Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Микромеханика композиционных материалов

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

12.56 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 316 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Для изотропных волокон

1 — 2у

Е0 = г , = Ег, V,» = V, = V,,, й = _ _ _ а . . (3.25)

Из приведенных соотношений видно, что количество упругих постоянных при продольном растяжении определяется упаковкой во локон в структуре материала.

§ 3. ПОПЕРЕЧНЫЕ СОСТОЯНИЯ

Для симметричной структуры при поперечном сдвиге отсутст вуют продольные деформации в армированной среде, поэтому она находится в плоском деформированном состоянии. Поле напряжений в волокнах определяется функцией

г	д	е	Ра = Ог*151П 2#	СгЧ51п 2	$,
			____________________________________
	« ,=	1 +	+Х *+4\|Х — У(1 +У?+ 4р)г — 36х2;
	=	1 +	У \+ у ? + Ар + У (\ +		хг +	4р)* — 36*?. (3.26)
Для	трансверсально-изотропного тела			= 2,	«2 =	4.

Напряжения в волокне определяются соотношениями (3.19), сме щ ен и я -п утем интегрирования уравнений упругости (3.18), реше ние которых для плоского деформированного состояния имеет вид

И? = ° “ 1

З' п

+ С а г

* _ \ 5 Ш 2

$ + / { » ) ,

и%~

Т (а1

« » 2 * -

Здесь

— \ц р ) М + ^(г).

«1 =

Р1 (*1 —

4) +

р!2 («1—

1) «1!

“ 2 =

Р1 («2 “

4) +

Р(2 («2— 1) «2;

«э =

Р12(«1 -

4) +

Рг(«! — 1) «г,

а4 =

рй (5. -

4) -I- р2 (8г -

1) 52.

Неизвестные функции [(-в)

и ф(г)

определяются

оставшимся

неиспользованным уравнением упругости

А . М . л.

д г

___а !. = О н .

г дЪ

0 Г<^

Удовлетворяя этому уравнению, найдем две пары

соотношений

2а.

а.

1 — 8.

5Л— 1

0 — «а! + ~2 (ал+2—

!) =

аг0 9

к =

1,2,

а также
{'(■&)+ [ {(■&)		= 0,	п 1,'(/-)-ф (г) = 0.
Первую пару	уравнений с помощью		параметров ха и р,	введенных
выше, получим	в виде
5* _ 453 4- (5 — и2 — уиг2) 52 +		2 (к2+	рп2 — 1) я + х2п4— 2х2/г2— рп2= 0.
Решением этого уравнения являются параметры 8к при п =				2 в фор

муле (3.26). Функции / (о) и ф (г) определяют смещения		волокна как
жесткого тела:
! (#) = ЯаС°8 0 + Ра81П 0,	ф (г) = 8СГ.	(3.27)

Аналогично строится решение для участка матрицы, прилегаю щей'к волокну; Напряжения и смещения в матрице в данном прибли жении слагаются из возбуждающей составляющей части поля и рас сеянной:

Р = —	г2 51П 20 4-		31П 20 4- В 51П 20.
Смещения в матрице будут
о				В ап 20 + / (0),
«г = - ^ \| г з1п 2» > + - ^ - 8Щ 2 # + 2
„о
= “2§- ^соз 2$ -----^ з- соз 2		$ 4-----—		Всов 20 4- /' (0) 4- ф (г).

Здесь функции /" (0) и ф (г) имеют вид (3.27).

Удовлетворяя условиям совершенного контакта на межфазной границе, приходим к системе алгебраических уравнений для опреде

ления	неизвестных постоянных:
	$1— 1				1 — V о			а 23
	$1— 1	‘	52 — 1	а4		а*	Б	2
-	0 0 ( - ~	т * Ь г )	^ ~	а с Ь ~	т ^ т )	а*’~2 +		^ ~
			- 2	= ^
	С (8, -	4) а».-2 +	С («г — 4) а*-» + М +			™ = о°
	2 0 (1 -	«,) а*- +	2 С (1 -5 2) а * -’ -		-у - —		у - -	а»,.

Напряжение 023 характеризует взаимодействие в первом приближе нии данного волокна с его окружающими.

