книги / Теория механизмов и машин сборник задач и тестов
..pdfгде VAi и VAj − векторы абсолютных скоростей т. Ai и Aj, принадлежащих
звеньям i и j и совпадающих в данный мгновенный момент времени; VAiAj – вектор скорости т. Ai относительно т. Aj; aAi и aAj – векторы абсо-
лютных ускорений т. Ai и Aj; akAiAj и arAiAj − векторы ускорений Кориолиса и относительного ускорения т. Ai относительно т. Aj.
а |
б |
Рис. 2.6. Непоступательное движение звеньев: а – простое; б – переносное
В случае когда движение звена i поступательное, akAiAj = 0, иначе по величине akAiAj = 2VAiAj ·ωi. Направление вектора определяется поворотом VAiAj плана скоростей на 90○ по направлению ωi.
3. Величина угловой скорости для звена, совершающего непоступательное движение, ω = Vотнl , где Vотн – значение относительной скорости
[м/с], а l – длина звена [м]. Например, для рис. 2.6, а ωBA = VBA .
lBA
Направление угловой скорости звена определяется путем переноса вектора относительной скорости в ту точку звена схемы механизма, для которой записаны векторные уравнения, и поворотом этого вектора вокруг точки, относительно которой рассматривается движение (см. т. A, рис. 2.6, а). Аналогичным образом определяется величина и направление углового ускорения звена: εBA = aτBA/lBA (см. рис. 2.6, а).
4. Теорема подобия. Фигура кинематической схемы, образованная соединением точек одного и того же звена, подобна фигуре, образованной соединением одноименных концов векторов скоростей (ускорений) плана. Направление обхода полученных фигур схемы и плана должны быть одинаковыми.
31
Пример 6
Дано: схема пятизвенного стержневого механизма в заданном положении (рис. 2.7) и размеры звеньев; угловая скорость ω1 = const кривошипа AB.
Рис. 2.7. Схема механизма
Провести кинематический анализ механизма методом планов. Решение:
1. Построение плана скоростей (рис. 2.8, а).
V A = V C = V X = 0;
|
|
B1 = |
|
B2 ; |
|
|
B1 , |
|
|
B2 AB, |
|
|
|
|
|
B1 = |
|
|
B2 |
= ωl |
→ |
μ |
|
= |
VB1 |
, |
|
AB; |
||||||||||||||||||
V |
V |
V |
V |
V |
V |
|
pb |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
V |
( pb1 ) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
AB |
|
|
|
|
|
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(VB B |
BC ); |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
VB |
= VB |
+ VB B |
, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
3 |
2 |
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, (VB3C BC); |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
VB3 = |
VC |
+VB3C |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
B3 = ( |
|
) μV |
; VB |
= μV |
( pb3 ); VB B = |
(b2b3 ) μV ; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
V |
pb3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
VB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω3 = |
|
|
|
|
|
|
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
μ |
(CB ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Построения в соответствии с этапом 1 представлены на рис. 2.8, а.
VD = |
(pd ) |
= CD ( pd ) = |
CD ( pb ) V = μ |
V |
( pd ). |
|
|
||||||
VB |
(pb3 ) CB3 |
3 |
D |
|
||
CB3 |
|
|
|
|||
3 |
|
|
|
|
|
При нахождении положения т. d плана скоростей используется правило обхода контура B3CD и b3cd (см. рис. 2.8, а).
32
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
б |
|||||||||
|
|
|
|
|
Рис. 2.8. Планы пятизвенного стержневого механизма: |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а – скоростей; б – ускорений |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EX , (V |
EX x – x); |
|
|||||
|
VE = V |
X +V |
|
||||||||||||||||||||
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
VE = VD + VED , (VED ED). |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Построение этапа 2 изображено на рис. 2.8, а.
V |
= ( pe) μ |
V |
; V |
= μ |
V |
(de); ω |
4 |
= VED |
= VED . |
E |
|
ED |
|
|
lED |
l4 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Полный план скоростей для механизма представлен рис. 2.8, а.
