книги / Неустойчивость горения

1. В результате взаимодействия акустических волн с ребрами возникает вихреобразование, сопровождающееся диссипацией энергии [47]. Рассеивание энергии вследствие вихреобразования квадратично по скорости. Эффективность этого механизма при малых амплитудах колебаний незначительна. Особо сильно он должен проявляться при значительных возмущениях, иногда возникающих в процессе запуска камер сгорания или искусст­ венно создаваемых посредством взрывных устройств с целью оп­ ределённа запасов устойчивости, см. [47] и следующий раздел.

2. Поперечные колебания сопровождаются периодическим движением газа вдоль плоскости головки. В результате возника­ ет обратная связь, обусловленная воздействием поперечных пульсаций скорости газа на смешение компонентов непосредст­ венно после их поступления в камеру сгорания и, как следствие, на скорость горения. Установка антипульсационных перегоро­ док существенно снижает амплитуду колебаний скорости у повёрхности голбвки и тем сёмым исключает дестабилизирующее влияние этой обратной связи.

Помимо описанных стабилизирующих эффектов, установка антипульсационных перегородок приводит к изменению таких акустических свойств камеры сгорания, влияние которых на ус­ тойчивость не столь однозначно. Для того чтобы показать, каким образом и в .каком направлении изменяются акустические свой­ ства цилиндрической камеры сгорания в результате установки в ней антипульсационных перегородок, рассмотрим собственные частоты колебаний в ней.

Примем для упрощения в качестве граничных условий в на­ чале и в конце камеры сгорания отсутствие осевых колебаний скорости (переход к реальным граничным условиям, как извест­ но, не приводит к существенному изменению собственных частот поперечных колебаний).

Принятая расчётная схема приведена' на рис. 4.13. Камера сгорания разбита на два участка: первый из .которых, имеющий длину /п, содержит перегородки, а второй, имеющий длину L, без нйх. Полная длина камеры сгорания LK= lu+ L. Будем счи­ тать, что движение газа в полостях между рёбрами одномерно [47]. Строго это предположение выполняется для антипульса­ ционных перегородок с бесконечно большим числом рёбер. Пе­ реход от одномерных колебаний в полостях между рёбрами к трехмерным колебаниям в остальной части камеры сгорания про­ исходит в некоторой области вблизи краев рёбер. Положим, что

ков сводится в этом случае к равенству амп-

Рис. 4.13. Расчетная схема

5*

лиц/д колебаний осевых скоростей при одном и том же значе­ нии амплитуды колебаний давления или, иными словами, к ра­ венству проводимостей

ний на первом и втором участках соответственно. В качестве на­ чала отсчета координат %\ и дг2 выбраны начальные сечения со­ ответствующих участков.

Помимо условия сшивания решений, согласно постановке за­

Для первого участка m — n— 0 (amn = 0 ), для второго участ­ ка значения т и п соответствуют рассматриваемой моде колеба­ ний. Таким образом, выражения для потенциала скорости ср на

Ъ=-1т ( а тпг / г о)cos mb (АтпеГ1ктпХ*+ BmnY kmnX%)

где kmn= Y (o,/c)2-(am„/r0)2.

Найденные выражения для потенциалов позволяют, восполь­ зовавшись уравнениями (3.1.6) и (3.1.7), получить бя'ь бм'2) 6р'\, бр'2. Подставив эти значения в граничные условия (4.3.11), (4.3.12), после исключения Атп, Втп, А0о и В0о получим

Сс

Корни этого уравнения образуют спектр собственных частот

(<о/с)2/п» —k2m„L. Решая это соотношение относительно и, от­ брасывая члены порядка (ln/L ) 2, получим

где u>mn am„cir0.

132

Из этого уравнения следует, что при малых значениях /п ус­ тановка перегородок приводит к снижению собственных частот колебаний. Эта тенденция сохраняется и при больших значени­

ях /п- . , Поскольку (o<comn, то kmn— чисто мнимая величина. Учиты­

вая это, представим уравнение (4.3.15) в виде

СС

где xmn= V (атп/г0)2- (ш/с)2.

