книги / Начертательная геометрия

фронтальная проекции прямой параллельны оси х и каждая из проекций определяет длину отрезка. На П3 проекция прямой - точка. Эта прямая од­ новременно является горизонталью и фронталью.

Понятие о следах прямой

Точки пересечения прямой линии с координатными плоскостями проекций называют следами прямой. Соответственно точку пересечения прямой с горизонтальной плоскостью проекций П1 называют горизонталь­ ным следом, а с фронтальной плоскостью проекций П2 - фронтальным следом.

На рис. 50 прямая I пересекает горизонтальную плоскость проекций П] в точке М, а фронтальную плоскость П2 в точке N. Точка М имеет ап­ пликату гм = 0, т.е. след М совпадает с Мь аМ2 лежит на оси х.

Точка N прямой имеет ординату yN= 0, след N совпадает с N2, a N\ лежит на оси х.

Построение следов на эпюре показано на рис. 51.

Чтобы найти горизонтальный след М, необходимо найти сначала его фронтальную проекцию М2 как точку пересечения фронтальной проекции прямой /2 с осью х. Горизонтальная проекция М\ совпадает с горизонталь­ ным следом Ми лежит на продолжении 1\.

Чтобы найти фронтальный след N, необходимо найти сначала его го­ ризонтальную проекцию N\ как точку пересечения 1\ с осью х. Фронталь­ ная проекция следа N (N2) будет лежать на продолжении /2 и совпадает с фронтальным следом N.

Если прямая параллельна плоскости проекций, то следом ее на этой плоскости является несобственная точка.

Натуральная длина отрезка прямой и углы его наклона к плоскостям проекций

На эпюре натуральная длина отрезка прямой и углы его наклона видны только в случае его частного расположения относительно плоско­ стей проекций.

Если же прямая занимает общее положение относительно плоско­ стей проекций, то для нахождения натуральной величины отрезка этой прямой и углов его наклона к плоскостям проекций можно использовать соответствующее свойство ортогонального проецирования.

Используя это свойство, на плоскости проекций ГГ (рис. 52), можно построить прямоугольный треугольник, один катет которого - проекция отрезка АВ на плоскости ГГ (А'В'), а другой - разность расстояний концов отрезка от плоскости проекций (В'В0 = ВК). Гипотенуза такого треугольни­ ка (Л'В0) будет равна натуральной величине отрезка. Из рис. 52 видно так­ же, что угол B’A’BQравен углу ВАК и будет определять угол наклона пря­ мой к плоскости Пь

Аналогичные построения можно выполнить на эпюре прямой (рис.53).

Принимаем плоскость П' за Щ (горизонтальную плоскость проек­ ций). На горизонтальной проекции прямой, как на катете, строим прямо­ угольный треугольник. Второй катет этого треугольника равен разности расстояний концов отрезка от П1 (zB- ZA). В результате получаем прямо­ угольный треугольник A\B\BQ, гипотенуза которого равна натуральной ве­ личине отрезка АВ, а угол а есть угол наклона отрезка к горизонтальной плоскости проекций П*.

В 2

Аналогичные построения можно выполнить, принимая плоскость ГГ за фронтальную плоскость проекций П2 (рис. 54).

Такой прием нахождения натуральной величины отрезка прямой об­ щего положения и углов его наклона к плоскостям проекций называют способом прямоугольного треугольника.

Взаимное расположение двух прямых

Две прямые в пространстве могут пересекаться, быть параллельны друг другу или скрещиваться.

Пересекающиеся прямые. Прямые линии, имеющие общую точку, называются пересекающимися.

Если прямые пересекаются в пространстве, то их одноименные про­ екции также пересекаются, и точки пересечения проекций лежат на одной линии связи. Для подтверждения пересечения прямых на чертеже бывает достаточно двух проекций (рис. 55). Однако, если хотя бы одна из прямых является линией уровня, то одной из двух проекций должна быть проекция на ту плоскость, которой параллельна эта линия уровня (рис. 56).

Параллельные прямые. Прямые линии, пересекающиеся в несобст­ венной точке, называются параллельными.

Если две прямые параллельны в пространстве, то их одноименные проекции тоже параллельны. Для подтверждения параллельности прямых т и п достаточно параллельности двух одноименных проекций (рис. 57). Исключение составляют некоторые прямые частного положения. Напри­ мер, для подтверждения параллельности профильных прямых необходимо проверить параллельность всех трех одноименных проекций прямых. Так, показанные на рис. 58 профильные прямые CD и АВ после построения профильной проекции оказываются не параллельными друг другу.

X

Скрещивающиеся прямые. Прямые, не пересекающиеся и не парал­ лельные между собой, называются скрещивающимися. На рис. 59 показана пространственная модель таких прямых.

Если прямые скрещиваются в пространстве, то на эпюре их одно­ именные проекции могут пересекаться, но точки их пересечения не лежат на одной линии связи (не являются проекциями одной точки) (рис. 60). Так, точка пересечения фронтальных проекций скрещивающихся прямых т и п является фронтальной проекцией двух точек М и К, принадлежащих соответственно прямым т ип . Эти точки не совпадают, так как имеют раз­ ные ординаты.