3. Построение плана ускорений
aA =aC =aX = 0; aB1 = aB2 ; aB1 , aB2 AB;
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
2 |
|
|
|
a |
B1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
aB = aB |
|
= ω12lAB |
|
|
= |
|
B1 |
μa = |
|
, |
πb1 |
AB1; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(πb1 ) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
lAB |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aB = aB |
+ aBk |
B |
|
|
+ aBr |
B |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
3 |
|
2 |
3 |
2 |
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
B = 2ω3 VB B , (b2k ) = |
aB3B2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
aBk |
, aBr B |
BC |
; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
μa |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
= a + a n |
|
|
+ a τ |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
4. a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
B3 |
|
C |
|
|
|
B3C |
|
|
|
|
B3C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aBn C |
= ω32lB C = |
VB3 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
lB3C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
aBn3C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(cn1 ) = |
, aBn3C BC; aBτ3C BC. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
μa |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33
Построения этапа 4 приведены на рис. 2.8, б. По результатам этих построений получаем
a |
|
= μ |
|
(πb ); a |
τ |
|
= (n b ) |
μ |
|
; ar |
|
= μ |
|
(kb ); |
ε |
|
= |
aBτ3C |
|
|
= |
|
aBτ3C |
; |
|||||||||||||||||||||
B |
a |
|
|
a |
|
a |
3 |
|
|
|
|
μl (B3C ) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
B C |
1 3 |
|
|
|
|
B B |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
lB C |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
aD |
|
(πd) |
|
|
|
CD (πd ) |
|
|
CD ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
= |
|
= |
πb ) |
|
a |
D |
|
= μ |
a |
(πd ). |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
aB |
|
|
(πb3 ) |
|
|
CB3 |
|
|
|
|
|
|
CB3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Положение т. d плана ускорений находится по правилу обхода кон- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
тура B3CD и b3cd (см. рис. 2.8, б). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= aX + aEXk |
+aEXr , (aEXk = 2 ωX VEX = 0; aEXr x – x); |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
aE |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
τ |
|
n |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
an |
|
|
|
|
|
|
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
aE |
= aD + aED |
+ aED , aED |
= ω4lED ; dn2 |
= |
ED |
; aED |
|
ED . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
μa |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
На рис. 2.8, б проведены построения этапа 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
E |
= μ |
a |
|
(πe); aτ |
|
= μ |
a |
|
(n e); a r |
= a |
E |
; ε |
4 |
|
= |
aEDτ |
. |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ED |
|
|
|
|
|
2 |
|
Ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
lED |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
План ускорения механизма в заданном положении изображен на рис. 2.8, б.
Пример 7
Дано: схема механизма в заданном положении (рис. 2.9, а), геометрические размеры звеньев: lOA = 0,2 м, lAB = 0,8 м, lAC = 0,4 м, lCD = 0,8 м,
lDE = 1 м, lKD = lKE, ωOA = 15 с–1.
Определить скорость VK т. K. Решение:
1. V = ω |
l |
= 15 0,2 = 3 |
|
м |
, |
|
A OA |
(рис. 2.10, б). |
Отрезок |
||
V |
|||||||||||
A |
OA |
OA |
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
плана скоростей, соответствующий скорости т. A: ( pa) = VA , μ |
V |
– мас- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
μV |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
штабный коэффициент плана скоростей.
2.V B = V A +V BA , V BA AB);
V B = V xx + V Bxx , VBxx xx.
В результате V |
= ( pb) μ |
|
= |
(pb)VA |
= V |
|
sin 30° = 1,5 |
|
м . |
V |
|
A |
|
||||||
B |
|
|
(pa) |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
с |
34
а |
б |
Рис. 2.9. Схема механизма в заданном положении: а – схема; б – план скоростей
|
3. По подобию VC = |
lAC |
→ V |
= V |
|
0,4 = 1,5 4 = 3 |
|
м . |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
VB |
lAB |
|
|
C |
|
B |
0,8 |
8 4 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(CD); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
V |
= V |
|
+ V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
4. |
|
D |
|
|
C |
|
DC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(DE ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
VD = VE + VDE |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
= 1V ctg (30°), |
|
|
|
3 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ( pd) μ |
|
(ab) μ |
|
|
|
|
|||||||||||
|
В результате V |
|
= |
т.е. V |
= |
3 = |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
V |
|
2 |
|
|
V |
2 |
B |
|
D |
4 |
|
|||
= |
3 3 |
|
м |
(см. рис. 2.9, б). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По подобию и правилу обхода (рис. 2.10)
VK = (pk)·μV.
По теореме синусов
V |
|
V |
→ VK = |
V sin 30° |
|
3 |
3 2 |
|
|
м |
|
K |
= |
D |
D |
= |
|
|
= 0,75 |
|
. |
||
sin 30° |
sin 120° |
4 |
2 3 |
||||||||
|
|
sin 120° |
|
|
|
с |
Ответ: VK = 0,75 мс .
Пример 8
Дано: схема механизма (рис. 2.10) в данном положении. lOA = 0,12 м,
1
ωOA = 20 с = const.
