книги / Общие вопросы теории граничных задач

Возвращаясь к общему случаю, заметим, что при до­ полнительном предположении А0 == 1 конструкция п. 1.4 § 1 позволяет, очевидно, описать правильный оператор L при произвольных операторах А*, к = 1, . . ., ттг, яв­ ляющихся П-операторами.

Снятие требования А0 = 1, т. е. описание некоторого класса правильных операторов,' сопоставляемых произ­ вольной дифференциальной операции с постоянными коэф­ фициентами, требует дополнительных рассмотрений, ко­ торые приведены в следующей главе.

Г Л А В А VO

ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПРАВИЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

§ 0. Вводные замечания

Настоящая глава состоит из трех параграфов. В первом устанавливается тот факт (сам по себе достаточно очевид­ ный), что правильный оператор, заданный в некоторой области V a 1R71 (удовлетворяющей нашим обычным тре­ бованиям), автоматически индуцирует некоторый правиль­ ный оператор в области V' d V.

Воспользовавшись этим, можно установить существо­ вание правильного оператора, порождаемого заданной дифференциальной операцией с постоянными коэффици­ ентами, в произвольной ограниченной области V. Доста­ точно поместить эту область в параллелепипед достаточно больших размеров,- ограничиваемый плоскостями, парал­ лельными координатным осям. В таком параллелепипеде, в предположении, что координатные оси не имеют характе­ ристических направлений (чего всегда можно добиться соответствующим поворотом осей), правильный оператор описывается за счет конструкции, приведенной в п. 1.4 предыдущей главы. Это и дает доказательство теоремы Хёрмандера, упоминавшейся нами в- п. 3.3 гл. II. Сказан­ ное составляет содержание § 2.

Последний параграф посвящен задаче описания пра­ вильного оператора, порождаемого произвольной опера­ цией с постоянными коэффициентами в фиксированном параллелепипеде, высекаемом плоскостями, параллель­ ными координатным, без предположения о том, что оси не имеют характеристических направлений. Это требует су­ щественной модификации построений, но зато дает эффект тивизацию (и некоторые уточнения) вышеупомянутой тео­ ремы Хёрмандера для указанного класса областей.

§ 1. Лемма о сужении области

Условимся в дальнейшем области V d Кл, удовлетво­ ряющие нашим обычным требованиям (§ 1 гл. II), называть

допустимыми.

вы пространства и в V для некоторой дифференциальной операции L (В) определен порождаем!™ ею правильный

мального Lo, порождаемого L (В) над V . Действительно, если v ЕЕ © (Lo), то существует последовательность {vt} ЕЕ

вательность {vt} ЕЕ С~ (V), позволяющую установить, что соответствующая предельная функция г; ЕЕ 1Н принадле­ жит © (L0) а © (L), причем

и в предположении, что соответствующий правильный опе­ ратор L: 1Н IHпорождается условиями

\iu \t=0 — и \t=b — О,

нетрудно явно выписать граничные условия, определяю­

164 ГЛ. VII. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ

щие описанный выше оператор I /. Достаточно в формулу,

При этом условие р — еаЬ Ф 0 автоматически обеспечивает регулярность задачи, соответствующей условиям (1).

В заключение полезно отметить, что если в использо­ ванной в лемме конструкции заменить И0 на 1НФ — под­

даст, вообще говоря, расширения оператора Le.

§ 2. Теорема существования правильного оператора

Пусть в Rn задана общая дифференциальная операция L (D) порядка т с постоянными комплексными коэффи­ циентами. Выделив одну из координат х19 . . хПУ можем зацисать L (D) в виде

L (D) = АоD* +- АхП^1 + . . . + А*,

У

где D — операция дифференцирования по выделенной ко­ ординате, а операции А0, ..., Ак содержат дифференциро­ вания лишь по остальным п — 1 переменным. Если выде­ ленную координату можно выбрать таким образом, что L .(D), быть может, после деления на постоянную запи­ шется в виде

то соответствующую дифференциальную операцию (запи­ санную в форме (1)) будем называть приведенной.

