книги / Механика зернистых сред и её применение в строительстве
..pdfРис. 15.14. Сравнение теоретических результатов с опытными данными И. С. Федорова
а — опытная кривая с учетом собственного веса грунта; б — то же, без учета веса грунта; в— теоретическая кривая автора; г — кривая тео рии упругости
Рис. 15.15. Сравнение теоретических результатов с опыт ными данными Г. И. Покровского и И. С. Федорова
1 — опытная |
кривая; 2 — кривая |
от собственного веса |
грунта; |
||
3 — кривая |
теории |
упругости с учетом собственного веса |
грунта; |
||
4 _ теоретическая |
кривая |
автора |
без учета собственного веса |
||
грунта; |
5 — то |
же, с |
учетом |
собственного веса грунтя |
Пользуясь этим выражением, а также рис. 15.18, по точке с коор
динатами |
= 2; — |
= 0,7 вычислим коэффициент v из |
уравне |
|||||
ния |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
°,7 , - |
i |
i [ 1- „ |
|
P ( - 1 i |
r |
) ] + |
|
|
+ ^ . ( |
, - |
2, 2. [ , |
- |
е > р ( _ |
^ |
) ] ) ; |
(.5 .42, |
получим v = |
0,125. |
|
|
|
|
|
|
|
Тогда уравнение (15.41) примет вид
№43)
По этой формуле для нагрузок, изображенных на рис. 15.17, построены кривые на рис. 15.18; эти кривые с глубиной сливаются в одну кривую, отмеченную цифрой 4. Сравнение этих кривых с опытной кривой 2 Д. С. Баранова для рыхЛ0Г0 песка’ указывает на их сходимость. По формуле (15.43) прерывистой линиеи
На рис. 15.20 приведены показания динамометров, расположен ных на большей глубине; по опытным точкам относительно кривой, построенной на основании статистической (дискретной) теории, также видно, что теоретические результаты почти соответствуют опытным данным.
§ 13. СРАВНЕНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ РЕЗУЛЬТАТОВ С ОПЫТНЫМИ ДАННЫМИ РАЗЛИЧНЫХ ИССЛЕДОВАТЕЛЕЙ
Воспользуемся графиком, построенным В. Ф. Бабковым [84]; на этом графике, кроме экспериментальных, имеются теоретические кривые, построенные по формулам теории упругости и теории Фрелиха для нагрузки, распределенной по площади круга равномерно
ипо параболическому закону.
Всоответствии с этим теоретические кривые по разработанной автором теории также построены для нагрузки, распределенной по площади круга равномерно и по параболическому закону для v =
=0,125. В табл. 15.30 приведены результаты вычислений.
|
|
Таблица 15.30 |
Отношение |
Напряжения ц % от среднего давления при нагрузке |
|
глубины к |
равномерной |
параболической |
радиусу |
||
0 |
100 |
200 |
1 |
98 |
151 |
- 2 |
63,2 |
73,6 |
3 |
35,9 |
39 |
4 |
22 |
23 |
5 |
14,8 |
15,1 |
6 |
10,5 |
11 |
7 |
7,8 |
8,2 |
По данным табл. |
15.30 на графике (рис. |
15.21) нанесены теоре |
тические кривые (V — для нагрузки, равномерно распределенной по площади круга; VI — для нагрузки, распределенной на площади круга по параболическому закону).
Кривая I построена по формуле теории упругости для нагрузки, равномерно распределенной по площади круга. Кривая II построена также по формуле теории упругости, но для нагрузки, распределен ной на площади круга по параболическому закону.
Кривая / / / построена по формуле Фрелиха для нагрузки, рас пределенной равномерно по площади круга при коэффициенте кон центрации напряжений ^ = 6. Кривая IV также построена по фор муле Фрелиха при уц = 6, но для нагрузки распределенной на пло щади круга по параболическому закону.
Из сравнения видно, что теоретические кривые автора более со
ответствуют экспериментальным данным, чем кривые теории упру гости и теории Фрелиха.
§ 14. СРАВНЕНИЕ ВЕРТИКАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
от в е р т и к а л ь н о й с о средо то чен н о й н а г р у з к и с д а н н ы м и
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
По теории упругости вертикальные напряжения от сосредоточен ной нагрузки в пространственной задаче
_3Р_______ 1
(15.44)
~м - я г
По теории дискретного распределения напряжений вертикаль ные напряжения от той же нагрузки
|
° ‘ = |
^ |
е х р ( - ^ ' а) - |
( 15-45> |
Преобразуем эти выражения |
|
|||
|
g*ynp |
|
(15.46) |
|
|
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2г_ |
1 |
^ ехр [' |
(15.47) |
|
Р |
|||
|
|
|||
где |
Р — сосредоточенная |
нагрузка; |
|
|
z\ |
г — цилиндрические координаты; |
|
||
|
v — коэффициент, характеризующий взаимную связь частиц. |
Правые части выражений (15.46) и (15.47) являются функциями отношения координат рассматриваемой точки; если выделить ка кую-либо горизонтальную плоскость и анализировать только пра вые части этих выражений, то можно установить характер измене ния напряжений и угол, под которым распределяется основная
часть внешнего давления (рис. |
15.22). |
|
по формулам |
||
Для |
решения этой задачи составлена табл. 15.31 |
||||
(15.46) |
и (15.47) |
|
|
Таблица 15.31 |
|
|
|
|
|
||
|
az , |
V, равном |
|
° 2 упр |
|
Г |
— |
2а ПРИ |
|
||
Z |
0,125 |
0,167 |
0,25 |
0,33 |
Р |
|
|
||||
0 |
1,2724 |
0,9541 |
0,6362 |
0,4775 |
0,4775 |
0,1 |
1,2228 |
0,9259 |
0,6236 |
0,4702 |
0,4657 |
0 ,2 |
1,0847 |
0,8462 |
0,5873 |
0,4497 |
0,4029 |
0 ,3 |
0,8877 |
0,7284 |
0,5314 |
0,4178 |
0,3849 |
0 ,4 |
0,6708 |
0,5904 |
0,4620 |
0,3756 |
0,3294 |
0 ,5 |
0,4681 |
0,4507 |
0,3558 |
0,3298 |
0,2733 |
1.0 |
0,0233 |
0,0475 |
0,0861 |
0,1065 |
0,0844 |
1,5 |
0,0001 |
0,0011 |
0,0071 |
0,0164 |
0,0251 |
2 ,0 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0001 |
0,0012 |
0,0085 |
2 ,5 |
0 |
0 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0034 |
2,59 |
0 |
0 |
0 |
0,0000 |
0,0029 |
4,91 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0,0001 |
Последнее значение величины v = 0,33 выбрано с таким расче том, чтобы при г = 0 по формуле (15.47) получить такие же значе ния напряжений по линии действия силы, как и по формуле (15.46). Правая часть обоих формул в этом случае равна 0,4775.
