книги / Сборник задач по аналитической геометрии

§39] НЕПОЛНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТЕЙ 121

общую точку; 2) проходят через одну прямую; 3) пересекаются по трем различным параллельным прямым.

§39. Н еполны е уравнения плоскостей. Уравнение

плоскости в «о тр езк ах»

Каждое уравнение первой степени

Ах + By + Сг + D = О

(в декартовых координатах) определяет плоскость. Если в этом уравнении от­ сутствует свободный член {D = 0), то плоскость проходит через начало коорди­ нат. Если отсутствует член с одной из текущих координат (т. е. какой-либо из коэффициентов А, В, С равен нулю), то плоскость параллельна одной из коор­ динатных осей, именно той, которая одноименна с отсутствующей координатой; если, кроме того, отсутствует свободный член, то плоскость проходит через эту ось. Если в уравнении отсутствуют два члена с текущими координатами (какиелибо два из коэффициентов А, В, С равны нулю), то плоскость параллельна одной из координатных плоскостей, именно той, которая проходит через оси, одноименные с отсутствующими координатами; если, кроме того, отсутствует свободный член, то плоскость совпадает с этой координатной плоскостью.

Если в уравнении плоскости

Ах + By + Cz + D = 0

ни один из коэффициентов Л, В , С, D не равен нулю, то это уравнение может быть преобразовано к виду

суть величины отрезков, которые плоскость отсекает на координатных осях (считая каждый от начала координат). Уравнение (1) называется уравнением плоскости «в отрезках».

940. Составить уравнение плоскости, которая проходит:

с координатными осями.

122 УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА [Гл. 9

944. Дано уравнение плосксти х + 2у — 3z —б = 0. Написать для нее уравнение «в отрезках».

945. Найти отрезки, отсекаемые плоскостью 3x—4y—24z+12 = 0 на координатных осях.

946. Вычислить площадь треугольника, который отсекает плос­

на оси абсцисс отрезок а = —3 и на оси апликат отрезок с = 2. Составить для этой плоскости уравнение «в отрезках».

949 . Плоскость проходит через точки M i(l; 2; —1) и М г(—3; 2; 1) и отсекает на оси ординат отрезок Ъ = 3. Составить для этой плоскости уравнение «в отрезках».

950 . Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М\ (2; —3; —4) и отсекает на координатных осях отличные от нуля отрезки одинаковой величины (считая каждый отрезок направленным из начала координат).

951. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точки Mi (—1; 4; —1), М2 (—13; 2; —10) и отсекает на осях абсцисс и апликат отличные от нуля отрезки одинаковой длины.

952 . Составить уравнения плоскостей, которые проходят через точку Mi (4; 3; 2) и отсекают на координатных осях отличные от нуля отрезки одинаковой длины.

953 . Составить уравнение плоскости, отсекающей на оси Oz

9 55 . Составить уравнение плоскости, перпендикулярной к плос­

§ 40. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости

Нормальным уравнением плоскости называется ее уравнение, написанное в

где cos a , cos/?, cos7 — направляющие косинусы нормали плоскости, р — рас­

стояние от начала координат до плоскости. При вычислении направляющих косинусов нормали следует считать, что она направлена от начала координат к плоскости (если же плоскость проходит через начало координат, то выбор положительного направления нормали безразличен).

Пусть М * — какая угодно точка пространства, d — расстояние от нее до дан­ ной плоскости. Отклонением S точки М* от данной плоскости называется чис­ ло +d, если точка М ти начало координат лежат по разные стороны от данной

плоскости, и число —(1, если они лежат по одну сторону от данной плоскости (если М* лежит на самой плоскости, то отклонение равно нулю).

Если точка М 9 имеет координаты х 9,у 9, z9, а плоскость задана нормальным уравнением

х cos а + у cos/9 + г cos7 - р = О,

то отклонение точки М* от этой плоскости дается формулой

6 = х 9 cos а + у* cos (3 + г* cos 7 - р.

Очевидно, d = |S |.

Общее уравнение плоскости

Ах + By + Cz + D = О

приводится к нормальному виду (1) умножением на нормирующий множитель,

определяемый формулой

/= + - ■1 --;

vM2 + i?2 + C2

знак нормирующего множителя берется противоположным знаку свободного члена нормируемого уравнения.

956 . Определить, какие из следующих уравнений плоскостей

динат по одну или по разные стороны относительно каждой из следующих плоскостей:

9 66 . На оси Оу найти точку, отстоящую от плоскости т + 2у — - 22 - 2 = 0 на расстояние d = 4.

9 6 7 . На оси Oz найти точку, равноудаленную от точки М (1;

—2; 0) и от плоскости Зт — 2у + 62 — 9 = 0.

9 6 8 . На оси От найти точку, равноудаленную от двух плоско­ стей 12т - 16у + 152 + 1 = 0, 2т + 2у - 2 - 1 = 0.

9 6 9 . Вывести уравнение геометрического места точек, отклоне­ ние которых от плоскости 4т - 4у - 2z + 3 = 0 равно 2.

9 7 0 . Вывести уравнение геометрического места точек, отклоне­ ние которых от плоскости 6т + Зу + 2z - 10 = 0 равно - 3 .

9 7 1 . Составить уравнения плоскостей, параллельных плоскости 2 т - 2 у - 2 - 3 = 0 и отстоящих от нее на расстояние d = 5.