Снижение собственной частоты колебаний камеры сгорания, обусловленное установкой антипульсационных перегородок, мо­ жет оказывать как стабилизирующее, так и дестабилизирующее влияние в зависимости от соотношения характерного времени процесса горения и периода колебаний. Из этого следует, что на­ ряду с очевидной тенденцией увеличения эффективности перего­ родок по мере увеличения высоты рёбер может иметь место и об­ ратное влияние. Наличие двух противоположных тенденций мо­ жет в принципе привести к существованию оптимальной длины

ребра.

Имеется еще одно обстоятельство, которое в некоторых слу­ чаях может приводить к существованию оптимальной длины рё-

рами, таковы, что колебания газа в них могут происходить толь­ ко в продольном направлении (именно такой идеализированный случай был рассмотрен ранее). Собственная частота первого то­ на продольных колебаний в этих полостях равна f= c /(4 lny, а сами полости представляют собой четвертьволновые резонато­ ры. Если собственная частота продольных колебаний этих резо­ наторов совпадает с собственной частотой поперечных колеба­ ний, т. е. с/(41п) ~сот п/(2я), то они играют роль настроенного акустического поглотйтеля. Увеличение длины рёбер в этом слу­ чае приводит к ухудшению настройки акустического поглотителя, что также приводит к существованию оптимальной высоты рё­

бер.

В отличие от рассмотренного идеализированного случая ре­ альное движение газа в полостях, образбванных рёбрами, трех­ мерно. Поскольку при трехмерном движении, так же как и при одномерном, газовые полости, образованные рёбрами, имеют соб­ ственные частоты колебаний, то вывод о существовании опти­ мальной длины рёбер остаётся в силе. и

В качестве’ примера немонотонного влияния длины ребер на устойчивость можно привести результаты экспериментальных ис­ следований, описанных в работе [73].

133

5. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭФФЕКТЫ

Исходные математические модели рассмотренных в этой кни­ ге систем, как правило, нелинейны. Линеаризация системы со­ пряжена с потерей части информации. В связи с этим линейное приближение дает неполное описание динамических свойств изу­ чаемого объекта.

Нелинейные динамические системы представляют собой суще­ ственно более сложный объект исследований, чем линейные. Тео­ рии нелинейных колебаний посвящена обширная литература. Здесь достаточно ограничиться ссылками на работы [3, 7, 33, 34, 53], в которых подробно рассмотрены различные физические и математические вопросы теории нелинейных колебаний, затрону­ тые в этом разделе.

5.1. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Метод гармонической линеаризации [7, 53]. Для решения задач рассмат­ риваемого класса наиболее удобен метод гармонической линеаризации.

Обычно при использовании метода гармонической линеаризации выделяют несколько наиболее существенных нелинейных звеньев. Все остальные звенья замкнутого контура при этом принимаются линейными. Из анализа физических свойств объекта, как правило, следует, что он содержит небольшое число су­ щественных нелинейностей. Чаще всего одну.

Поясним основные особенности метода гармонической линеаризации на примере динамической системы, структурная схема которой представлена на рис. 5.1. Структурная схема состоит из обобщенного линейного звена Л, опи­ сывающего динамические свойства всей совокупности линейных звеньев сис­ темы, и нелинейного звена НЛ. Для успешного применения метода гармони­ ческой линеаризации необходимо, чтобы линейная часть системы содержала звено, частотная характеристика которого имеет хорошо выраженный резо­ нансный максимум. В подобных случаях принято говорить, что звено обладает свойством фильтра. В задачах устойчивости процесса горения свойством филь­ тра обладает акустическое звено. Наличие резонансного максимума означает, что гармонические колебания с частотой, заметно отличающейся от резонанс­ ной, будут при прохождении звена, обладающего свойством фильтра, ослаб­ ляться (отфильтровываться, не пропускаться), а гармонические колебания с частотой, близкой к резонансному значению, напротив, усиливаться. Будем считать, что структура обобщенного линейного звена такова, что оно благо­ даря присутствию в нем фильтра также является фильтром.

