книги / Устойчивость упругих тел при конечных деформациях

дачи. Считая цилиндрические поверхности незагруженны­ ми, из выражений (VI.46) получаем при г = R + Л гранич­ ные условия для осесимметричной задачи:

в предыдущем параграфе. Из всех возможных представле­ ний решения ограничимся одним в форме (V.15), имеющей для осесимметричной задачи вид

У меО; X = [Л^о/ (vkO + А%оКШ ) +

+ Л Й / Ш ) + А% оКШ )\ cos Y*8* (VII .38)

Подставляя решение (VII.38) в граничные условия (VII.37), после ряда преобразований получаем характери­ стический определитель в форме (VI.24) при i, / = 1, 2, 3, 4, где введены обозначения

Обозначения для klt k2 к Ь1 остаются такие же, как и в выражениях (VI.47). Для нахождения элементов второй и четвертой строк необходимо соответственно в элементах второй и третьей строк заменить знак перед е на противо­ положный. Для других представлений решения результаты можно получить аналогичным образом.

171

Для тела с потенциалом гармонического типа выражения (VI 1.39) значительно упрощаются. , •

В первой части книги было показано, что при любой по­ становке для линеаризированных задач основные соотноше­ ния в случае сжимаемого тела можно представить в виде (11.40), а входящие в него величины определить из (11.42). Заметим, что в выражениях (11.42) <р, являются функциями алгебраических инвариантов тензора деформаций Грина. Здесь, в качестве иллюстрации, покажем, как выражаются функции <jpm при постановке задач в. форме В. В. Новожи­ лова. Для упрощения положим, что девиатор тензора обоб­ щенных напряжений и тензора деформаций Грина подобны,

Таким образом, если заданы функции (1.116), определяю­ щие постановку задач в форме В. В. Новожилова при по­ добии девиаторов тензора обобщенных напряжений и тен­ зора деформаций Грина, то легко вычисляются функции фт (11.42), через которые выражаются коэффициенты линеари­ зированных соотношений. Аналогичная ситуация имеет ме­ сто и при других постановках.

§ 8. Полый цилиндр при осевой нагрузке (неосесимметричная задача)

Рассмотрим задачу предыдущего параграфа при неосе­ симметричной форме потери устойчивости. Считая цилинд­ рические поверхности незагруженными, получаем при г = = R ± h граничные условия в виде (VI.46). Величины

172

выберем в виде (V.15). Подставляя решение (V.15) и выде­

ляя в АтПи А^„ множитель у, после ряда преобразований выводим характеристический определитель в форме (VI.24), где введены обозначения

1 7 3

и пятой строк изменить знак перед е на противоположный. Необходимо отметить, что задачи, приведенные в § 7 и 9 гл. VI и § 6 и 7 гл. VII, являются частными случаями на­ стоящего параграфа. Как и в § 6 гл. VII, выводим, что на торцах цилиндра выполняются условия (VII.35). Таким об­

разом, при выбранном реше­ нии на торцах цилиндра в интегральном смысле выпол­ няются условия шарнирного опирания.

Аналогичные результаты можно получить и при дру­ гом выборе решения. Заме­ тим, что для тела с потенциа­

величины R J R 2 —(R —h)/(R-\-h) при v = 0,3 для различных форм потери устойчивости в случае тела с потенциалом гармонического типа [78]. На оси абсцисс отложена вели­ чина 100^/^л.

** *

Внастоящей главе получены характеристические уравне­ ния для ряда задач сжимаемого трансверсально-изотропно­ го тела при произвольной форме упругого потенциала. Из этих характеристических уравнений можно найти изве­ стные частные случаи для конкретной формы упругого по­

тенциала.

В работе [57] рассматривались пространственные и пло­ ские задачи в прямоугольной системе координат для тела с потенциалом гармонического типа. Числовые примеры не приводились, докритическое состояние считалось одно­ родным.

