книги / Надежность и живучесть систем связи

но числу вершин подмножества А2. Если какой-либо вершине

о

а ^А 2 смежно несколько вершин {аЦеАи то параллельно вклю­ ченные .ребра, инцидентные этим вершинам, следует принимать за одно эквивалентное ребро Sij—{biIjllbi,ljll...llb{n,j}, вероятность

исправного состояния которого равна

v=i

121

Рис. 8.2. Стянутые двудольные гра­ фы (обведены штриховой линией) и подмножество ребер непосредствен­ ной связи

а)

Рис. 8.3. Компоненты сети Dj

*■1—0(Ьм )*<7(&2,4). При этом .OTJ9 —отА,«да= 2, где т$=\Щ,

тл^=\Аг\ — мощности соответствующих подмножеств. В любом СДГ можно выделить подмножество связующих звеньев (СЗ), каждое из которых представляет собой последовательное соедине­

Связующие звенья СДГ образуют подмножество вида H={7]g}. Например, в СДГ, изображенном на рис. 8.2,б, можно выделить два СЗ: T)J= {£*/„ аД и r\2 ={b3i5, as}. Каждое связующее звено СДГ является элементарной конструкцией, которую для упроще­ ния анализа и уменьшения трудоемкости .расчетов следует рас­ сматривать .как одиночный псевдоэлемент. Вероятность исправно­ го состояния |-го связующего звена

Следует различать два вида неиоправного состояния |-го СЗ: неисправна его вершина, неисправно ребро.

Учитывая, что по результатам исследований живучести при по­ ражении узла системы связи одновременно с ним обычно выходят из строя и связи по заходящим в него линиям (каналам) переда­ чи, примем допущение: если вершина лрафа рассматривается в неисправном состоянии, то состояния инцидентных ей ребер без­ различны, т. е. в процессе расчета они не анализируются, чтотакже сокращает расчет. С учетом этого допущения вероятности указанных выше неисправных состояний СЗ:

2?s='{bi,t}, сформированное после его построения, образуют £-е ПСМ графа сети. В случае повреждения всех элементов этого ПСМ разрываются все простые цепи между -полюсами сети в дан­ ном ПСМ.

Вероятность этого события

Вероятность ргу является условной, так как i-й СДГ имеет

место лишь при исправном состоянии соответствующего предыду­ щего СДГ. Обозначим вероятность выполнения этого условия сим­

123.

волом р(Гу), тогда безусловная вероятность разрыва всех СЗ в i-м СДГ и РНС выразится уравнением

Pi(Gj)=p{r v)\ В \ gib,t)п п <?(т)-

i=i i=i

Теперь уясним 'Главное в данном методе. Если процесс строи­ тельства стянутых двудольных графов начнем с первого (смеж­ ного с одним из рассматриваемой пары полюсов, например с аа) и попутно вычислим Pi(Gj) по (8.7), затем «построим смежный с ним второй СДГ и вычислим P2 {Gj), .потом — третий, смежный со вторым, получив pz{Gj), и так далее, пока не достигнем второго полюса at, то таким способом мы просмотрим и оценим все мно­ жество ПСМ «между полюсами сети, а сложив все значения Pi(Gj), найдем искомую вероятность P(Gj) неисправного состояния всех простых -цепей между полюсами as и alt т. е.

Как видим, главное заключается в умении построить процесс последовательного формирования и анализа множества СДГ меж­ ду полюсами as и at сети Dh исключая возможные пропуски от­ дельных ветвей СДГ, которые приводили бы к погрешностям рас­ чета.

Поясним этот процесс на «примере, а в § 8.3 опишем его фор­ мальные правила. На рис. 8.3,а показан первый СДГ (Г1), а на рис. 8.3,6 — второй (Г2). Из рисунков видно, что при «построении очередного стянутого двудольного графа образуются два компо­

нента графа сети: и — так, что aee£>i, {Ai}e£&lt а^& ч. а ( И UВ) \ ( й >1 uriU<?))<=02- Из данного примера видно, что i~й СДГ можно сформировать в том случае, если в компоненте ^ 2 помимо at есть и другие вершины а ^ А , т. е.