Пусть на вход обобщенного линейного звена поступают сложные негар­ монические колебания с основной частотой, близкой к частоте пропускания фильтра. Разложим эти колебания в ряд Фурье. Так как звено линейно, то прохождение через него каждой гармоники разложения ряда Фурье можно рассматривать независимо. Из всей совокупности гармоник фильтр пропускает

134

Рис. 5.1. Упрощенная структурная схема замкну­ той системы с одним нелинейным элементом

Л2

только одну основную, частота которой близка к частоте пропускания. В ре­ зультате на вход нелинейного звена поступает практически гармонический сиг­ нал, очищенный от всех высших гармоник и постоянной составляющей.

Рассмотрим режим установившихся колебаний. На вход нелинейного зве­ на благодаря фильтрующим свойствам линейного звена поступает гармониче­

К — высшие гармоники; Ф — фаза колебаний.

Поскольку все высшие гармоники и постоянная составляющая после про­ хождения фильтра все равно будут подавлены, то они при использовании вы­

Выражение (5.1.4) можно использовать не только для вычисления бхь но и для вычисления входных и выходных координат всех тех внутренних звень­ ев обобщенного линейного звена, которые расположены после звена, обладаю­ щего свойством фильтра.

Процесс получения уравнения (5.1.5) называется гармонической линеаризадней, а коэффициент q* в соответствии с его физическим смыслом — гармо­

ническим коэффициентом усиления. Уравнение (5.1.5) имеет ту же форму, что и уравнение линейного звена первого порядка. Однако оно нелинейно, посколь­ ку его коэффициенты q* и q** зависят от амплитуды входного сигнала. В ре­ жиме стационарных колебаний q* и q** не зависят от времени. Следовательно,

при различного рода преобразованиях полной системы уравнений с выраже­ нием (5.1.5) можно обращаться как с линейным, имеющим постоянные коэф­ фициенты.

135

Проиллюстрируем применение метода гармонической линеаризации на сле­ дующем простом примере. Пусть исследуемое уравнение имеет вид

где f(6x, X) — полином, содержащий нечетные степени Si; X и р — параметры,

ходит через резонанс и, следовательно, обладает свойством фильтра. Приме­ нив процедуру гармонической линеаризации, получим #* = 0, q**= q(a, X), где a = |6 x i| — амплитуда колебаний переменной 6^: q — некоторая функция,

конкретный вид которой определяется функцией pf, см. уравнение (5.1.3). Та­

случае переходит в уравнение гармонического осциллятора и удовлетворяет решению 0X[ = a s i n ( o ^ - f с р ) . Корни уравнения q(a, Х )= 0 определяют стацио­

нарные значения амплитуд колебаний. Поскольку f(О, Х )= 0 , положению рав­ новесия системы соответствует а = 0, устойчивость положения равновесия оп­ ределяется знаком б/(0, X),

Из приведенного анализа следует, что одним из возможных типов реше­ ний, получаемых из условия q (а, Х )= 0 , являются уравнения стационарных

колебаний, амплитуды которых не зависят от начальных условий. Подобные решения носят название предельных циклов. Возможность существования пре­ дельных циклов является характерной особенностью нелинейных систем. От­

баний, амплитуда которых в зависимости от начальных условий может прини­

где a ( t ) и cp(/)— неизвестные функции.

* Строгое определение предельного цикла, требующее использования по­ нятия фазовой плоскости, см. в работе [3].

136

Уравнения (5.1.11) можно рассматривать в качестве соотношений, опре­ деляющих замену старых переменных х и х на новые: амплитуду a(t) и фазу

<р(0-

Переход к новым переменным осуществляется следующим образом. Диф­ ференцируя выражение для х, получим

Для того чтобы получить еще одно соотношение, необходимое для опреде­

ления а и ф, продифференцируем х и положим полученное выражение для х

равным заданному законом преобразования (5.1.11). Из найденного таким об­

Система уравнений (5.1.15) и (5.1.16) эквивалентна уравнению (5.1.7).