В работе [78] для тела с потенциалом гармонического типа исследованы пространственные задачи в круговой ци­ линдрической и сферической системах координат. Для задач в круговой цилиндрической системе координат рассмотрены числовые примеры, часть которых приведена в настоящей главе. Эти же примеры помещены в работах [33—35]. Сжа-

174

тие и кручение цилиндра для потенциала частного типа ис­ следованы в [43].

Вработе [90] рассмотрена устойчивость сферы под дей­ ствием поверхностей равномерной нагрузки. Материал изо­ тропный, потенциал общего вида, деформация неосесиммет­ ричная. Для шести различных случаев граничных условий получены в общем виде характеристические уравнения.

Вработе [98] исследована осесимметричная задача для полого изотропного цилиндра с потенциалом общего вида. Записаны различные представления решений и характери­ стические уравнения для различных соотношений между

величинами В случае ортотропных сжимаемых тел задачи в прямо­

угольной системе координат рассматривались в работах [83, 89], где также исследовался вопрос о возможности по­ тери устойчивости при растяжении.

Г л а в а VIII

УСТОЙЧИВОСТЬ ОДНОРОДНЫХ НЕСЖИМАЕМЫХ ТЕЛ

Рассмотрим устойчивость однородных несжимаемых тел при однородном докритическом состоянии в случае дейст­ вия «мертвых» нагрузок. В общем случае тело будем счи­ тать трансверсально-изотропным, ось изотропии которого совпадает с осью оха. На уравнения состояния никаких ог­ раничений налагать не будем, кроме требования определен­ ное число раз дифференцируемости функций, входящих в уравнение состояния. Исследования выполним в прямо­ угольной и круговой цилиндрической системе координат используя решения § 4—6 гл. V. Полученные ниже харак­ теристики уравнения справедливы для сжатия и для растя­ жения.

§ 1. Полоса при одноосной нагрузке

Рассмотрим плоскую деформацию несжимаемого тела в плоскости ХуОХъ- Пусть полоса длиной / и шириной 2Л (0 <; < < /; —h С хг С +h) загружена вдоль оси ох:

175

Принимая границы полосы (х2 — ±Л) незагруженными, получаем граничные условия при х2 = ±Л в виде (VI.11). Решение выберем в форме (V.6) при условии

а а*° — из (III.86). Из решения (V.6), (VIII.2) и соотноше­ ний (V.28), (V.30) следует, что при хх = 0 и хг = I имеют место равенства (VI 1.2), следовательно, выполняются в ин­ тегральном смысле условия шарнирного отирания. Под­ ставляя решения (V.6), (VIII.1) и (VII 1.2) в граничные усло­ вия (VI.И), находим характеристические уравнения в виде {VI.24) при *, / = 1,2 для изгибной формы потери устойчи­ вости и для потери устойчивости с образованием шейки. В случае изгибной формы потери устойчивости элементы характеристического определителя имеют следующий вид:

+ 2ai*)l} »l2 shat)2;

Для потери устойчивости с образованием шейки элемен­ ты характеристического определителя можно представить в форме

« и ('Па) = { ^'ilJ-i2r )2— fa n + ^ iflu -f- Я , 2h t a 22 — X

и им подобных можно получить результаты аналогичным образом. Если в выражениях (VIII.3) и (VI11.4) устремить а -> оо, что соответствует сколь угодно толстой полосе, то находим характеристическое уравнение (VI.,12), соответст­ вующее поверхностной неустойчивости. Таким образом, при­ ходим к выводу, что в случае сжимаемого и несжимаемого тел потеря устойчивости сколь угодно толстой полосы име­ ет характер поверхностной потери устойчивости.

