книги / Общие вопросы теории граничных задач
..pdf§ 3. СПЕЦИАЛЬНЫЕ КЛАССЫ ОПЕРАТОРОВ |
41 |
собственных функций, образующая базис Рисса |
в Ж. |
Из сказанного в данной главе ясно, что для М-операторов особенно просто осуществимо построение операционного исчисления.
Бели для М-оператора L существует оператор LT1, то он снова является, очевидно, М-оператором; Но один из этих операторов может быть ограниченным, а другой — неограниченным. В то же время и, например, оператор умножения на константу является М-оператором (для него любой элемент — собственный).
Г Л А В А II
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ, ПОРОЖДАЕМЫЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕМ
§ 0. Вводные замечания
Настоящая глава посвящена обсуждению-Некоторых результатов общего характера, относящихся к дифферен циальным операциям с частными производными, рассмат риваемым в ограниченной области V «-мерного евклидова пространства IR” . В главе вводится необходимая термино логия и уточняется характер интересующих нас в дальней шем задач. Основным предметом обсуждения являются по существу способы сопоставления конкретным объектам классического анализа абстрактных объектов, описание которых составляло содержание гл. I.
В § 1 вводится основное для дальнейшего гильбертово пространство Н (У) комплексных функций с интегрируе мым квадратом модуля. Наряду с формальным определе нием приведен ряд дополнительных замечаний, имеющих своей целью сделать изложение более доступным для тех читателей, для которых интеграл Римана привычнее, чем интеграл Лебега. Эти замечания подчеркивают одновре менно те стороны лебеговской теории, использование ко торых существенно для проводимых построений.
Следующие два параграфа содержат определение и предварительное изучение основных понятий, относящихся к «общей теории» граничных задач. Дальнейшие парагра фы (которым предпослано введение в начале § 4) посвя щены различным аспектам определения сопряженного оператора, рассматриваемого в конкретной ситуации, и построению специального аппарата, позволяющего получать нужные результаты. Соответствующие кон струкции имеютсамостоятельный интерес и приведены с подробностью, превосходящей непосредственные нужды основных гл. IV—VII.
§ 1. ПРОСТРАНСТВО И (Л |
43 |
§ 1. Пространство H(V) |
|
Пусть V — ограниченная область евклидова |
прост |
ранства [Rn с границей dV = S , состоящей из конечного числа кусков достаточно гладких (например, класса С2) (п — 1)-мерных поверхностей, пересекающихся под нену левым углом. Нижеследующие построения осуществимы и при значительно менее ограничительных предположе ниях, но некоторая регулярность границы V необходима. Характер минимальных требований, относящихся к F, при которых остаются справедливыми результаты данной главы, нас не интересует.
Основным функциональным пространством, в котором будут проводиться дальнейшие рассмотрения, является гильбертово пространство X2 (V) == !Н (V) = IH комплекс ных функций над V с интегрируемым по Лебегу квадратом модуля.
При определении пространства И (V) нам удобно рассуждать следующим образом. Пусть_ С (V) — множе ство непрерывных в замкнутой области V функций, обра зующих комплексное линейное пространство с обычными операциями поточечного сложения и умножения на ком плексные числа. Определив на С (V) скалярное произве
дение равенством |
|
|
(u, v) = |
С uv dV, |
и = и(х)у v = v(x), |
|
V |
(1 ) |
dV = |
dx, х Е= V, |
dx = йхг . . . dxn, |
превратим С (V) в предгильбертово пространство. Попол нив его по норме, порождаемой введенным скалярным про изведением, получим гильбертово пространство IH(V).
Изучение природы присоединяемых к С (V) в резуль тате абстрактной процедуры пополнения «идеальных, элементов» является предметом теории функций. Извест но, что каждый элемент построенного таким образом про странства И (V) может быть отождествлен с классом функ ций, интегрируемых по Лебегу и совпадающих почти всюду.
Если, понимая интеграл (1) в смысле Римана, желать оставаться в рамках римановской теории интегрирования, то следует" учитывать, что не всякий элемент (Н(V) пред ставим интегрируемой функцией. Тем не менее для любого
44 |
ГЛ. II. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА |
элемента |
и е И (V) всегда определено, например, число |
lim (ип, 1), .которое не зависит от выбора последователь-
Пг-+О0
ности Коши |
{wn} е С (F), представляющей элемент и, |
|
и может быть символически записано в виде |
\ udV. |
|
|
|
V |
В каждом конкретном случае проводимые ниже построе |
||
ния могут |
быть оправданы и без обращения к |
теории |
Лебега, за счет дополнительных предельных переходов. Но осуществление соответствующей работы в полном объеме оказалось бы весьма неэкономным.