Будем считать в дальнейшем, что выделенная коорди­

называть стандартным параллелепипедом в lRn.

Л е м м а 1. В стандартном параллелепипеде для лю­ бой приведенной дифференциальной операции L (D) с по­ стоянными коэффициентами существует порождаемый ею правильный оператор.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Достаточно, очевидно, рас­ смотреть случай N = 1, воспользовавшись рассуждения­ ми, примененными при доказательстве теоремы 2 , п. 1.4 гл. VI.

Во-первых, существует постоянная М О такая, что для любых комплексных чисел А2, ..., Ак правильный опе­

(D = /?!), может быть определен (соответствующими усло­ виями при хг = О, Ь) так, что HL"1!! М . Доказательство этого утверждения дословно повторяет доказательство соответствующей леммы из п. 1.4 гл. VI.

Далее, взяв в качестве граничных условий по аг2, ..., хп условия периодичности (т. е. определив Ах, ..., А* как соответствующие П-операторы), воспользовавшись нашим обычным приемом расщепления уравнения

L (D)u=*f

на цепочку обыкновенных дифференциальных уравнений

Ls (Di) us = /„ s E

и повторяя рассуждения, использованные при доказатель­ стве вышеупомянутой теоремы 2, § 1 гл. VI, получим тре­ буемое. Щ

Из леммы 1 и леммы предыдущего параграфа немедлен­ но получаем

С л е д с т в и е . Если L (D) — приведенная дифферен­ циальная операция с постоянными комплексными коэффи­ циентами и V — некоторая допустимая область в К71, то всегда существует правильный оператор

166 ГЛ. VII. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ

L (D), существование которого гарантируется леммой 1, определяет, согласно лемме из § 1, некоторый правиль­ ный оператор (2). Щ

Чтобы перейти теперь к случаю произвольной (неприведенной) операции L (D) с постоянными коэффициентами, рассмотрим вопрос о поведении изучаемых объектов при гладких обратимых преобразованиях координат в [Rn или, что то же самое, при гладких взаимно однозначных отоб­ ражениях IRn на себя.

Операция L (D), заданная в координатах {х}, перехо­ дит при преобразовании (3) в операцию L' (D') в коорди­ натах {х'}. Вид операции I / (D') определяется классиче­ скими формулами замены переменных.

Л е м м а 2. Пусть L (D) — неприведенная дифферен­ циальная операция с постоянными коэффициентами. Тог­ да существует координатное преобразование (3), являю­ щееся поворотом, такое, что в новых координатах опера­ ция L' (D'), соответствующая исходной, является приве­ денной.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Будем интересоваться труп-, пой старших членов операции L (D):

Lm(D)= S

. ja\=m

Пусть искомое координатное преобразование задано фор­ мулами

где {уЪ} — ортогональная матрица. Вычисляя значение

коэффициента, например, при (Z>i)w в новых переменных, будем иметь

где La> т ф ') уже не содержит дифференцирования (Dj)”1.

Соответственно

Lm(ZT)= s {««Y1, а d > ;r + La, m(£>')}.

Ia |= m

Существует, очевидно, бесконечное число способов выбора ортогональной матрицы {у*}, при котором

S «aV1, 05 0. ■

|a |= m

Пусть теперь F' — прообраз допустимой области V при отображении

L:L ': Н'—>И'

•

(порождаемыми операциями L ф ), L ’ ф')), индуцируе­ мое отображением (4).

Отображение (4) порождает обычным образом отображение

<р*: Н-+ И'.

Для его определения достаточно рассмотреть соответству­ ющее отображение

для функций — элементов С (F) и воспользоваться плот­ ностью С в И.