35
а |
б |
в |
Рис. 2.10. Схема (а); план скоростей (б); план ускорений (в)
Вычислить ускорение т. B в данном положении. Решение:
1. План скоростей:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; V |
= l |
|
|
ω |
|
|
= 0,12 20 = 2,4 м ; |
|
V |
|
OA (рис. 2.10, б) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
а) V |
|
|
= V |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( pa ) = |
VA1 . |
|
|
A2 |
|
A1 |
|
|
|
|
|
|
OA1 |
|
|
|
OA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
A1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
A1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
μV |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
A3 |
= |
|
|
|
A2 + |
|
|
A3 A2 , |
|
|
A3 A2 CA; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
V |
V |
V |
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V xx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
V A3 |
= |
|
+ V A3xx , V A3xx xx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= μV ( |
|
|
3 ); V |
= V |
|
cos 60° = 2,4 |
0,5 = 1,2 |
|
м ; |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pa |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
Из рис. 2.10, б: VA |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A3 |
A1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
||||||
V |
= V |
A3 |
= 1,2 |
|
|
|
(см. рис. 2.10, б) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2) План ускорений: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
aA1 = |
|
aA2 ; |
|
|
|
aA1 |
= lOA |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aA1 |
|
OA− от A к O |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
а) |
|
|
|
|
|
|
ω1 = 0,12 |
400 = 48 |
|
|
|
; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
с2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(рис. 2.10, в). |
|
aA1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
(πa ) |
= |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
μa |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
aA = aA +aAk |
A + aAr |
A |
|
, aAk |
A |
= 2ω3 VA A = 0; aAr |
A |
AC; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
б) |
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
3 |
2 |
|
3 |
2 |
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
axx |
+ aAk3xx + aAr3xx , aAk3xx = 2ωxx VA3xx = 0; |
aAr3xx xx. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
aA3 = |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
) μ |
|
= ( |
|
|
) μ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Из рис. 2.10, в: a |
|
|
= a |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
A |
B |
|
πa |
a |
πb |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aB |
= aA1 |
sin 60° = 48 |
|
3 |
|
|
м |
|
|
|
= 24 3 |
|
|
|
. |
||||
2 |
с |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: aB = 24 3 см2 .
Пример 9
Дано: схема механизма в данном положении (рис. 2.11).
lAB = 0,6 |
3 м, |
lBC |
= 1,2 м, ωAB |
= 10 |
1 |
|
= const. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
c |
|
|
Вычислить ускорения т. C и угловое ускорение звена BC. Решение:
1) План скоростей:
а) V |
= l |
AB |
ω |
AB |
= 0,6 3 |
10 = 6 3 |
|
м |
; |
VB AB; ( pb) = VB . |
|||||||||||||||
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
μV |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
V = V |
|
+ V , V CB; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
C |
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
CB |
|
CB |
|
|
|
|
|
|
||||||
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
VCxx |
xx. |
|
|
|
|
|
||||
VC =Vxx + VCxx , |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
б |
в |
Рис. 2.11. Схема (а); план скоростей (б); план ускорений (в)
В результате из рис. 2.11, б:
ωCB |
= VCB |
= |
0 |
= 0. |
||
|
lCB |
|||||
|
lCB |
|
|
|
||
|
2) План ускорений: |
|||||
|
а) a |
= l |
AB |
ω2 = 0,6 3 100 = 60 3 |
||
|
B |
|
|
AB |
(πb) = aB .
μa
|
|
|
|
( |
|
) = V |
; V |
= 6 3 |
|
м |
; |
|
|
|
|
= μ |
|
pc |
|||||||
V |
|
V |
||||||||||
|
C |
|
|
|
B |
C |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
м |
|
; aB |
AB от B к A (рис. 2.11, в). |
|
|
|
|
|
||
с |
2 |
||||
|
|
|
|
|
37
|
n |
+ |
|
τ |
n |
2 |
τ |
||||
aC = aB + aCB |
aCB ; |
aCB = ωCB lCB = 0; aCB |
|||||||||
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= axx + aCkxx |
+ aCrxx ; aCrxx xx; aCkxx = 2ωxx |
||||||||||
aC |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из плана ускорений (см. рис 2.11, в):
CB;
VCxx = 0.
a |
= (πс) μ |
|
= a |
|
ctg 30° = 60 |
|
3 |
3 = 180 |
|
м |
. |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
С |
|
|
|
|
|
a |
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с2 |
|
|
|
|
||
Угловое ускорение звена BC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
aτ |
|
|
|
(bc)μ |
|
|
|
|
a |
B |
|
|
60 3 |
|
|
|
|
1 |
|||||||
εCB |
= |
|
CB |
= |
|
|
|
|
a |
= |
|
|
|
= |
1 |
|
= 100 |
3 |
|
|
|
. |
|||||
|
|
lCB |
|
sin 30° lBC |
|
|
2 |
||||||||||||||||||||
|
|
lCB |
|
|
|
|
|
|
|
1,2 |
|
|
|
|
c |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: |
a |
B |
= 180 |
|
; ε |
CB |
= 100 3 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
с2 |
c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 10
Дано: схема механизма в данном положении (рис. 2.12), lOA = 0,3 м,
lAB = lAC , lCD = 1 м, ωAO = 20 1с = const.
