книги / Механика зернистых сред и её применение в строительстве
..pdfv — коэффициент распределительной способности грунта (ко эффициент бокового давления);
h — некоторая постоянная.
Если нагрузка задана уравнением (15.1), то распределение на
пряжений выразится |
зависимостью |
|
|
|
о |
= |
----- - ------ ехр |
\---------- ------- 1. |
(15.2) |
2 |
2vr. (/l2-J- Z2) v |
L 2v № + z2) J |
' |
Поскольку нагрузка при проведении экспериментов передава лась на штамп, то представим ее через среднее давление на штамп
|
P = P 0* R \ |
(15.3) |
где р0 — среднее давление на штамп в кг/см2\ |
|
|
R — радиус штампа в см. |
|
|
После подстановки выражения (15.3) в (15.2), получим |
|
|
„ - |
Ро** |
(15.4) |
2 |
2 v (h2+ г2) -ехр [ 2-. (/>» + *») ] - |
Разделив правую и левую части выражения (15.4) на среднее
давление на штамп, получим |
|
|
|
|
= __ Я2 |
•ехр |
(15.5) |
|
2v (h2+ z2) |
||
Ро |
r L |
2v (h2+ z2) J |
откуда при г = 0 получим выражение для вертикальных напряже ний по оси действующей нагрузки
|
Jzn |
R2 |
|
|
Р, |
2 „ „ + 2«, ' |
С 5'6) |
Выражением (15.6) воспользуемся для определения величины h. |
|||
|
|
з |
3, а для глубины 30 см |
Из опытов для глубины 15 см имеем —- = |
|||
|
|
Р о |
|
= 1; на основании |
выражения (15.6) |
имеем |
|
Р о |
|
Зг |
|
|
о |
(15.7) |
|
|
II о со |
||
|
|
2v (h2+ 152) |
|
|
100 = |
R' |
(15.8) |
|
|
2v (h2-f 302) |
|
выражение |
(15.7) |
на (15.8), |
получим |
|
3 _. |
h2+ 302 |
(15.9) |
|
|
h2+ 152 |
|
|
|
|
|
откуда |
|
|
|
|
|
10,5 см. |
(15.10) |
На основе выражений (15.5), (15.6), (15.7), (15.8) и (15.10) получим уравнения для построения кривых распределения напряжений
на глубине 15 и 30 см:
п\
|
|
|
|
|
|
l*±jL** = 300 ехр | — |
||||||
|
|
|
|
|
|
----------------- 1 ^ |
300 ехр (— |
|||||
|
|
|
|
|
|
2v (10,52+ 15а) J |
|
\ |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
); |
|
(15.11) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2v337 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Р о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
« 1 ° ° ехр(— |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(15.12) |
|
|
|
|
|
|
|
В |
полученных |
формулах |
||||
|
у |
|
\ |
|
|
остается |
определить |
коэффи |
||||
|
|
|
|
циент |
v. |
Для |
этого прирав |
|||||
|
20 |
10 |
10 |
20 |
30 40 сн |
няем одну из ординат экспе |
||||||
|
Расстояния |
в |
сн от |
оси |
штампа |
риментальной кривой к выра |
||||||
Рис. 15.1. |
Сравнение теоретических ре |
жению |
(15.11) |
или |
(15.12). |
|||||||
Целесообразно выбирать орди |
||||||||||||
зультатов |
с опытными данными Илли- |
|||||||||||
нойского университета |
|
нату ближе к оси действия на |
||||||||||
а — для |
z = 15 с м \ |
б |
— для |
г = 30 гм |
грузки, т. к. при этом относи |
|||||||
|
|
|
|
|
|
тельная ошибка будет меньше. |
||||||
Возьмем ординату, расположенную в 10 см от оси нагрузки для |
||||||||||||
глубины |
15 см. Эта ордината равна |
116, тогда |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
116 = 300 ехр I------—— ] , |
|
|
|
(15.13) |
|||||
|
|
|
|
|
* \ |
2v-•337 ); |
|
|
|
|
||
откуда |
|
|
|
|
v^0,15 . |
|
|
|
|
(15.14) |
Следовательно, выражения (15.11) и (15.12) можно представить так
- ^ - |
= 300 ехр I— — |
V, |
|
|
Таблица 15.2 |
||
Ро |
|
^ V |
104 |
/ |
|
= 15 |
ог = 30 |
|
|
|
(15.15) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
= 100 ехр (----- |
|
|
Значение p Q |
|||
Р о |
|
|
3 0 3 |
) |
|
|
|
Вычисленные |
по |
(15.16) |
5 |
236 |
92,31 |
||
формулам |
10 |
116 |
73 |
||||
(15.15) |
и (15.16) |
величины |
для |
20 |
6 ,7 |
28,65 |
|
разных |
значений |
ог |
приведены |
30 |
0,048 |
5,84 |
в табл. 15.2.