Для нас существенно, что IH(F) — полное (гильбер тово) пространство, в котором линейное многообразие С (V) по определению плотно. При обращении к вложе нию С (F) CZ Н (F) следует иметь в виду следующее за мечание. Утверждение «элемент иб=Н является непрерыв ной функцией» понимается в том смысле, что соответству ющий класс функций содержит непрерывную функцию и (ж), J G F (как очевидно, однозначно определенную), с которой во всех рассмотрениях можно этот класс отож дествлять. Соответствующие замечания справедливы и в отношении вложений линейных многообразий С* (F), С°° (F) (к раз дифференцируемых или бесконечно дифферен
цируемых функций) |
в Н (F). |
З а м е ч а н и е . |
Читателю, возможно, полезно будет |
непосредственно проверить, что для элемента u G H ( 0 ,1), представимого функцией, равной единице на (0,у) и
нулю на |
l), не существует представляющей его не |
прерывной |
функции. |
В соответствии с вышесказанным, в ряде случаев (на пример, в нижеследующей лемме) удобно, опираясь на результаты теории функций, говорить об элементах И (F) как о функциях (определенных и конечных почти всюду). Нам потребуется в дальнейшем одно свойство таких функций, называемое зачастую «непрерывностью
в среднем». ’ |
в (i) G Н (7) |
определенной на всем |
|
Будем считать |
|||
1R”, полагая и — 0 при |
х ф. F, |
и пусть |
|
$ 6u = |
sup (С I и (х 4- h) — и (х) Р tfcriГ |
||
|ftK6 Ц) |
' |
> |
|
§ 1. ПРОСТРАНСТВО Н (V) |
45 |
|
Здесь |
|
|
|
х + h = |
+ &х, • • |
хп + hn), | h | 2 = Af + |
. . . + |
З а м е ч а н и е . |
Приводя такое определение |
||
мы опираемся на тот факт, что функция й (х), |
определен |
ная в некоторой области V ZD V, совпадающая с и е IH(У) в V и равная нулю в V \ V, есть элемент IH(Г). Можно считать этот факт известным, а можно и доказать его, по строив (исходя из соответствующей последовательности для и (х)) последовательность функций {гг*}, непрерыв
ных в замкнутой области V и таких, что гг* ->■ гг в Ш.
Л е м м а (о н е п р е р ы в н о с т и в с р е д н е м ) .
Для любого фиксированного |
элемента и ЕЕ !Н (F ) число |
ЗЗъи стремится к нулю при |
б 0. |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Достаточно выяснить пове |
дение бЗь, например, при 6 < i . Пусть V CZ Vlt где Fx —
ограниченная область в |
R" такая, |
что I + |
/г S ^ |
для |
любого х е V при | h | |
1. Пусть |
й (я) GE Н (Fj) |
есть |
|
функция, совпадающая |
с заданной |
и (я) в |
F и равная |
нулю на Fj \ F (см. замечание). Пусть {йг (я)} — сходя щаяся к й (я) последовательность непрерывных функций.
При обусловленном в |
определении |
продолжении |
|
и (я) нулем вне F и | h | ^ |
1 будем иметь |
|
|
| и (я + h) — и (я) |2 <?я| ^ |
| й (я + К) — й (я) |2 dx| ,г |
||
^ {51и (х ”Ь |
|
(я -|- fe) |2 Зя| |
+ |
+ | J | щ (х + к) — щ (я) |2 йя|’/г+ U | щ (я) — й (я) |2 dx| V‘.
Фиксировав е 0, можем выбрать номер г таким образом, что 1 -е и 3-е слагаемые в правой части не будут превосходить е/3 каждое, а затем выбрать 6 > 0 , так, что
| Ui[(x + h ) - U i ( x ) | 2 < е2 (9 mes F) - 1
при | h | ^ б (за счет равномерной в замкнутой области Fx непрерывности функций и,- (я)). Это влечет 8 при указанном выборе б.
46 |
ГЛ. II. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА |
§ 2. Дифференциальные операции и максимальный оператор
Над функцией и (х) G C m (F) обычным образом может быть определена линейная дифференциальная операция
L (D) и = |
2 |
aaDau. |
(1) |
|
|
|
|a|<m |
|
|
Здесь а == (аь .. |
ап) — целочисленный мультииндекс и |
|||
Da = D ? ...D«*, |
2)» = |
- А , |
|а | = |
а ! + . |
Коэффициенты аа могут быть либо комплексными числа ми, либо комплексными функциями aa = аа (я), принад лежащими по крайней мере С (V).