Найти точное решение в новых переменных не проще, чем решить исход­ ное уравнение (5.1.7). Однако присутствие малого параметра р, в уравнениях (5.1.15) и (5.1.16) позволяет найти приближенное решение тем более точное, чем меньше р,.

Из уравнения (5.1.15) следует, что при малых р, переменные а и б1 мед­

ленные функции времени. Подобного рода переменные принято называть мед­ ленными (характерное время их изменения пропорционально р - 1 и стремится

к бесконечности при jx-^О). В отличие от амплитуды фаза коребаний О ме­ няется быстро (с характерным временем Т сохраняющим конечное

значение при р,-*-0). Переменные этого типа носят название быстрых. В указан­ ном смысле правые части уравнений (5.1.15) и (5.1.16) являются быстро ос­ циллирующими функциями времени.

При р = 0 амплитуда колебаний a = const и, следовательно, система совер­ шает гармонические колебания. Поскольку при малых р, скорость увеличения значения а мала, то на некоторых конечных отрезках времени, протяженность которых тем больше, чем меньше р, изменение а будет также мало. Поэтому

колебания х, рассматриваемые на этих отрезках времени, будут близки к гар­ моническим в соответствии с исходными предпосылками метода Ван-дер-Поля. Тем не менее на достаточно больших отрезках времени медленный рост ам­

уравнений (5.1.15) и (5.1.16), их средними за период значениями. Произведя осреднение и воспользовавшись уравнением (5.1.3), получим

В этих уравнениях в явном виде указана зависимость О от параметра К.

Уравнения (5.1.17) существенно проще исходных и допускают простой каче­ ственный анализ.

137

Автоколебания и жесткие режимы возбуждения. Из уравнений (5.1.17) видно, что влияние малой нелинейности сводится к незначительному изменению частоты колебаний (па величину порядка jx) и, следовательно, не приводит к каким-либо качественно новым эффектам. Основной интерес представляет

Характер изменения амплитуды колебаний на больших интервалах време­ ни (точнее по истечении большого числа периодов колебаний) определяется видом функции рФ(а, Л). На рис. 5.2 представлено несколько характерных видов зависимостей рФ(а, Я).

Кривая 1 на рис. 5.2 соответствует такой зависимости, при которой рФ(а, Л )< 0 при любом значении а. Поскольку рФ(а, Л )< 0 , то из уравнений (5.1.17)

следует, что независимо от того, насколько в начальный момент система от­ клонена от положения равновесия, она самопроизвольно стремится к положе­ нию равновесия, совершая колебания с частотой о)^со0Системы, стремящиеся к положению равновесия при любых начальных условиях, принято называть абсолютно устойчивыми. Условие малости начального отклонения, фигурирую­ щее в определении устойчивости (см. разд. 1.1), для абсолютно устойчивых

систем несущественно.

что а= 0. Таким образом, точка пересечения кривой 5 с осью абсцисс описы­ вает колебания с постоянной амплитудой а==ау5. Колебания с постоянной ам­

плитудой носят названия стационарных колебаний, а с изменяющейся по вре­ мени амплитудой — нестационарных. Сам по себе факт существования реше­ ния, описывающего стационарные колебания, еще недостаточен для того, что­

138

чески стремясь к стационарному значению. По истечении некоторого времени, когда амплитуда колебаний практически достигает стационарного значения, в системе устанавливается режим автоколебаний. Процессы установления режи­

содержит любые значения а, а при этом единственным видом движения, кото­

рое реализуется по истечении достаточно большого отрезка времени при кри­ вой 5 (см. рис. 5.2), являются автоколебания.

Амплитуда автоколебаний определяется из уравнения Ф (а, Х )= 0 и, сле­

довательно, не зависит от начальных условий. Это имеет место и для частоты автоколебаний.