Интересующие нас постоянные имеют вид

А = 4 а 23а ‘ ^

В = 4 а 23аЭ Д -


ГД6	($2+	28») («»0— 2у) — (81			^81) {ал&	^у) (I	^у) (5х8г	3?Ят)
.
и ~	(5»2-	2§г) (ааО -		2») — (*% — 28,) (а,О -		2у) - (3 -	2V) (5,г2-	2,81) •
	■■	■	5, + 2е, — ($а + 28а) , , ( ™г~ 2е, — Ю1+ 28,
	Н ~	1 '	5,^2- « 2Й		I	«18* — !1		/ ’
	х =	3 — 4г,			\>Са,		к = 1,2.
				#* = - ---- — V — ч)Сак+2,

Для определения а?з деформируем контур Ь в интеграле для энер гии (1.42) в равновеликий круг и преобразуем подынтегральную

функцию к цилиндрической системе координат:
I! = Ке	§ (иг + ша) (аг — /аг&) геДО.	(3.28)
Используя аппроксимацию
<ы2 +	ш2) — -у (у2з) 2,

заменяем смещения в формуле (3.28). Из первого представления энер

гии (1.48) следует а°з=		2—^ н ' ’		где ? =	а2/Я2;	Я — радиус	равно
великого круга. Согласно		второму представлению энергии приходим к
равенству		2л
		2л
- Ке Щ	Я	К § е*« (иг + 1и„) с!# =				,	(3.29)
из которого следует	искомая		формула для		модуля	сдвига
		I	1	2 +			(3.30)
		С°3	“ О	2 -ЪН	*		(3.30)
		С°3	“ О	2 -ЪН	*

Путем громоздких преобразований в предельном случае (3.30) переходит в известную формулу (1.50) для изотропных волокон. Задача о поперечном равномерном двухосном растяжении армирован ной среды с анизотропными волокнами решается аналогично приве денной в § 5 гл. 1. Разрешающая функция напряжений для волокон в силу осевой симметрии первого приближения строится по изложен ному выше методу с привлечением частных значений параметра 5 со гласно равенствам (3.20). В дальнейшем приводятся только конечные результаты вычислений эффективных постоянных. Из решения крае вой задачи находим

1	__ ^ ___		4?	1 ‘	,	1 ( 1 - 0 ( 1 - 2 у) +		20(1 4-е-2У )П
Щ	'	гО	г?	40»3		40	1 + С - 2 ^ +	2(1-С )С а
		Е2
^23 _		4?		1	1	(1.-С )(1 -2 у )+ 2 в (Ц -С -2 у )0 ,ЯЯП
Е»		- 4-			40		Ч -Е -2 Е г + 2 ( 1 - 0 0 П
			Г 4^0
				™23

Здесь Е?2= Ез — модули среды при поперечном растяжении в первом приближении; — поперечный эффект Пуассона;

* + 1

Найденные формулы имеют структуру, аналогичную ранее полу ченной, например, для материалов с изотропными волокнами (1.53). Если в первую формулу (3.31) ввести вместо V его выражение через1 х = 3 — Ьу9то ей можно придать вид

4	~		1	I 2 ( 1 - 0 ( У.- 1 ) + 4 О (и - 1+ 2»0						0	О 1
		В»	^ «О	\|		2 - и - я 5		+ ( 1 - 0 400
Для полного совпадения					этой		формы и выражения (1.53) необходимо
^				^	=	х	— 1	1— 2у>		согласуется
соблюдение равенства и						—^	^	——, которое
точно	в предельном случае						О	®	_	указывает на
						изотропных волокон.			Это
возможность			введения		эффективных1 характеристик непосредственно
для анизотропных волокон, подобных определенным в гл.											1 при про
дольном		сдвиге.*

* Не следует путать ранее введенное х с х = Т/Рг/Рг» принятое в этой главе.

Г Л А В А 4

ВОЛОКНИСТЫЕ СРЕДЫ СО СЛОЖНОЙ СТРУКТУРОЙ

Сложная структура волокнистых материалов образуется двояко периодическим распространением отдельного элемента среды с про извольной фиксированной конфигурацией волокон (см. рис. 9). Осо бого внимания заслуживают многокомпонентные, или так называемые гибридные композиционные, материалы, в которых в отдельной ячей ке-элементе содержатся волокна с различными физико-механичес кими свойствами. В связи с применением волокон большого диаметра в металлической матрице возрос интерес к композиционным материа лам с разной структурой. Под последней понимается орторомбичес кая упаковка волокон или ее модификации, которые наиболее часто реализуются при изготовлении материалов методом прокатки. В дан ной главе приводится ранее найденное решение [11, 13], сохранив шее свое значение при изучении в строгой постановке путем систе матического применения ЭВМ конкретных упаковок структур мате риалов с помощью теории эллиптических функций Вейерштрасса.