Поясним смысл использованного термина «операция». В сделанных предположениях можно, конечно, сразу рас сматривать L (.D) как оператор L: Н (F) И (F), задан ный на линейном многообразии С™(F) CZ Н (V) (еще раз подчеркнем, что и непрерывность и дифференцируемость мы всегда подразумеваем в замкнутой области F). Но, во-первых, в качестве оператора мы всегда будем рассмат ривать лишь замыкание в И введенной операции, а, вовторых, с одной и той же операцией — выражением вида (1 ) — мы будем связывать, как правило, целое семейство
различных операторов, действующих |
из И (F) в !Н (F). |
Покажем на простейшем примере незамкнутость в И |
|
операции вида (1 ) при ее «классическом» понимании. |
|
П р и м е р 1. Пусть V = (0, 1) |
интервал вещест |
венной оси и операция L (D) = Dx рассматривается как
оператор |
Dx: И ->• !Н с областью |
определения — линей |
|||||
ным многообразием |
С1 всех непрерывно дифференциру |
||||||
емых на |
[0, 1] функций. |
Определенный |
таким образом |
||||
оператор Dx незамкнут. |
Действительно, |
если |
|||||
|
■ ч |
Г |
я |
при |
0< S < V * , |
||
|
и (х) = |
1 . |
— х |
при |
, |
^ |
^ . |
|
|
{ 1 |
V2 |
< х < 1 , |
то нетрудно построить последовательность гладких функ ций щ ->■ и при к оо (сходимость в Н) таких, что
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ |
47 |
(сходимость жит © (Dx).
Считая область V фиксированной, не будем в дальней шем явно указывать ее в обозначениях. При рассмотре нии замыкания операции L (D) в ОНбезразлично, считать ди ее первоначально заданной на С™, или на С0", и обычно выбирают последнее.
Замыкание в И операции L (Z>), определенной перво начально на С°°, называется максимальным оператором,
L; И |
IH, порождаемым |
L (/)). |
|
Подробная расшифровка этого определения заклю |
|||
чается в следующем. Элемент и ЕЕ И считается |
принадле |
||
жащим |
© (L), если |
существует последовательность |
|
{и*} ЕЕ С°° такая, что |
|
|
|
|
щ - + и , |
L (D) U jr> /E lH |
(2) |
(сходимость в И) *).
Эпитет «максимальный», отнесенный к оператору L, указывает, что среди операторов L: IH->• 1Н, связы
ваемых обычно с операцией (2), оператор L обладает наиболее широкой в определенном смысле областью
определения © (L). При рассмотрении замыкания того или иного оператора надо, конечно, быть уверенным в корректности соответствующей процедуры. Другими словами, надо быть уверенным, что для данного опера
тора Т: И |
Н не могут существовать две различные по |
|||
следовательности |
и, |
U}z —> и такие, |
что Ти* ->■ f , |
|
Тui -*■ f |
(сходимость в IH), причем f ф |
/". |
||
П р и м е р 2. |
Пусть |
V = (0, 1) — интервал вещест |
||
венной оси, оператор Т: И |
И определен так, что © (Т) = |
|||
= С а !Н, |
и для любого элемента и ЕЕ С элемент / = Ти |
|||
определен |
равенством / (х) = const = и (1/2). Существу |
ют, очевидно, последовательности {щ}, {щ} непрерывных функций, сходящихся в И, например, к функции и0 (х) = = 1, такие, что Тщ = О, Тщ = 2 (при любых к). Та
*) Другой стандартный способ определения замыкания — через введение графика оператора (см. [5]). Замыкание графика дает замыкание оператора.
48 |
ГЛ. II. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА |
ким образом, введенный оператор Т не допускает замы кания.
Из приводимых ниже рассмотрений будет следовать, что в сделанных нами предположениях операция L (D) всегда допускает замыкание. Мы не станем пока останав ливаться на этом факте. Он будет отмечен в соответству ющем месте.
Во всех дальнейших рассмотрениях центральную роль будут играть операции L (.D) с постоянными коэффициен
тами аа. В этом случае ядро N(L) максимального опера тора при т 1 заведомо отлично от нуля, т. е. решение уравнения
|
Lи = / |
(3) |
|
(равенство в 1Н; оператор |
L понимается |
в соответствии |
|
с (2)) |
не единственно. |
Элементами, принадлежащими |
|
ядру, |
будут, например, функции |
|
соответствующем подборе постоянных с*.