Пусть теперь L': Н' И' — правильный оператор, по­ рождаемый I / (£>'). Положим для « С И

считая, что и е © (L) тогда и только тогда, когда ф*и 6Е © (И'). Уравнение

L« = /

будет при этом, очевидно, однозначно разрепшмо для лю­ бого элемента / £ Н . _

Заметим далее, что если L '0, L' — минимальный и максимальный операторы, порождаемые над И' операцией L' ф '), то, поскольку L (Z>), I / ф ') связаны между собой

№ГЛ. VII. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ

отмеченным выше классическим образом, а при определе­

нии L0, L, L0, 1/ использовано замыкание соответству­ ющих операций, заданных на гладких функциях, из (3),

(5) немедленно следует справедливость включений

L o C L C L ,

т. е. L — правильный оператор, порождаемый операцией L (D).

Сформулируем полученный результат в виде леммы.

циальная операция с постоянными комплексными коэф­ фициентами и V — некоторая допустимая область в Кп, то всегда существует правильный оператор

приведенная, то нужный результат дается сформулирован­ ным выше следствием леммы 1.

Если L (D) — неприведенная дифференциальная опе­ рация, то (используя введенные ранее обозначения и лем­ му 2) можем утверждать, что существует преобразование координат (3) (поворот), сопоставляющее L (D) приведен­ ную операцию I / (/)'), снова являющуюся операцией с по­ стоянными комплексными коэффициентами. Тогда су­ ществует оператор

I / :

порождаемый операцией I / (Z)') над И' (следствие лем­ мы 1), являющийся правильным, и оператор

L: Н-*Н,

задаваемый формулой (5), дает, согласно лемме 3, пра­ вильный оператор, порождаемый операцией L (.D) над Н (F). ■

§3. Описание правильных операторов

впараллелепипеде

3.0.Предварительные замечания. Данный параграф посвящен задаче непосредственного описания для произ­ вольной операции L (D) правильного оператора, ею по­ рождаемого, в фиксированном параллелепипеде Q, т. е. описания, не исключающего случая, в котором операция L (D) не является приведенной.

Факт существования и в этом случае правильного опе­ ратора L: IH(Q) ->• И (0 , порождаемого L (Z>), есть след­ ствие теоремы предыдущего параграфа. Но доказательства этой теоремы не дает достаточно эффективного описания области определения оператора L. В случае, когда L (D)— приведенная операция, соответствующее описание дается леммой 1, § 2. Теперь мы хотим найти такое описание для произвольной L (D) (в параллелепипеде Q).

Используемая конструкция, предложенная в [С10]г представляет самостоятельный интерес. Она существенно использует специальный вид рассматриваемой области (являющейся параллелепипедом). Возможность той или иной эффективизации общей теоремы предыдущего пара­ графа в случае произвольной V CZ Rn остается невыяс­ ненной.

3.1.Описание правильного оператора за счет подбора базиса. Как нетрудно предвидеть (и как будет следовать

из приводимых ниже рассуждений), для построения в про­ извольном параллелепипеде правильного оператора, по­ рождаемого общей операцией L (D) с постоянными коэф­ фициентами, достаточно уметь строить такой оператор в стандартном кубе

п

^ = П (0 < х» < 2я.).

1

Итак, пусть L (D) — произвольная фиксированная операция с постоянными коэффициентами и V — указан­ ный выше куб. Определим некоторый правильный опера­

Тогда произвольный элемент и ЕЕ И (V) представим в виде

и приравнивая выражения, содержащие множитель ei(oi+k)xt^ расщепим (3 ) на бесконечную цепочку уравне­

в которой операции L& (D) содержат* дифференцирования лишь по аргументам х2, . . хп.

Будем предполагать, что для любого к Lk (D) ф 0 (как будет показано ниже, этого всегда можно добиться соот^ ветствующим выбором ах), и каждой из операций L* (D) сопоставим некоторым образом (считая, что это возможно) правильный оператор

•х2, . • . , хп. Кроме того, предположим, что нормы операто­ ров L*1 равномерно по к ограничены:

подчиненных дополнительному требованию ик ЕЕ £> (L*), равенством

Lи = 2

ивзяв его замыкание в IH.

Ле м м а 1. В сделанных предположениях описанный выше оператор L: JH Н является правильным операто­ ром, порождаемым операцией L (D).