176

Для неогуковского тела (тела с потенциалом типа Трелоара) выражения (VIII.3) и (VII 1.4) значительно упроща­ ются. При этом имеют место соотношения (VI. 13) и (VI. 14). Ограничимся рассмотрением случая, когда в докритическом состоянии тело находится в состоянии плоской деформации и имеют место соотношения (II 1.104), (VI. 15) — (VI. 18). Подставляя эти выражения в (VI 1.3), получаем формулы для нахождения элементов характеристического опреде­

и потери устойчивости с образованием шейки

(1 + Я4)2 ch аЯ—2 sh a — 4Я2 sh аЯ—2 ch а = 0. (VI11.6)

Если в уравнениях (VI 1.5) и (VII 1.6) устремить а-*- оо, то находим уравнение (VI. 19) для поверхностной неустой­ чивости.

Необходимо отметить, что при исследовании тела с по­ тенциалом Муни (1.99) уравнения получаются в виде (VIII.5) и (VII 1.6), причем, как видно из этих уравнений, К Рне зависит от С10 (1.98) и См (1.99).

На рис. 7 [881 приведена зависимость ЯкР от параметра

a = л —, где кривая / соответствует изгибной форме по­

тери устойчивости, а кривая 2 — потере устойчивости о образованием шейки.

Вычислим составляющую fmn вдоль орта уп вектора на-

пряжений на площадке, определяемой ортом /т в крити­ ческой состоянии, но отнесем вектор напряжений к едини­ це площади в недеформированном состоянии. В этом слу­ чае из выражений (1.49), (1.50) и (II.7) получаем

(VIII.7)

критическое напряжение или критическую силу Р = hfn.

§ 2. Полоса при двухосной нагрузке

Рассмотрим задачу предыдущего параграфа при усло­ вии, что полоса загружена в двух направлениях (оц ф Ф 0; Ой Ф 0). Будем считать внешние нагрузки «мертвы­

ми» (Pj = 0; Pi = 0). В этом случае из выражений (V.31) получаем граничные условия при х2 = ±Л:

Решение выберем в виде (V.6) и (VII 1.2). В этом решении величины т]2 и т]3 определяются из выражения (III.103),

величины aik и pift — из (11.50), а о*/ — из (III.86). Из ре­ шений (V.6) и (VII 1.2) следует, что при х, = 0 и х, = / выполняются в интегральном смысле условия шарнирного опирания. Подставляя эти решения в граничные условия (VIII.9), находим характеристические определители для изгибной формы потери устойчивости и для потери устой­ чивости с образованием шейки.

Для изгибной формы потери устойчивости и для потери устойчивости с образованием шейки элементы характери­ стического определителя имеют соответственно вид

a il(Tl2)— {(°22 + Л^Ри) т]2—[Ом + 1?\йп + и 2Я,|а22-|-

178

(III.103), получаем значения корней в виде (VI.18). Под­ ставляя выражения (VI. 15), (VI. 16) и (V.18) в характери­ стические определители с элементами (V III.10) и (V III.ll), находим характеристические уравнения в виде (VII 1.5) и (VII 1.6) [581. В результате их решения получаем значения ЯкР, которые представлены на рис. 7. Следовательно, кри­ тическое удлинение полосы не зависит, а величина крити­ ческой нагрузки зависит от того, действует одноосная или двухосная нагрузка. Для определения критической на­ грузки из (VII 1.7) и (VI. 16) находим

— — Л/ц------Ноц Якр — — (2С10 + Якр р°) /гЯКр! ,у щ

•^2= — Йи = — /сГггЯцр1— — (2С10 -}- Я^рр°) /Якр1.

Для удельной критической нагрузки, отнесенной к еди­ нице плошали недеформированного и деформированного тел, соответственно получаем

В выражениях (VIII. 12) — (VIII. 14) введен знак «ми­

Аналогичные результаты в рамках потенциала Муни об­ наружены в работе [58]. На рис. 8 и 9 показана зависимость

величин p2/pi и pi/po для различных значений параметра 2 h-j- [58]. Вывод о стабилизирующем действии р2 имеется также в книге [56].

§3. Прямоугольная пластина при одноосной нагрузке

1 8 0