Таким образом, все параметры автоколебаний не зависят от начальных условий и определяются только внутренними свойствами системы. Этот вы­ вод, полученный здесь в результате рассмотрения уравнений вида (5.1.7), яв­ ляется общим для любых автоколебаний.

Решения, описывающие стационарные колебания, встречаются не только при исследовании автоколебательных систем, они достаточно типичны для кон­ сервативных систем, а также систем линейных на границе устойчивости.

Однако для консервативных систем и систем, линейных на границе устой­ чивости, амплитуда колебаний зависит от начальных условий. Для консерватив­ ных систем от начальных условий может зависеть также и частота колебаний.

Зависимость параметров стационарных колебаний у консервативных сис­ тем и систем, находящихся на границе устойчивости, от начальных условий является принципиальным признаком, отличающим их от автоколебательных систем.

Резюмируя все сказанное, можно дать следующее определение автоколе­ баний [3, 68]. Автоколебания — стационарные колебания, параметры которых

при отсутствии внешних периодических воздействий зависят только от внут­ ренних свойств системы и не зависят от начальных условий.

Рассмотрим теперь динамические свойства системы, зависимость рФ(а, X)

которого она приходит в состояние равновесия. Таким образом, система ус­ тойчива.

Значению а = анз соответствуют стационарные колебания. Для стационар­ ных колебаний, определяемых пересечением кривой |хФ(а, X) с осью абсцисс

в точках йУз, аУ4 и йу5 значения Ф (ауг-, Х )<0. В точке ан3, напротив, значение

Ф(а, Х )>0. Повторив рассуждения, использованные для доказательства устой­ чивости стационарных колебаний при a — aY5, нетрудно убедиться, что стацио­ нарные колебания с амплитудой анз неустойчивы: любое малое отклонение ам­

плитуды колебаний от стационарного значения приводит к дальнейшему само­ произвольному росту этого отклонения. Любое произвольно малое отклонение Ьа от анз приводит к переходному процессу, заканчивающемуся то ли состоя­ нием равновесия (при 6а < 0), то ли автоколебаниями (при 6а > Ц ).

Пусть теперь в результате некоторого внешнего возмущения система вы­ ведена из положения равновесия, однако начальное отклонение от положения равновесия меньше анзДальнейшее поведение системы в этом случае будет полностью аналогично поведению устойчивой системы, имеющей зависимость

139

ния необходимо, чтобы начальное возмущение превышало некоторую порого­

должно быть достаточно мало, чтобы не возник жесткий режим возбуждения колебаний.

Бифуркации. Грубые и негрубые системы. Рассмотрим конкретный пример. Пусть зависимость Ф от X сводится к тому, что рост X смещает кривую вверх,

как это показано на рис. 5).2 *.

Отложим по оси абсцисс значения параметра X, а по оси ординат соответ­

ствующие им амплитуды предельных циклов (рис. 5.3). Из рис. 5.2 следует, что при Х<.Х2 система абсолютно устойчива: любой переходный процесс за­ канчивается состоянием покоя. При Х2<Х<Х^ положение равновесия устойчи­

во, однако в системе существуют два предельных цикла: устойчивый и неус­ тойчивый. Переходный процесс при Х2< Х < Х 4 в зависимости от начальных ус­

и А,4. Прохождение этих значений X сопровождается качественным изменением

картины установившегося движения системы.

Значение Х=Х$ лежит на границе устойчивости. В процессе повышения X

прохождение границы устойчивости сопровождается в рассматриваемом слу­ чае скачкообразным возрастанием амплитуд установившихся колебаний от ну­ ля до некоторых конечных значений.

Если же X в точности равно Х2, то имеет место слияние устойчивого и не­

устойчивого предельных циклов. В результате предельные циклы как бы ней­ трализуют друг друга. При монотонном уменьшении X прохождение этого зна­

чения сопровождается срывом автоколебаний.

Значению Xi соответствует i-й порядковый номер кривой.

140