книги / Начертательная геометрия
..pdfВпроцессе решения многих задач приходится задавать точки на по верхности изучаемых предметов.
Внекоторых случаях, намечая проекции точки на поверхности, не обходимо указывать видимость данной точки на той или иной проекции. Такое указание делают путем заключения в скобки невидимой проекции точки. На данной (как и любой торсовой) поверхности точки могут быть построены при помощи проходящих через них прямолинейных образую щих.
Так, на рис. 165 показано построение фронтальной проекции К2 точ ки К, лежащей на поверхности с ребром возврата, по заданной горизон тальной К\. Для этого через точку К\ проведена касательная ахк проекции
Ш[ направляющей т. Далее через фронтальную проекцию Аг полученной точки А на ребре возврата т проведена фронтальная проекция а2 касатель ной а, на которой расположена точка К. Линия связи, проведенная из К\, определяет искомую проекцию К2.
В некоторых случаях недостающую проекцию точки строят при по мощи произвольной секущей плоскости, с расчетом, что точка должна быть в этой плоскости.
ill
Коническую поверхность можно считать частным случаем поверх ности с ребром возврата - при вырождении ребра возврата т в точку - вершину (5). В этом случае все образующие поверхности будут пересе каться в собственной.точке S и поверхность определяется как коническая.
Для задания конической поверхности недостаточно иметь ребро воз врата (точку) - поверхность останется еще неопределенной. В этом случае вводится дополнительная линия, заведомо принадлежащая задаваемой по верхности, и эта линия называется направляющей (п).
Таким образом, коническая поверхность образуется движением пря мой (а), проходящей через неподвижную точку (5) и пересекающей кри вую (п) - направляющую (рис. 166).
Если направляющая п - замкнутая линия, то поверхность называется замкнутой (рис. 167).
Рис. 166
Коническая поверхность может иметь две полости (см. рис. 166), ес ли образующие продолжены за вершину.
В случае замены кривой направляющей п ломаной линией поверх ность называются пирамидальной (рис. 168). Поверхности с замкнутой ломаной направляющей называются еще многогранниками.
Аналитически уравнение конической поверхности имеет вид:
У _ г - / ( * ,)
XS~*A y S Ч - / ( х л У
где х, у, z —текущие координаты точки А, выбранной на направляющей кривой п, имеющей уравнение z =/ (x); xs, ys, - координаты вершины S.
Определитель конической поверхности можно записать следующим образом: П (5, а, п) [a 3 S, а П л].
На эпюре Монжа коническая поверхность однозначно задается про екциями ее образующей а (аи а2), направляющей п (иь п2) и вершины S (Si, S2) (рис. 169).
Для придания наглядности и выразительности изображению вычер чивают очерк поверхности и показывают наиболее важные линии и точки на поверхности.
Рис. 170
Чтобы построить очерк конической поверхности, следует на каждой плоскости проекций отметить граничные образующие, заключающие ме жду собой область, внутри которой находится проекция поверхности. Пример построения очерка замкнутой конической поверхности (Q), задан ной определителем (рис. 170 а), показан на рис. 170 б, в. Для построения
Точки на поверхности конуса могут быть построены при помощи проходящих через них образующих. На рис. 172 дан пример построения фронтальной проекции точки N, принадлежащей конической поверхности и заданной проекцией N\, при условии, что эта точка видима на плоскости Пь ход построений указан стрелками.
Пример построения очерка прямого кругового конуса, ось которого параллельна плоскости П2 (но не _L П1), приведен на рис. 173.
Фронтальный очерк задан, это равнобедренный треугольник A2S2B2. Горизонтальный очерк состоит из части эллипса и двух касательных к не му прямых. Эллипс можно построить по двум его осям: малой AiB( и большой, равной по своей величине диаметру окружности основания ко нуса. Для определения прямых S\D\ и S\D \, касательных к эллипсу, ис пользуется произвольная сфера, вписанная в конус.
Построение начинают с отыскания точек К2 и IC2 - фронтальных проекций случайных точек искомых касательных. Эти точки получаются при пересечении фронтальных проекций окружности касания конуса и сферы и экватора вписанной сферы. Далее находят проекции точек К\ и К\ на горизонтальной проекции экватора. Соединяют полученные точки К\ и К\ с точкой S\. На этих прямых определяют и точки D и D', горизонталь ные проекции которых (D\ и D\) есть точки касания прямых с эллипсом.
Рис. 172 |
Рис. 173 |
На эпюре Монжа цилиндриче ская поверхность однозначно задает ся проекциями определителя: на правляющей п (/71, /72). образующей а (а а2). направлением переноса об разующей / (/), /2) (рис. 176).
Для наглядности изображения цилиндрической поверхности на чертеже обычно строят очерки за данной поверхности. Рассмотрим пример построения очерка цилинд рической поверхности, заданной оп ределителем (рис. 177 а).
Для построения фронтального очерка поверхности (рис. 177 б) про водят крайние образующие АА' и ВВ\ которые на Я2 являются очерковыми образующими и служат границей видимости поверхности. Видимость проверяют по горизонтальной проекции окружности А\С\В\ (видимость определяют после построения горизонтального очерка). Образующие АА\ СС, ВВ’поверхности на Г12 видны.