По данным табл. 15.2 на рис. 15.1 прерывистой линией нанесены теоретические кривые. Как видно из рисунка, теоретические кривые
достаточно хорошо согласуются с экспериментальными. Для глу бины 15 см наибольшие расхождения имеются лишь для малых на пряжений. Причиной этого могут быть: произвольность выбора характера распределения давления по подошве штампа при построе нии теоретических кривых, а также большие относительные погреш ности экспериментальных данных при измерении относительно ма лых величин.
§ 3. СРАВНЕНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ РЕЗУЛЬТАТОВ С ОПЫТНЫМИ ДАННЫМИ ШТЕЙНЕРА И КИКА
Для сравнения используем данные, приведенные В. Ф. Бабко вым [84] в табл. 15.3.
|
<0 А |
|
|
в 3 |
|
в |
о т |
S 3 |
в |
5 в |
в л |
а |
||
л |
Ч S |
| в |
о |
л л |
|
£ |
а н |
О ч |
п э |
Н о |
|
1 |
30,97 |
8 |
2 |
30,97 |
13,2 |
3
а Осадкг штамп;
1,5
2 ,0
|
|
|
|
|
|
|
Таблица |
15.3 |
||
|
Давление на поршень в к г на расстоянии от оси |
|
||||||||
|
|
|
|
штампа в с м |
|
|
|
|
||
0 |
|
|
6 |
8 |
10 |
12 |
14 |
16 |
18 |
20 |
3 ,0 |
2,3 |
1,0 |
0 ,4 |
0,1 |
0 ,0 |
_ |
_ |
_ |
_ |
_ |
1,2 |
— |
0 ,7 |
0 ,3 |
0 ,4 |
0 ,3 |
0 ,2 |
0 ,2 |
0,1 |
0,1 |
0,1 |
Учитывая, что радиус штампа, через который передавалась на грузка, равнялся 5 см, а радиус поршня 1,5 см, составим ту же таб лицу в относительных величинах (табл. 15.4).
|
SiL |
ш |
|
в |
<и2 |
* |
£ |
5 я >, |
|||
о. |
Средне давлен! штамп! |
в |
в а |
S |
О 5 в |
||
|
|
g в ес |
|
|
|
°<о Я |
|
1 |
0,394 |
|
1,6 |
2 |
0,394 |
2,64 |
|
|
|
|
|
|
|
Таблица |
15.4 |
||
|
Напряжение в % от среднего давления на штамп |
|
||||||||
|
|
на расстоянии в долях от радиуса штампа |
|
|
||||||
0 |
0.4 |
0,8 |
1.2 |
1.6 |
2 |
2,4 |
2.8 |
3,2 |
3,6 |
4 |
108 |
82 |
36 |
14 |
3,6 |
0 |
_ |
_ |
_ |
_ |
_ |
4 3 ,2 |
— |
26 |
10,8 |
14,4 |
10,8 |
7 ,2 |
7 ,2 |
5,4 |
5 ,4 |
0 |
По данным табл. 15.4 на рис. 15.2 прерывистыми линиями по строены кривые, а сплошными линиями показаны теоретические кривые для нагрузки, распределенной по параболе на площади квадрата при v = 0,14.