§ 1. ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ ТЕЛ С ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКОЙ СТРУКТУРОЙ

Примем, что выделенный элемент композиционного материала

ограничен в	поперечной плоскости параллелограммом, построенным
на векторах	(аг и о>2= Ьще*а(Ь > 0 , а > 0), и имеет единичную дли

ну в продольном направлении (см. рис. 9). Внутри ячейки волокна могут образовывать произвольную упаковку. Они могут быть разного диаметра и иметь различные свойства. Такую структуру можно полу чить, например, сфотографировав микрошлиф, выделенный из реаль ного материала. Решение задачи теории упругости строится в предпо ложении, что вся остальная структура среды получена двоякоперио дическим распространением этой ячейки, она находится в двухмерном напряженно-деформированном состоянии и в пределах ячейки заданы осредненные компоненты тензора напряжений (о4А> или деформаций (е1Н). В соответствии с предложенной схемой разделение общего напряженного состояния среды на составляющие компоненты (см. рис. 1) имеет такие случаи нагружения:

	-	0	(^12)	(^з)			(*1)	0	0	“
к»»>] =			0	0		+	0	0	0
	_ <°и>		0	0			0	0	0	_
	0	0	0		“	0	0	0
+	0	0	<*23>	+		0	(02)	0		(4.1)
	0	(а2з)	0		_	0	0	(<*8>

Первых два случая назовем продольным состоянием, а последних два — поперечным; аналогично разбиваются компоненты тензора де формаций.

В локальной системе декартовых координат х2, х3 расположение центра к-го волокна определяем комплексными векторами ак; предпо лагаем, что в отдельной ячейке структуры содержится N волонон. Полное решение задачи в случае изотропных компонентов сводится к определению в каждой точке изотропных компонентов трех групп комплексных потенциалов, связанных с напряжениями и смещения ми следующими соотношениями:

а 12 — 'а1з =		(2).	= 2	Ке Рк (г),	о3+	а2 = 4 КеФ' (2),
°з —	+	2кг23 = 2 [гФк (г) +		{г)],		Ке Ф* (г),	(4.2)
20к (и24- ш3) =			(г) — гФ' (г) — ф (г) +			сопз*.
Здесь к = 1,2,		N — число волокон в			выбранной ячейке; состоя
ние матрицы	характеризуется		функциями		без индекса; г = х2 +		ОД
х = 3 — 4у;	ср'(г) = Ф (г); ф'(2)=			^ (2)* На межфазной границе (2= т 7)

выполняются условия совершенного контакта компонентов, которые требуют равенства смещений и напряжений:

КеТ^т) = (т), СГш /^т) = 1 ш ^(т), т 6 т ь.

Эта пара групп функциональных уравнений эквивалентна									следующей-
(1 + 6к/С) Рк (т) +			(1 -	ОкЮ)	=	2Р (т),		т 6 т/4.		(4.3)
Кроме указанных, в пределах				ячейки	выполняются			ограничения на
напряжения
(а42	1СГ1з)
Здесь / =	<ь\Ь з т а .
Для плоского деформированного состояния,							определяемого			функ
ционалами	ф (2)	и ф(г), краевые условия имеют вид
ф* (х) +		Ф* (т) — е2№[хФ* (т) +			V (х)] = Ф (х) +			Ф (т) —
		-	[тФ' (х) + У (х)],			Хбхй)
(1 _	С / О к) ФА(т) +		(1 +	яйС/Од)Ф^СО -			(1 - С / 0 к)т X
X [хФ* (х) +		’Р* (х)] =	(я +	1) Ф (х) Н- 20 ( V*			— V) <е,),		х е х*.	(4.5)

Последний член в правой части второго уравнения не равен нулю только в задаче о продольном растяжении. Средние напряжения фиксируются на каждой грани Й рассматриваемого параллелепипе-

<°л> = т г ЭД	<4-6)
а

где й — площадь грани.