Удобно сформулировать это замечание в следующей
форме. |
1. Если L (D) — операция с по |
|
У т в е р ж д е н и е |
||
стоянными коэффициентами, т > |
1 , то точечный спектр |
|
соответствующего оператора L: |
И 1Н заполняет всю |
|
комплексную плоскость |
С. |
|
Если в качестве операции L (D) в (1) брать «классиче ские» операции (оператор Лапласа; операторы, входящие в волновое уравнение или в уравнение теплопроводности) или их простейшие обобщения, то уравнение (3 ) соответ ствует рассмотрению в V классических уравнений без каких-либо дополнительных граничных условий. Тогда, кроме утверждения о неединственности решения, можно утверждать еще и разрешимость уравнения (3) при любой правой части / Е1Н.
Оказывается, при постоянстве коэффициентов в опе рации (1 ) аналогичное утверждение (о разрешимости (3) при любой / е IH) остается справедливым и в случае про извольной операции L (D). Но доказательство его не яв ляется тривиальным. Оно будет нами получено после ряда дополнительных построений.
§ 3. ПРАВИЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
49 |
§ 3. Минимальный оператор
иправильные операторы
3.1.Минимальный оператор. Обозначим через С~ линейное многообразие функций из С00, подчиненных до
полнительному требованию обращения в нуль, вместе
спроизводными всех порядков на S — границе V.
Сточки зрения теории граничных задач самый «узкий» или так называемый минимальный оператор, связанный
соперацией (1 ), может быть получен путем выбора в ка честве первоначальной области определения для L (D)
многообразия С™. Точнее, минимальным оператором, связанным с операцией L (/)), называется оператор L0: И И, определяемый как замыкание в Н операции
L (D), заданной первоначально на С£.
Мы не будем в дальнейшем каждый раз останавливать ся на подробном описании процедуры замыкания (или области определения соответствующего оператора), ис пользующем предельный переход, аналогичный указанно му в (2 ) § 2 .
Из наших определений немедленно следует включение
L0 d L, т. е. максимальный оператор является расшире нием минимального.
Если обратиться теперь к операциям с постоянными ко эффициентами и рассмотреть, подобно тому, как мы рас смотрели уравнение (3) § 2 , уравнение
Loи = /, |
(1 ) |
естественно ожидать, что решение его всегда единственно* но существует далеко не при всех правых частях / £= IH.
Действительно, как мы увидим, в сделанных3предпо ложениях эти факты в точности эквивалентны утвержде нию о разрешимости уравнения (3) § 2 при любой / £= IH и о неединственности соответствующего решения.
Отмеченные свойства уравнения (1), будучи сформули рованы в терминах спектральной теории, влекут утвер
ждение: |
Если L (.D) — операция с по |
|
У т в е р ж д е н и е 1. |
||
стоянными коэффициентами, т > 1, |
то остаточный |
|
спектр соответствующего |
оператора |
L0: IH И запол |
няет всю плоскость С* |
|
|
50ГЛ. II. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
3.2.Транспонированные операции и сопряженны операторы. Приведенные выше замечания о связи между свойствами уравнений (3) § 2 и (1 ) напоминают классиче скую теорию Фредгольма (п. 3.2 гл. I), и не удивительно, что доказательство соответствующих утверждении осно вывается на привлечении к рассмотрениям сопряженных
кL, L0 операторов.
Если в (1) § 2 коэффициенты аа операции L (D) при надлежат классу С™, то однозначно определена транспо нированная (или формально сопряженная с L (.D)) опера ция L* (£>), связанная с L (D) соотношением
(L ф ) u, v) = (и, V ф ) v),
которое должно выполняться для любых и, v d Пере ход от L (.D) к I} (D) осуществляется интегрированием по частям. Последнее всегда осуществимо при достаточной гладкости коэффициентов аа.
В то же время для операторов L, L0, связанных с L(/?), обычным образом (п. 1.3 гл. I) могут быть определены со
пряженные (в смысле теории операторов) операторы L*,L*:
Н -> Н (область определения операторов L, L0, очевидно, плотна в И). При этом в ряде важнейших случаев оказы ваются справедливыми равенства
L = |
(l4)*, |
LO=(L*)* |
(2) |
L ‘= |
L ; |
I 4 = L * |
(3) |
Первое из равенств (2) лежит в основе конструкций следующего пункта этого параграфа. Доказательство его приведено в § 6.
Пока что мы заметим следующее. Включение L d
d (LQ)* |
очевидно. |
Действительно, если |
(L), |
у Е Э (LQ), |
то достаточно записать равенство |
|
|
|
(L (D) щ, |
vk) = 0щ, L* (D) ик) |
|
для элементов ии vk аппроксимирующих последовательно стей, входящих в соответствующие определения, и перей ти к пределу при г, к -+• оо. Нетривиальным является
доказательство включения (LQ)* CZ L> требующее исполь