (L6Y) получим

Так, если условия дробления сводятся к обращению в ноль функции Ф/(, то согласно уравнениям (6.3.23) и (6.3.26) £/((ш>) =

196

цы описывает влияние k-ro параметра на градиент £-го парамет­ ра в сечении х. Так, если при некоторой частоте ю Mik(x) <Cl, то в сечении х k-й параметр не оказывает заметного влияния на £-й и, напротив, если Mik{x)^> 1, то его влияние велико. В соответ­ ствии с этим матрицу М целесообразно назвать матрицей взаим­ ных влияний. Анализ зависимости элементов матрицы М от ш и х может в принципе дать дополнительную информацию о дина­ мической структуре зоны горения.

могательные переменные 6Х были в процессе линеаризации ис­ ключены), получим дифференциальное уравнение

с граничным условием А(0) = Цбгь1|.

Интегрирование систем уравнений (6.4.1) и (6.4.14) начина­

ется с сечения х=0, где заданы граничные условия для Y и А. На каждом шаге интегрирования, которое удобно реализовать, используя метод Эйлера или Рунга — Кутта, находятся значения

Y, служащие для вычислений Mik, а также функций Ф8. Всякий раз, когда одна из функций Ф„ обращается в ноль, вступает в действие алгоритм вычисления L(io)).

Интегрирование сингулярных составляющих матрицы М сво­ дится к тому, что в сечениях x = l so), где происходит дробление

Помимо этого, в сечениях дробления осущестцляется измене­ ние процедуры вычисления тех £?,, совокупность 1{ которых со­ держит данное ( ^ ( Г ^ е ^ ) .

В тех случаях, когда в модели процесса горения использует­ ся сечение сильного разрыва, интегрирование ведется до сечения Тф. Новое граничное условие для А в сечении (фЧ-0 определяется

Таким образом, прохождение сечения сильного разрыва, так же как и сечений дробления, сопровождается возрастанием А на не­

которое конечное значение.

При построении границ устойчивости объем вычислений со­ кращается, если вместо матрицы А используется вектор Q, i-я компонента которого описывает влияние колебаний давления в начале зоны горения на колебания i-ro параметра в сечении х зо­ ны горения. Вектор Q описывает динамические свойства звена, объединяющего зону горения и систему подачи. В соответствии с формулами (6.1.8)

Компонента вектора ф* представляет собой частотную характе­ ристику, связывающую колебания давления в начале зоны горе­ ния с колебаниями i-ro параметра, формируемого системой по­ дачи.

198

Система дифференциальных уравнений, определяющая век­ тор Q, как это непосредственно следует из уравнений (6.4.14) и (6.4.17), имеет вид

сграничным условием Q(0) =<р.

Вкоординатной форме эта система имеет вид

Из уравнений (6.4.15) и (6.4.17) следует, что значения векто­ ра Q до и после сечения дробления связаны соотношением

Число дифференциальных уравнений, используемых при вы­ числении вектора Q, в п раз меньше, чем используемых для вы­

числения матрицы А.

Если при интегрировании системы уравнений (6.4.19) исполь­ зовать начальное условие Q j(0)=6ji, то будет получен i-й стол­ бец матрицы А. Указанное обстоятельство позволяет использо­ вать уравнения (6.4.18) не только для вычисления вектора Q, но и для выборочных расчетов столбцов матрицы А.

Структура алгоритма. Явная аналитическая запись правых частей системы уравнений (6.4.19) чрезвычайно затруднена гро­ моздкостью входящих в них выражений. Опуская в матрице М сингулярные члены и представляя Q в виде Q=Q * + /Q**, после разделения действительных и мнимых частей в уравнениях (6.4.19) получим

dQT

■M i k ' Q k ' — • <*>M i k ' Q k '

dx

Если в рассмотренном в разд. 6.2 примере число групп капель г=10, то общее число уравнений равно 88, а число отдельных слагаемых в правых частях дифференциальных уравнений за­ метно превосходит 4000 (при оценке учтена разряженность мат­ рицы М**). Каждое слагаемое при этом, как правило, представ­ ляет собой громоздкое выражение, в которое входят производ­ ные функции Fi и Gj по основным и вспомогательным перемен­ ным. Даже при расчетах в одногрупповом приближении (по среднему диаметру капель), когда число уравнений (6.4.21) рав­ но 16, число слагаемых в правых частях превосходит 100.

Чрезвычайно высокая трудоемкость получения столь слож­ ных выражений и последующего их программирования очевидна.

ванием аналитических выражений для матрицы М все еще ос­ тается весьма громоздкой и трудоемкой. Главным источником этих трудностей является вычисление матрицы М.

Единообразие операций, используемых в алгоритме, позволя­ ет получить дальнейшее упрощение программы. Это упрощение достигается созданием на базе оператора численного дифферен­ цирования подпрограммы (блока вычисления М на рис. 6.3), входными данными которой являются функции Gi,..., Gn> F Fm, а выходными — элементы матриц M*, М**, Г, определяемые по формулам (6.3.16), (6.3.18) и (6.3.19).

Использование этой универсальной программы избавляет от необходимости аналитических выкладок и программирования, связанных с вычислением матрицы М*, М** и Г.

На рис. 6.3 приведена структурная схема алгоритма.

В блоке стационарного режима вычисляются правые части уравнений (6.4.1), функции, определяемые уравнениями (6.4.2), и вспомогательные переменные. На вход этого блока поступают стационарные значения основных переменных, получаемые на каждом шаге интегрирования, а также команда б, по которой при прохождении сечений дробления изменяется процедура вы­

числения G (точнее, тех элементов G*, для которых fs(j)E(W. На вход блока вычисления матрицы JLI (сингулярной добавки) по­

ступают стационарные значения G, Y, X, Г и в некоторых слу­ чаях Q. В этом блоке на каждом шаге интегрирования вычис­ ляются значения функций Фг- (или какие-либо другие признаки, фигурирующие в принятой модели дробления). В сечениях, где функция Фгобращается в ноль, начинается вычисление сингу­ лярной добавки jui. В рассмотренной модели дробления с конеч­

2 0 0