Условия двоякой периодичности напряженного состояния при водят к ограничениям для потенциалов, описывающих состояние

матрицы. Исходя из равенств
К	— »1з) \|г+р =			(0)2 — Й>и) Ь.
	(«3 +	®г) Ц/> =		К	+	° 2) \|2.				(4.7)
(са — аг + 2(С28) \|г+р =				(с3 —		а г +	2йги) \|г,
где Р = т(й} -(- ясо2; т, п =		0, ±	2, ±	оо,	получаем				искомые	соотно
шения для функционалов
Г (г +	со;) = Рг(г),			Ф(г +		ю;) =		Ф' (г),		(4.8)
й,Ф' (г) + V (г +			(о;) = V (г), / =					1, 2.

Здесь период со/ может быть в			соответствии с				(4.7)		заменен	на Р =
= тщ + по)2. Первым двум		условиям можно					удовлетворить			с помо
щью суммы однородного и самоуравновешенного								состояний		и разло
жения последнего в бесконечные ряды					по	эллиптическим функциям
Вейерштрасса [4]:

Здесь А ,5> С ь,8 — постоянные; С(5) (2) — 5-я производная дзета-функции Вейерштрасса

т = т + ' % % ( - 7 ± Р + 1 г + -Т г)’						Р =	тсо4 -Ь шо2;
						т , п = О,		1 ... ± оо.
го	п							(4.10)

Знак «штрих» над показателем суммы				означает,			что	слагаемое т =
= п = 0 должно	быть	опущено.	Важным			свойством		дзета-функции
является ее квазипериодичность,			согласно		которой		[78]
	С (* +	«Л =■«*» +		«*	/ = 1 ,2 .			(4.11)

Производные этой функции обладают свойством периодичности

	(г + Шу) =	?<5) (г), 5 = 1 , 2 . . .		(4.12)
Для простейших	структур — гексагональной (а = я/3;			Ь = 1) и
тетрагональной (а =	л/2; Ъ — 1) — следует		принять
в	л	в	л е ~ 1а
1	а>] 5Ш а 9	2	©! ял а

В общем случае между этими параметрами существует связь — соот ношение Лежандра [78]

		б ^	-{- б2со4=	2л/.	(4.13)
Второе уравнение для		определения		б^ получаем	при установлении
связи	между значениями	С (г)	в точках	аь	с учетом формулы
				г = ±
(4.11)	и условия нечетности		функции	?(г):

(4Л4)

Непосредственным интегрированием разложения (4.9) находим потенциалы смещений в матрице

					сопз1
					,			,	(4.15)
					Т	^ )	+	Т < аг>-
Здесь а (г) — сигма-функция Вейерштрасса					[78],	определяемая			соотно
шениями
4-1п о(2) = Ш.			1 н п ^ - = 1 .						(4.16)
аг			г->0		2
Одно из свойств этой функции выражается формулой
а (г — а„ +	<■>,) = — а (г — а*) ехр [бД г — ан +							,	(4.17)
а также разложением в бесконечное			произведение
а(г) = г П ^ ! — ^		е	х	р	^ +	^ т ) .			(4.18)
Знак штрих у показателя произведения				означает,			что	сомножитель
т = п = 0 должен	Сыть опущен.	Для			дальнейшего			рассмотрения

приведем	полезную	формулу, являющуюся следствием		(4.9) (4.11),
(4.12) и	(4.17):		и.»	' '*
Р (2 + <й}) — Р (2)				+
<Р (2 + Ю/) — <р (г)


			О
			+	(4.19)
			-Т«<73> +<°2»-
Третье условие		(4.8) накладывает ограничение на		функцию ф (г);

для произвольной двоякопериодической структуры она построена автором [111 путем обобщения ранее найденного решения в случае элементарных структур [561 и имеет вид

N	СО
Ц) (г) = Д, + ^	> ]	-	^	Г	[О ь.р-0 (г -			о») - Л*.,»!» (г -	а*)] +
к — 1	5 = 1
	+		<Кз> +		-у		~ Т ("г).		(4-2°)
где введена функция		[11]
11(г)= ^				/ (	т	^	+ т^ + т Ч -		(4-21)
Здесь Р = шсо4 +	/гсо2.		Используя			свойства		эллиптических	функций,
можно показать,	что 11(2) — четная функция:
				П (-* ) =			Ч<*)-		(4.22)