Из сопоставления двух крайних столбцов табл. 15.31 видно, что формула (15.47) по сравнению с формулой (15.46) дает большую концентрацию напряжений к линии действия силы. Так, при
- j - > 1,5 величины, вычисленные по формуле (15.47), больше ве
личин, вычисленных по формуле (15.46), а при > 1,5 — наобо
рот. При -j- > 2 величины, вычисленные по формуле (15.47), по
сравнению с данными последнего столбца настолько малы, что их практически можно приравнять к нулю. Таким образом, давление в грунте распределяется под некоторым углом к линии действия нагрузки.
Из анализа данных табл. 15.31 вытекает, что при уменьшении коэффициента v (что соответствует уменьшению связности частиц грунта)' происходит еще большая концентрация напряжений к ли нии действия нагрузки по сравнению с результатами, полученными по теории упругости.
Произведем теперь сравнение напряжений для плоской задачи. В теории упругости вертикальные напряжения от сосредоточен
ной нагрузки
(15.48)
По теории дискретного распределения напряжений вертикаль ные напряжения
(15.49)
После преобразований получим
(15.50)
' J +ШТ
(15.51)
По данным формул (15.50) и (15.51) построена табл. 15.32.
Из анализа этой таблицы видно, что выводы для пространствен ной и плоской задач аналогичны. Кроме того, при равенстве напря жений по линии действия нагрузки в пространственной задаче
|
|
|
|
Таблица |
15.32 |
|
X |
|
°г |
при V, равном |
|
Qz |
|
|
-jj- z |
|
- р - г по |
|||
г |
|
|
|
|
теории упру |
|
|
0,125 |
0,167 |
0,25 |
0,33 |
гости |
|
0 ,0 |
1,128 |
0,9768 |
0,7976 |
0,691 |
0,636 |
|
0,1 |
1,084 |
0,9479 |
0,7818 |
0.6S04 |
0,624 |
|
0 ,2 |
0,9616 |
0,8663 |
0,7363 |
0,6508 |
0,588 |
|
0 ,3 |
0,787 |
0,7457 |
0,6663 |
0,6046 |
0,536 |
|
0 ,4 |
0,5947 |
0,6044 |
0,5792 |
0,5436 |
0,473 |
|
0 ,5 |
0,415 |
0,4614 |
0,4837 |
0,4773 |
0,406 |
|
1,0 |
0,0207 |
0,0486 |
0,1079 |
0,1541 |
0,159 |
|
1,5 |
0,0001 |
0,0011 |
0,0089 |
0,0237 |
0,0601 |
|
2 ,0 |
0,00001 |
0,00002 |
0,0002 |
0,0017 |
0,0254 |
|
2 ,5 |
0 |
0 |
0,00003 |
0,00006 |
0,0121 |
|
2,5 9 |
0 |
0 |
0 |
0,00003 |
0,0107 |
|
4,91 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0,001 |
|
величины напряжений в плоской задаче, |
вычисленные по формуле |
|||||
(15.49), |
больше величин, вычисленных |
по формуле |
(15.48). |
Это |
говорит о том, что введением коэффициента концентрации напря жений в формулы теории упругости не может быть решен вопрос о распределении напряжений в зернистой среде, так как для раз личных нагрузок этот коэффициент будет различным.
Для подтверждения сказанного рассмотрим следующую задачу. Положим, что действительное распределение вертикальных напря жений в зернистой среде от сосредоточенной нагрузки выражается уравнением (15.45). С другой стороны, по формуле Фрелиха
(15.52)
2K Z 2 t( yу zу 2++т r* ) ” ’
где у] — коэффициент концентрации напряжений. Приравнивая эти выражения при г = 0, получим
Р_ Т)Р
2тiz2v |
2тсг 2 |
|
откуда |
|
|
4 |
= |
(15.53) |
" Г " - |
||
Положим, далее что (рис. |
15.22) к массиву приложены две со |
средоточенные силы Р, расположенные на небольшом расстоянии друг от друга.
Определим величину напряжения по линии приложения равно
действующей по формуле (15.45) |
|
|
|
|||
о |
р |
exp |
( |
2vz2 )• |
(15.54) |
|
" Z 2v |
||||||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
где rx — удаление силы Р от точки приложения равнодействующей.