а)
Рис. 177
Для построения горизонтального очерка проводят две крайние на FTi образующие СС и DD' Точки касания С\ и D\ определяют, проводя радиу сы окружности, перпендикулярные касательным. Образующие СС и DD' являются очерковыми на П| и служат границей видимости поверхности, а
на ГЬ - это промежуточные образующие. Видимую часть поверхности на П1 можно определить по фронтальным проекциям точек А и В. При взгляде сверху А2 не закрыта, а В2 закрыта частью поверхности. Соответственно на П] проекция Ai - видимая, аВ{- невидимая.
Следовательно, часть окружности C\A\D\ на П1 считается видимой и вместе с ней видима часть поверхности, образованная образующими,^пере секающими эту часть окружности. Часть окружности C\B\D\ наП1не видна.
Цилиндрические поверхности, как и конические, различают по виду нормального сечения (нормальным сечением цилиндрической поверхности называют сечение, плоскость которого перпендикулярна образующим по верхности). Если нормальным сечением является неопределенная геомет рическая линия, то это цилиндр общего вида.
Выделим случаи, когда нормальное сечение цилиндрической по верхности представляет собой кривую второго порядка. По виду получен ной кривой цилиндр может быть эллиптическ::м (в частном случае круго вым), параболическим, гиперболическим. Данные цилиндрические по верхности относятся к числу поверхностей второго порядка. На рис. 178 показан эллиптический цилиндр, образующие которого перпендикулярны горизонтальной плоскости проекций.
Рис. 178 |
Рис. 179 |
На цилиндрической поверхности точки строят при помощи прохо дящих через них прямолинейных образующих. Так, на рис. 179 показано построение горизонтальной проекции М\ точки М, лежащей на цилиндри
ческой поверхности, по заданной фронтальной М2. Построения показаны стрелками.
На комплексном чертеже задачи решаются проще, если цилиндриче ские и призматические поверхности занимают проецирующее положение, т.е. перпендикулярное одной из плоскостей проекций (см. рис. 178). При таком положении поверхности одна из проекций образующей вырождается в точку, а проекция поверхности - в линию. Вырожденная проекция по верхности, подобно проецирующей плоскости, обладает «собирательным свойством»: проекция любой линии, расположенной на поверхности, на ходится на вырожденной проекции поверхности. На рис. 180 а, б показаны случаи, когда горизонтальная проекция поверхности «собирает» на себя все горизонтальные проекции точек, расположенных на поверхности; на рис. 180 в, г - случаи, когда фронтальные проекции поверхностей «соби рают» на себя все фронтальные проекции точек, расположенных на по верхности. Принадлежность точек поверхности определяется в этом случае принадлежностью проекций точек вырожденной проекции поверхности.
а) |
б) |
в) |
г) |
|
|
Рис. 180 |
|
Поверхности с плоскостью параллелизма (поверхности Каталана)
Эти поверхности относятся к группе линейчатых неразвертываемых поверхностей с двумя направляющими. Характерным признаком поверх ностей с плоскостью параллелизма является то, что их прямолинейные об разующие являются скрещивающимися прямыми, так как при формирова нии этих поверхностей образующие, скользящие по двум направляющим, должны быть параллельны некоторой заданной плоскости. В этом случае все образующие будут пересекаться с плоскостью параллелизма в несобст венных точках, множество которых определяют несобственную прямую; эту прямую следует рассматривать как третью направляющую линейчатой поверхности.
Ч асто поверхности с плоскостью параллелизма назы ваю т поверхно стями Каталана (по имени белы инокою учено! о-математика Е. Каталана. исследовавш его свойства л и х поверхносюй). Определитель для группы поверхностей Каталана имеет вид: Ф (/?;, п, I , а) |а П ш, л; и III], где т, п - направляю щ ие линии; а - образую щ ая, L - плоскость параллелизма, в ка честве которой можно выбрать любую произвольную плоскость или одну из плоскостей проекций. Для задания поверхности этой группы на эпюре М онж а достаточно указать проекции направляющих т и п и положение плоскости параллелизма. В зависимости от формы направляю щ их и их расположения в пространстве можно получить различные поверхности этой группы.
Рассм отрим отдельные виды линейчатых поверхностей с плоскостью параллелизма.
Цилиндроиды
П оверхность, называемая цилиндроидом, образуется в том случае, когда обе направляю щ ие т и п - кривые линии. На рис. 181а дано нагляд ное изображение цилиндроида. Для получения проекционного чертежа,
обладаю щ его |
наглядностью, обычно указы ваю т проекции нескольких |
прямолинейных образую щ их. |
|
Так как заданная плоскость параллелизма является горизонтально- |
|
проецирую щ ей |
плоскостью Е, то построение проекций образую щ их |
(см. рис. 1 8 1 6 ) |
начинают с горизонтальной плоскости проекций, на кото |
рой горизонтальны е проекции движущейся образую щей а параллельны го ризонтальному следу Ei плоскости параллелизма Е. Ф ронтальные проек ции образую щ и х строят по двум точкам пересечения образую щ ей с на правляю щ ими т и п . Для построения точки, расположенной на поверхно сти, использую т образую щ ую (или произвольную линию поверхности, см. рис. 183).
б)
Рис. 181