взаимосвязаны. Например, второй СДГ на рис. 8.3,6 -сформирован

Каждый СДГ должен стыковаться с последующим, по крайней мере, одной исправной цепью (т. е. СЗ). Следовательно, каждый предыдущий СДГ имеет столько связанных «с ним последующих, сколько может быть вариантов наличия в нем хотя бы одного исправного СЗ, а именно (с учетом упоминавшихся двух типов неисправности СЗ)

124

Начтример, на рис. 8.3,6 изображен вариант, когда в предыдущем СДГ все при его СЗ предполагаются исправными. Следовательно, при построении множества СДГ «адо .в каждом предыдущем СДГ перебрать все комбинации связующих звеньев с наличием хотя бы одного исправного и на основе каждого из них построить после­

смежные с Ль которые образуют новое подмножество А2. Ребра,

о

связывающие подмножества вершин А\ и Л2, составляют подмно­ жество Ш. Если при этом появляются РНС, то они включаются в подмножество i?. Этот процесс последовательно-рекурсивного формирования СДГ заканчивается лишь тогда, когда очередной компонент ЯЬ2 содержит одну .вершину, а именно второй полюс at. Как видим, з процессе анализа формируются только исправные СДГ и, следовательно, отпадает необходимость в анализе их со­ стояния в ходе расчета.

Обозначим символом пх число исправных СЗ в v-м предыду­ щем СДГ. Для того чтобы всегда выполнялось требование о на­ личии в v-м предыдущем СДГ хотя бы одного СЗ, необходимо, очевидно, чтобы при любой комбинации исправных и неисправных СЗ число исправных СЗ было не менее 1, но и «не «более m = |H v |, т. е. щ = 1~-/п. Тогда .при любом зафиксированном значении nt число неисправных «СЗ по причине неисправного состояния их вер­

шин л2= |{тй|я ./}| (8.4) должно быть не более т—пи но и не менее 0. В свою очередь, при зафиксированных значениях пх и п2 число неисправных СЗ по причине неисправного состояния их ре­

а вероятность одной из реализаций таких комбинаций, означающих исправное состояние v-ro предыдущего СДГ, вычисляется соответ­ ственно по формуле

Подставив (8.11) в (8.7), получим

125

(8.12).

Для получения окончательного расчетного соотношения подста­ вим выражение (8.12) в (8.8). После очевидных преобразовании получим

Имея p(Gj), вероятность p{Ej) противоположного события, заклю­ чающегося в существовании не менее одной простой цепи между полюсами as и at сети Dj, вычисляется как

Данный метод является эффективным для оценки и надеж­ ности двухполюсной системы (сети). В этом случае предполагает­ ся, что в сети Dj только линии связи ненадежны, а узлы связи принимаются практически идеально надежными. Это допущение исключает такую причину неисправного состояния СЗ, как отказ его вершины. Тогда число неиоправ-ньгх СЗ в v-м предыдущем СДГ с учетом неисправности только их ребер вместо (8.10)

При объяснении метода мы исходим из критерия исправности СДГ — наличия в нем хотя бы одного исправного СЗ. Однако

126

это условие не является обязательным. Может быть принято усло­ вие сохранения в «ем не менее двух, трех и более связующих

звеньев (r]§v} e l l v Разумеется, рассмотренный выше процесс фор­

мирования СДГ и расчетные соотношения при этом существенно

.изменяются.

Таким образом, сущность метода двудольных графов заклю­ чается в реализации процесса последовательного формирования по изложенным выше правилам стянутых двудольных графов из всего множества их на сети Dj относительно рассматриваемой па­ ры полюсов, вычисления и суммирования вероятностей их несвяз­ ности. При этом сокращение трудоемкости расчетов достигается следующими методическими -приемами:

совмещением процедуры вычисления вероятности события б}

с формированием множества простых цепей или простых секущих множеств;

оперированием в процессе расчета не вершинами и ребрами графа, а более крупными элементами — связующими звеньями; формированием в процессе последовательно-рекурсивных пре­ образований исходного графа сети связи только исправных СДГ, благодаря чему отпала необходимость анализа их связности. Оцен­ ка эффективности данного метода /по сравнению с другими при­

водится в § 8.7.

8.3.Формальные правила метода двудольных графов

При изложении формальных правил (словесного алгоритма) вычисления вероятности P(Gj) основное внимание будем уделять последовательности компоновки множества СДГ на сети Dj произ­ вольной структуры, так как расчетные соотношения достаточно подробно рассмотрены в .предыдущем параграфе. При необходимости будем применять некоторые конструкции входного языка РЩ ЭВМ ЕС. Такое .изложение поможет не только производить расчеты «.вручную», но и существенно облегчит конструирование алгоритма данного метода при реализации его на уровне вход­

ного языка ЭВМ.

Итак, формальные правила метода двудольных графов состоят

жат i4iv+1, а с другой — Л2у+1; если для ребра функции инцидент-

127

ности 0{bi,t) = (a ie ^ iv+1)&at> то такое-ребро включим в -подмно­

v=v-f 1 и сформируем одно из возможных его исп-равных состоя­ ний (8.10), скомпоновав набор пи «2, «з, для чего:

а) выполним Л|=П1+ 1. Если п\>ту то перейдем к п. 9, пред­ варительно произведя v=v—1;

б) сформируем одно из возможных сочетаний из т связующих звеньев по пх и выделим совокупность исправных СЗ вида {тцу}.