Учитывая соотношения, являющиеся следствием третьего условия (4.8),

запишем	_		У1,
V" (2 +	»,) = чю (2) 4- соя'1’ (2) -		У1,	(4.23)
где длятетрагональной	упаковки (а — я/2;	Ь — 1), Уа =		*Уь Для
гексагональной (а = я/З, Ь = 1), у2 = У1 =		0;	индекс в	скобках

указывает порядок производной, простым интегрированием находим

Ц(2 + (Оу) = г\ (2) + (2) — У/2 + $;•. (4.24)

Для определения постоянной интегрирования 5) полагаем в (4.24)

г = — у и учитываем равенства (4.21) и (4.22), что приводит к зави

симости
25^ = (о;-6у — со/^.	(4.25)

По аналогии с а-функцией Вейерштрасса, определяемой уравне

ниями (4.16) — (4.18), вводится	т-функция согласно равенствам
4 - 1пт (2) = и (2),	Ишт (2) = 1.	(4.26)
аг	г-»0

Путем интегрирования устанавливаем разложение т-функции в бесконечное произведение

т(г) = П (1 — т г ^ е х р (\|р г + -зрт),	(4.27)
тп

из которого следует, что т-функция имеет нули, лежащие в вершинах сетки периодов. Свойства введенной функции используем при интегри

ровании	(4.24)
1п т (г + го;) = 1пт (2) + о>;- 1п а {г) — г2								+	5^2 +	1п
или
		т (2 + со,) =		т (г) [о (г)]а'С, ехр (г5, — г2					.
Постоянная		интегрирования С; находится из уравнения при подстанов-
ке г =		со.		(4.25), получаем
ке г =	----- ; учитывая			(4.25), получаем
Т (2 + 0^) =		Т (2)		' ехр			' ЮА		4	_	У}г )]
Т (2 + 0^) =		Т (2)		' ехр			( 2		4		2 /I *
Условия	двоякой		периодичности требуют, чтобы								(4.28)
Условия	двоякой		периодичности требуют, чтобы
				N							(4.29)
				2	А и	= 0.					(4.29)
				/г=1
Интегрированием			(4.20)	находим	потенциал
			N				N
	Ф (г) = Д>г + 2			Д м 1п о (2 — ал) — 2				СыЧ (2 — а*) —
	Л/	оо	к= 1				А=1
	Л/	оо
-	^				(г ~	«*) ~			<* -	«*М +
	А=1	5=2
			+	& (сг23) +	-\|т ((а3) — (а2)).						(4.30)
Для дальнейшего рассмотрения приведем формулу для											прираще
ния потенциала на периоде решетки
						N
	ф (2 +		Сйу) — ф (г) = й м — 6, 2				(Дм + Д и ^ ) —
	//				N	00 А=1
	А ?		+ с ы°*> + “' ^ ] 2			Ж = Ж		с ^	(5_1) <2 -		°Ь) +
	А ?			А=1
			+	й»у<<^> +		((<*,) -	(о2)).				(4.31)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 316 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.2023919.76 Кб1Миграционные проблемы современных российских городов..pdf
#
12.11.20233.07 Mб3Микробиология и биотехнология..pdf
#
12.11.20238.7 Mб2Микробиология и основы биотехнологии..pdf
#
12.11.202319 Mб0Микроволновое излучение и интенсификация химических процессов..pdf
#
13.11.202324.36 Mб1Микромеханизмы разрушения металлов..pdf
#
12.11.202312.56 Mб4Микромеханика композиционных материалов..pdf
#
12.11.202312.63 Mб4Микронапряжения в конструкционных материалах..pdf
#
12.11.202322.03 Mб1Микропластичность и усталость металлов..pdf
#
12.11.20235.45 Mб8Микрополосковые антенны и решетки в слоистых средах..pdf
#
12.11.20236.54 Mб14Микрополосковые и диэлектрические резонаторные антенны. САПР-модели методы математического моделирования.pdf
#
12.11.202314.73 Mб7Микрополосковые излучающие и резонансные устройства..pdf