Аналогично, точка пересечения горизонтальных проекций т\ и щ

является горизонтальной проекцией двух точек Е и F, имеющих разные аппликаты.

Точки пересечения одноименных проекций скрещивающихся пря­ мых являются конкурирующими. Их видимость на эпюре определяют, как и видимость любых конкурирующих точек, по величине удаления от плос­ кости, на которой их проекции совпадают. Невидимые точки условно за­ ключают в скобки. »

Наряду с точкой и прямой, плоскость также относится к основным базовым понятиям в начертательной геометрии.

Плоскость является простейшей поверхностью. Между декартовыми координатами принадлежащих ей точек существует зависимость, аналити­ чески выраженная в форме многочлена первой степени:

Ах + By + Cz + D = 0,

т.е. плоскость - поверхность первого порядка.

Кинематическое образование плоскости, как простейшей поверх­ ности, может быть представлено (рис. 61) перемещением прямой т (образующей) параллельно направ­ лению s по неподвижной прямой п (направляющей).

Положение плоскости в про­ странстве однозначно определяется

тремя различными точками (А, В, С), не принадлежащими одной прямой. Поэтому для задания плоскости на чертеже достаточно указать проекции:

-трех различных точек, не принадлежащих одной прямой (рис.62 а);

-прямой и точки вне ее (рис. 62 б); двух прямых, пересекающихся в собственной (рис. 62 в) или в -не­

собственной (рис. 62 г) точке; - отсека плоской фигуры (рис. 62 д).

Рис. 62

В некоторых случаях бывает целесообразным задавать плоскость прямыми, по которым эта плоскость пересекает плоскости проекций. Та­ кой вариант задания плоскости называют заданием плоскости следами.

На рис. 63 показана плоскость Р и ее следы на плоскостях проекций. При этом различают:

Pi - горизонтальный след плоскости Р; Рг - фронтальный след плоскости Р; Р3- профильный след плоскости Р.

Точки Рх> PY, Pz, в которых пересекаются два следа, называют точ­ ками схода следов. Точки схода следов всегда располагаются на осях про­ екций. На рис. 64 представлен эпюр плоскости, заданной следами.

Всегда можно перейти от одного вида задания плоскости к любому другому. Например, на рис. 65 показано, как от задания плоскости двумя пересекающимися прямыми (а П b) можно перейти к заданию ее следами (Рь Р2). Для этого достаточно найти горизонтальные следы М и М двух заданных прямых, а также фронтальные следы этих прямых N и N'. Соеди­ нив проекции Mi и М\, а также N2и N'2, получим соответственно горизон­ тальный (Pi) и фронтальный (Р2) следы плоскости Р.

Плоскость общего положения

На приведенных выше примерах заданная плоскость занимает про­ извольное положение по отношению к плоскостям проекций (углы накло­ на этой плоскости к плоскостям проекций отличны от 0° к 90°). Такая плос­ кость называется плоскостью общего положения.

На эпюре такой плоскости не сохраняются метрические характери­ стики плоской фигуры и не видны углы наклона ее к плоскостям проекций.

Частные случаи расположения плоскостц

Кроме рассмотренного общего случая плоскость по отношению к плоскостям проекций может занимать следующие положения:

- перпендикулярное одной из плоскостей проекций (проецирующие плоскости);

- параллельное одной плоскости проекций (плоскости уровня).

Например, на рис. 66 горизонтально-проецирующая плоскость, за­ данная двумя следами - горизонтальным (Pi) и фронтальным (Р2), может быть задана только одним следом - Рь Именно этот след несет всю ин­ формацию о заданной плоскости.

Проецирующие плоскости на эпюре удобнее задавать следами. При этом след (проекция), обладающий собирательным свойством, несет ин­ формацию об углах наклона проецирующей плоскости к неперпендику­ лярным ей плоскостям проекций (рис. 66 б - 68 б). Два других ее следа перпендикулярны той же плоскости проекций, какой перпендикулярна са­ ма плоскость. Эти два следа не играют важной роли в определении плос­ кости, поэтому на безосном чертеже проецирующие плоскости обычно за­ дают одним следом - линией пересечения только с той плоскостью, кото­ рой они перпендикулярны.

Рис. 68

Плоскости уровня

Плоскости, параллельные какой-либо плоскости проекций, называют плоскостями уровня. Различают три типа таких плоскостей:

-горизонтальная плоскость уровня, параллельная П1 (рис. 69);

-фронтальная плоскость уровня, параллельная П2 (рис. 70);

-профильная плоскость уровня, параллельная П3(рис.71). Характерной особенностью таких плоскостей является то, что пло­

ские фигуры, расположенные в них, проецируются без искажения на ту плоскость проекций, которой плоскости уровня параллельны. Две другие проекции (следы) плоскости уровня - прямые, параллельные соответст­ вующим осям проекций. На безосном чертеже обычно задают плоскости уровня одним (любым) следом.