Параболический характер распределения нагрузки принят по тому, что штамп при испытаниях погружался в песок, а это вело к перераспределению напряжений по его подошве. В таких случаях, как показывают экспериментальные работы [57, 73, 84, 107 J, эпюра давления по подошве принимает параболический вид.
Результаты вычислений, по которым построены теоретические
кривые, приведены в табл. 15.5.
Из рисунка видно, что теоретические кривые выше опытных. Это может быть объяснено следующим: поскольку площадь квад рата со стороной, равной диаметру круга, больше площади круга, то вычисленные величины напряжений будут несколько больше опытных, так как опыты проводились с круглым штампом. Кроме
Рис. 15.2. Сравнение теоретических результатов с опытными данными Штейнера и Кика
а — для — = 1,6; |
б — для — = 2,64 |
R |
R |
того, на результаты сравнения может оказать влияние выбор ха рактера распределения давления по подошве штампа. И, наконец,
точность показаний использованных при экспериментах датчиков равнялась 0,1 кг, что составляет
|
|
0 1~. 52 |
100%~ 3'6% от среднего давления, |
|
Г-.1 52*30 94 |
||
где |
5 |
— радиус штампа; |
|
|
1,5 |
— радиус |
поршня; |
|
30,94 |
— нагрузка на штамп. |
Можно считать, что сходимость теоретических данных с экспе риментальными удовлетворительна.
Отношение |
Напряжения |
п % от общего давления |
на iштамп на расстоянии |
|||||
|
|
0 долях от полоинны шириныI штампа |
|
|
||||
глубины к |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сторон!.! |
|
|
|
|
|
|
|
|
киадрата |
|
|
|
|
|
|
|
|
1,6 |
108,8 |
102,8 |
81 |
39 |
11 |
2,4 |
_ |
_ |
2,64 |
46 |
43 |
40 |
28 |
18 |
9,5 |
1,06 |
0,14 |
§ 4. СРАВНЕНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ РЕЗУЛЬТАТОВ С ОПЫТНЫМИ ДАННЫМИ ШТРОШНЕЙДЕРА
На рис. 15.3 представлены опытные кривые Штрошнейдера, при веденные В. Ф. Бабковым [84]. Масштаб изображения этих кривых
Рис. 15.3. Сравнение теоретических результатов с опытными данными Штрошнейдера
настолько мал, что теоретические кривые сливаются с опытными. Для большей наглядности кривые изображены прерывистыми ли ниями в увеличенном масштабе. Сплошными линиями изображены теоретические кривые, построенные для нагрузки, распределенной на площади квадрата по параболическому закону при v = 0,17. Поскольку испытания проводились с круглым, а не с квадратным штампом, то теоретические результаты должны быть несколько больше опытных.
Теоретические значения напряжений в процентах от среднего давления на штамп, по которым произведено построение кривых, приведены в табл. 15.6.
в Глубинасм
2
3
4
Отношение глубины половинек ширины |
Напряжения |
в % от среднего давления на |
расстояниях в долях |
|||||
штампа |
|
от половины ширины штампа, равных |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
0,25 |
|
|
|
2.0 |
3.0 |
|
2,66 |
38 ,2 |
37 ,6 |
3 6,0 |
27,4 |
18,1 |
9 , 4 |
1,2 |
_ |
4 |
19,5 |
19,0 |
18,0 |
14,8 |
14,0 |
11,0 |
3 ,72 |
0 , 5 |
5 ,33 |
11,6 |
11,5 |
11,25 |
10,5 |
9 , 0 |
7,4 |
4 ,4 |
1,8 |
Для точек, расположенных по глубине на оси штампа, имеются количественные значения измеренных Штрошнейдером напряже ний, с которыми сравним теоретические результаты. В табл. 15.7 приведены опытные данные Штрошнейдера.