§ 40] НОРМАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ 125

972 . В каждом из следующих случаев составить уравнение гео­ метрического места точек, равноудаленных от двух параллельных

973 . В каждом из следующих случаев составить уравнения плоскостей, которые делят пополам двугранные углы, образован­ ные двумя пересекающимися плоскостями:

974 . В каждом из следующих случаев определить, лежат ли точка М (2; —1; 3) и начало координат в одном, в смежных или вертикальных двугранных углах, образованных при пересечении

975. В каждом из следующих случаев определить, лежат ли точки М (2; —1; 1) и N (1; 2; —3) в одном, в смежных или верти­ кальных двугранных углах, образованных при пересечении двух плоскостей:

976 . Определить, лежит ли начало координат внутри острого или тупого угла, образованного двумя плоскостями х - 2 у + 3 2 - 5 = = 0, 2х - у —2 + 3 = 0.

977. Определить, лежит ли точка М (3; 2; - 1) внутри острого или тупого угла, образованного двумя плоскостями 5x -i/ + 2+3 = 0, 4х - Зу + 22 + 5 = 0.

978 . Составить уравнение плоскости, делящей пополам тот дву­

979. Составить уравнение плоскости, делящей пополам тот дву­

лам острый двугранный угол, образованный двумя плоскостями 2х - Зу - Az - 3 = 0, 4х - Зт/ - 2z - 3 = 0.

981. Составить уравнение плоскости, которая делит пополам тупой двугранный угол, образованный двумя плоскостями З х - 4 у -

— 2 + 5 = 0, 4х — Зу + 2 + 5 = 0.

126 УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА [Гл. 9

§41. Уравнения прямой

Прямая как пересечение двух плоскостей определяется совместным задани­

при условии, что коэффициенты А\%В\, С\ первого из них не пропорциональны коэффициентам А2, В2, С2 второго (в противном случае эти уравнения будут

определять параллельные или слившиеся плоскости).

Пусть некоторая прямая а определена уравнениями (1), а и 0 какие угодно

определяет плоскость, проходящую через прямую а.

Уравнением вида (2) (при соответствующем выборе чисел а , 0) можно опре­

делить любую плоскость, проходящую через прямую а.

Совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую, на­ зывается пучком плоскостей. Уравнение вида (2) называется уравнением пучка

плоскостей.

Если or ф 0, то, полагая 0 /а = Л, уравнение (2) можно привести к виду

В таком виде уравнение пучка плоскостей более употребительно, чем урав­ нение (2), однако уравнением (3) можно определить все плоскости пучка, за

исключением той, которой соответствует а = 0, т. е. за исключением плоскости

А2х + В2у + C2z + D2 = 0.

9 8 2 . Составить уравнения прямых, образованных пересечением плоскости бх —7у + 2г — 3 = 0 с координатными плоскостями.

9 8 4 . Найти точки пересечения прямой

2x + y - z - 3 = 0) x + y + z - l = 0

скоординатными плоскостями. 9 8 5 . Доказать, что прямая

§41] УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ 127

987 . Найти соотношения, которым должны удовлетворять ко­

994 . Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую 5х — у —2z —3 = 0, Зх — 2у — 5z + 2 = 0 перпендикулярно плоскости х + 19у - 7z - 11 = 0.

995. Составить уравнение плоскости, которая проходит через прямую пересечения плоскостей 2х + у —2 + 1 = 0, x + 2/+ 2z + l = 0 параллельно отрезку, ограниченному точками М\ (2; 5; - 3 ) и М2 (3; - 2 ; 2).

996 . Написать уравнение плоскости, принадлежащей пучку

§42] НАПРАВЛЯЮЩИЙ ВЕКТОР ПРЯМОЙ 129

Канонические уравнения прямой, проходящей через данные точки М\ (ц ; 1/1; z\) И Мг (Х 25 У2] 22). имеют вид

Д - X i _ У -У 1 _ Z -Z I

Обозначим буквой t каждое из равных отношений в канонических уравнени­

вается как произвольно изменяющийся параметр, х, у, г — как функции от t; при изменении t величины х, у, z меняются так, что точка М (х; у; z) движется по данной прямой.

Если параметр i рассматривать как переменное время, а уравнения (3) как уравнения движения точки М, то эти уравнения будут определять прямоли­ нейное и равномерное движение точки М. При t = 0 точка М совпадает с точкой MQ. Скорость v точки М постоянна и определяется формулой

v = у/ l2 + m 2 + л2 .

1007 . Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку M i (2; 0; —3) параллельно: 1) вектору а = {2; - 3 ; 5};

его внутреннего угла при вершине С.

130 УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА [Гл. 9

1014 . Даны вершины треугольника А (2; —1; - 3 ) , В (5; 2; —7) и С ( - 7 ; 11; 6). Составить канонические уравнения биссектрисы его

Вычислить проекции какого-нибудь ее направляющего вектора а на координатные оси. Найти общее выражение проекций произ­ вольного направляющего вектора этой прямой на координатные оси.

1017. Дана прямая

2х - у + Зг + 1 = О, 3x + y - z - 2 = 0.

Найти разложение какого-нибудь ее направляющего вектора а по базису г, j , к. Выразить в общем виде разложение произвольного направляющего вектора этой прямой по базису г, У, к.

1018. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку Mi (2; 3; —5) параллельно прямой

Зх - у + 2z - 7 = О, х + Зу - 2z + 3 = 0.

1019. Составить канонические уравнения следующих прямых:

1020. Составить параметрические уравнения следующих пря­ мых:

2) х = 2t + l, y = 3 t - 2 , z = —6 t -f-1 и 2x + y - 4 z + 2 = 0 , 4x - у - 5z + 4 = 0 )