Вычислить ускорение т. C кулисы 5. Результат округлить до целых.
Рис. 2.12. Схема механизма
Решение:
1) План скоростей:
а) lOA = lAB = 0,3 м (см. рис. 2.12).
38
VA = lOA ωOA = 0,3 20 = 6 |
|
м |
; |
VA |
|
OA, ( pa) = |
VA |
. |
||
|
|
|
||||||||
|
|
OA (рис. 2.13, а). |
|
с |
|
|
|
μV |
|
|
|
pa |
|
|
|
|
|
|
|
а |
б |
Рис. 2.13. План скоростей (а); план ускорений (б)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
BA; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
= V |
A |
+ V , V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
B |
|
|
|
|
|
BA BA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
= Vxx |
+ |
|
VBxx , |
VBxx xx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
VB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( pb) = |
|
pb |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
из рис. 2.13, a: V |
|
|
V |
|
|
2 V |
|
|
|||||||||||||||
В результате |
= μ |
|
|
= |
|
= |
||||||||||||||||||||||||
V |
|
|
|
A |
A |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pa |
|
|
|
|
|
|
= 6 2 |
|
м |
; V |
= V |
A |
= 6 |
|
|
|
BA |
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
в) По подобию: (bc2 ) (ab)
Следовательно, VC2B
м .с
=lBC2 = 2 (см. рис. 2.13, а).
lAB
= 2V |
= 12 |
|
м |
. C |
2 |
– точка шарнира звена 2; |
BA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
C4 – кулисного камня, совпадающая с C2. VC2 = VC4 .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
г) VС5 = |
VС4 |
+ VС5С4 , VС5С4 CD; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
VС5 = |
VD |
+ VС5D , VС5D CD. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
C5 – точка кулисы 5, совпадающая мгновенно с т. C4. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= |
|
μ |
|
; |
|
|
|
|
|
м |
; |
ω |
|
= |
VC5 |
= 6 |
= 6 |
|
1 |
. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pc |
|
|
||||||||||||||||||||||
Из рис. 2.14, а: V |
|
V |
|
= 6 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
V |
|
|
|
5 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С5 |
5 |
|
|
|
С5 |
|
|
|
|
lCD |
1 |
|
с |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
39
2) План ускорений:
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
OA от A к O (рис. 2.13, б). |
|
|
|||||||||||||||
а) aA = lOA ωOA |
= 400 0,3 = 120 |
|
|
|
|
; aA |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
с |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
a |
B |
= a |
A |
|
+ a n |
|
+ a |
τ ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
BA |
|
|
|
|
|
BA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
= axx + aBxxk + aBxxr . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
aB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
n |
V 2 |
|
|
36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
aBA |
= |
|
BA = |
|
|
|
= 120 |
|
|
|
|
|
, aBA |
AB от |
B к A, |
aBA AB; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
0,3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
lBA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
aBxxk |
= 2ωxx VBxx = 0, |
|
aBxxr |
xx, |
ωxx = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
В результате из рис. 2.14, в: aB |
= (πb)μa aB |
= aA |
|
|
|
м |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 = 120 |
2 |
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
с |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
в) По подобию: |
(bc ) |
= |
|
lBC |
2 |
|
= 2 (рис. 2.13, в). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
lAB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ab) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Из рис. 2.13, в: a |
|
|
|
= a |
|
= a |
|
2 = 120 |
2 |
м |
|
= a |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C4 |
|
|
|
|
C2 |
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
с2 |
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
г) |
aС5 = aС4 + aC5C4 |
|
+ aC5C4 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
aD |
+ aCn5D |
+ aCτ5D. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
aС5 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
ak |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
a k |
CD, |
|
ak |
= (С |
k ) μ |
|
|||||||||||
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
= 2ω |
|
|
= 2 6 6 = 72 |
, |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
с2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
C5C4 |
|
|
|
5 |
|
|
C5C4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C5C4 |
|
|
C5C4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
a |
(см. рис. 2.13, в).
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
n |
n |
|
|
|
(см. рис. 2.13, в). |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
aC5D |
= ω5 |
lCD |
= 36 |
1 = 36 |
|
|
|
|
, aC5D |
CD, aC5D |
= |
πn μa |
|||||||||
с |
2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В результате геометрических построений |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
aС |
= |
|
μa . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
πс5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Величина a |
= |
(nc )2 |
+ (πn)2 = |
(120 + 72)2 |
+ 362 |
= 195 |
|
м |
. |
||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
С5 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с2 |
|||||
Ответ: a |
= 195 |
|
м |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
С5 |
|
|
с2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40