|
|
|
Таблица 15.7 |
|
|
Глубина в см |
Измеренное |
|
|
напряжение |
|
|
|
|
в г!см"1 |
50 |
0,75 |
2 |
10,8 |
50 |
0,75 |
3 |
5 ,0 |
50 |
0,75 |
4 |
2,8 |
Определим теоретические значения для нагрузки, распределен ной на площади круга по закону параболы, поскольку испытания проводились с песком и при опытах наблюдалось выдавливание песка в стороны. При этом происходило перераспределение давле ния под штампом.
Для вертикальных напряжений имеем |
|
^ = 2 ( > - - ^ [ 1 - е х р ( - ^ г ) ] ) - |
(15Л7> |
Коэффициент v вычислим по одному из значений измеренных на пряжений, а по двум другим проверим справедливость теоретиче
ской формулы. Для вычисления коэффициента^ исп°^ь ^ |
пыт‘ |
|||
ное значение напряжений для глубины 2 см. Тогд |
У |
|
||
|
|
r\ п с а \ |
1 1 |
|
10,8 |
= 2 |
50 |
|
|
- |
|
|
||
|
|
3.14-0.752 |
|
|
откуда 0,167.
При этом значении v приведенная выше формула примет вид
- ^ « 2 ( 1 - |
3R°~ - ехр( - ^ ) ] ) - |
<15Л8> |
|
Рср |
I |
Вычисленные по формуле (15.18) результаты, опытные данные Штрошнейдера, а также теоретические результаты О. К. Фрелиха
представлены в табл. |
15.8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 15.8 |
|
|
Измеренное |
Вычислен |
Вычисленные |
Разница в % теоретических |
||
|
Штрошней- |
ные |
||||
Глубина |
дером напря |
О. К. Фре- |
автором |
результатов по отношению |
||
D СМ |
жение |
лихом |
|
к опытным |
данным |
|
|
|
в г/с.иа |
|
О. К. Фрслнха |
автора |
|
2 |
10,8 |
11,93 |
10,62 |
+ |
10,3 |
— 1,7 |
3 |
5 ,0 |
5 ,3 |
4,96 |
+ |
6 |
— 0 ,6 |
4 |
2,8 |
2,97 |
2,81 |
+ |
6 |
— 0,4 |
Из сравнения теоретических результатов с опытными данными Штрошнейдера видно, что теоретические кривые с качественной сто роны вполне соответствуют опытным. Расхождения же в количест венном отношении объясняются, с одной стороны, различием формы штампа, применявшегося при опытах (круглый) и использованного для подсчета теоретических напряжений (квадратный) и, с другой стороны, точностью графических построений при увеличении мас штаба изображения опытных кривых.
Сравнение теоретических напряжений по оси загруженного круглого штампа с опытными напряжениями, указывает на хоро шее совпадение теоретических и опытных данных.
§ 5. СРАВНЕНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ РЕЗУЛЬТАТОВ С ОПЫТНЫМИ ДАННЫМИ ПЕНСИЛЬВАНСКОГО КОЛЛЕДЖА
Измерительная площадка при проведении опытов в Пенсильван ском колледже имела размеры 30,5 X 30,5 см и равнялась площадке через которую осуществлялась передача нагрузки на грунт. Таким образом, измерялось, не действительное напряжение в точке, а сред нее напряжение на площадку, которое для точек, расположенных ближе к линии действия нагрузки, будет меньше действительных напряжений. Это обстоятельство не позволяло непосредственно производить сопоставление напряжений в каждой точке.