Если все возможные (подразумевается и -минимально необходи­

мые) сочетания из т по П\ будут выполнены, то -перейдем к пп. 6а. Выполним П2 ='(т—я,) + 1;

в) выполним П2 =п2~ 1. Если я2= —1, то перейдем к пп. 66;

128

г) Сформируем одно из возможных сочетаний из (т—пх) свя­ зующих звеньев -по п2 и выделим совокупность неисправных СЗ fatjaj}. Если все возможные сочетания из (т—п{) СЗ по пг будут выполнены, то перейдем к пп. 6в. Выполним п3=т—(л,+ п2); д) выделим совокупность_ неисправных связующих звеньев {rj£v | (bi,iAaj)}e H v\OlEv}U{?]{v|dj}, при этом должны выполняться

Ла,)} = 0 .

7. Сформируем из вершин, принадлежащих исправным связую-

©

,щим звеньям {r]gv}, подмножество Alv+r

8. Зафиксируем параметры v-ro предыдущего СДГ по всем его параметрам, включим данный СДГ в компонент и перейдем

кп. 2.

9.Восстановим v-й предыдущий СДГ из компонента Ф\ по всем его параметрам. Если Tv = 0 , то перейдем к п. 10, иначе пе­ рейдем к пп. 6г.

10.Вычислим (при необходимости) вероятность P{Ej) сущест­ вования между ая и at не менее одной простой цепи ргеМ;, вос­ пользовавшись (8.14), и закончим процедуру вычислений. При соб­

людении данных формальных правил можно получить точное зна­ чение вероятности события Gj и соответственно события Еу

8.4. Способы формального представления некоторых составляющих метода двудольных графов

В данном параграфе изложим практические рекомендации по формальному /представлению некоторых составляющих метода дву­ дольных графов на уровне входных языков ЭВМ. Очевидно, наи­ более сложными в формальном представлении данного метода являются описание рекурсивных действий по компоновке взаимо­ связанных СДГ и рассмотрение всех возможных минимально необ­ ходимых исправных их состояний. Для этих целей предлагается организовать следующие массивы:

VIR[ , ] — Вероятность Исправного состояния связующего звена при переходе его Ребра из неисправного со­ стояния в исправное; каждая компонента массива содержит значение p{bi,j)lq{bi,j);

VNR[ , ] — Вероятность Неисправного состояния связующего звена при переходе его Ребра из исправного со­ стояния в неисправное, каждая компонента масси­ ва содержит значение q(bi,j)/p(bi,j).

В каждой v-й строке соответствующих массивов размещается информация о сформированных v-x СДГ и состояниях их связую­ щих звеньев. В {v, 1]-й компоненте массива АВ размещается зна­ чение т, т. е. число СЗ в v-м СДГ, в i[v, 2]-й и [v, 3]-й компонен­ тах — соответственно числа « 2 и Лз, в [v, £]-й компоненте масси­ ва V — номера вершин r|gv. Например (рис. 8.5), информация

о(V + 1 ) - M СДГ в соответствующих массивах будет следующая:

— 1,0:F//?[1,1] = 0 , 1 1 1 F M ? [ 1 , 2 ] = l,0:F /tf[l,2] = 9 ,0 ; VNR [1,3] = 1,0: VIR [1,3] = 0,25.

(при. дальнейшем изложении вычисление содержимого компонент •массивов VIV, VNV, VIR и VNR будем опускать). Так как (8.13) описывает процедуру накопления некоторых членов, каждый из которых представляет собой произведение, то для сокращения объема трудозатрат целесообразно однократно сформировать это произведение с последующей его корректировкой в зависимости от состояний v-x предыдущих СДГ. Пусть переменная PRO будет предназначена для формирования такого ПРОизведения, перемен­ ная VRC — для формирования Вероятности Разрыва всех прос­ тых Цепей на (v+l)-w последующем СДГ, переменная RNS —

для формирования вероятно­ сти . неисправного состояния Ребер Непосредственной Свя­ зи, а переменная SUM"— для накопления СУМмы (8.13). В исходном состоянии перемен­ ные должны иметь значения:

PRO = 1,0; RNS —l,Q\ SUM=0,

а переменная F/?5= 1,0 непо- Puc. 8.5. Сеть D{ с заданными вероят- средствбнно перед началом

костями неисправного состояния ее эле- формирования (v + l)-ro после-

130