Необходимо подчеркнуть, что многими исследователями опытные данные Пенсильванского колледжа неправильно сравнивались с решениями теории упругости. Неточность заключалась в том, что
средние давления на площадку больших размеров в опытах отож дествлялись с напряжением в точке по оси штампа. При этом по
лучались напряжения |
даже меньше тех, |
которые дает теория |
|||
упругости. Чтобы |
не |
повторить эту ошибку, воспользуемся реше |
|||
нием для давления |
на |
площадку на глубине от нагрузки, |
рас |
||
пределенной по прямоугольной |
площадке |
на поверхности. |
При |
||
этом рассмотрим |
два |
случая |
давления на |
прямоугольную |
пло |
щадку: от нагрузки, равномерно распределенной на площади прямоугольника, и распределенной на прямоугольной площадке по закону параболы.
Для нагрузки, равномерно распределенной по площади прямо угольника, давление на площадку, расположенную на некоторой глубине непосредственно под штампом, определяется по формуле
|
г у 2у |
[i |
exp ( |
^ г ) ] • |
(15.19) |
Ря |
2Ь YT. |
Для нагрузки, распределенной на площади прямоугольника по закону параболы, формула для давления на площадку под штампом на глубине г имеет вид
|
Ра |
|
\ [ |
|
* * L W _ ? L . |
|
|
|
|
" Г |
4А- ) |
\ z У ч ) - |
|
||
Z у |
Ъ |
Г |
;г ‘ |
, 1 - |
|
vz2 |
(15.20) |
2Ь у - |
[ |
Ь- |
г |
|
|
||
Вычисленные |
по |
формулам |
(15.19) |
и (15.20) отношения дав |
ления на площадку к давлению на штамп представлены в табл. 15.9 и 15.10
Таблица 15.9
Z |
Рх |
X |
----- |
при ---- , равном |
|
Ь |
Ра |
b |
|
v - Т иб |
0 |
0.5 |
1.0 |
|
2.0 |
2.5 |
3,0 |
4,0 |
|
|
|||||||
1,0 |
0,7375 |
0,6338 |
0,4295 |
0,2201 |
0,0606 |
0,0051 |
0,00027 |
0,000037 |
1,5 |
0,6218 |
0.5524 |
0,3917 |
0,2162 |
0,0836 |
0,0193 |
0,0056 |
0,00043 |
2,0 |
0,5164 |
0,4678 |
0,3502 |
0,2136 |
0,1009 |
0,0359 |
0,0089 |
0,0024 |
2,5 |
0,4225 |
0,39 |
0,2886 |
0,2033 |
0,1128 |
0,0510 |
0,0367 |
0,0112 |
3,0 |
0,3465 |
0,2897 |
0,2621 |
0,1900 |
0,1174 |
0,0631 |
0,0384 |
0,0040 |
4,0 |
0,2350 |
0,2249 |
0,1951 |
0,1551 |
0,1131 |
0,0741 |
0,0495 |
0,0109 |
5,0 |
0,1671 |
0,1646 |
0,1462 |
0,1239 |
0,1066 |
0,0741 |
0,0510 |
0,0437 |
6,0 |
0,1236 |
0,1212 |
0,1115 |
0,09869 |
0,0836 |
0,0657 |
0,0523 |
0,0263 |
а)
Расстояния от оси штампа
Рис. 15.4. Сравнение теоретических результатов с опытными данными Пен сильванского колледжа для песчаных грунтов (цифры на кривых обозначают
глубину, на которой измерялось давление)
а — 1-ая серия опытов; б — 2-ая серия опытов; / — опытные данные; 2 — теоретические данные
Давление на площадку в % от давленая на штамп
от |
|
Давление на площ адку в % |
давленая на штамп |
Рис. 15.5. Сравнение теоретических результатов с опыт ными данными Пенсильванского колледжа для глинистых и суглинистых грунтов (цифры на кривых обозначают глу бину, на которой измерялось давление)
а — для суглинистых грунтов; б — для глинистых грунтов