книги / Сборник задач по аналитической геометрии

х — 3

у + 2 _

z

х + 2 _ 2/ — 3 _ z + 5

1

"

- 1

” >/2 ’

1

"

1

ч/2 '

1024

. Найти

тупой

угол

между

прямыми

х = 3i — 2, у = О,

z = - t + 3 и х = 2£ - 1, у = 0, z = t - 3.

1025

. Определить косинус угла между прямыми x - y - 4 z —b = О,

2х + у -

2z - 4 = 0

и х —бт/ — 6z + 2 = 0,

2х + 2у + 9г - 1 = 0.

х + 2 _ у_ _ z —1

х - 3 _ у —1 _ г — 7 .

2

—3

4 ’

г

4 — 2 ’

при каком значении I они пересекаются?

1028 . Доказать,

что условие,

при котором две прямые

х - а\ _ у - b i _ г - ci ^

я - аг _ у - Ъг _ z - сг

fl

T7ll

T il

i2

1712

п 2

0-2 — 01

bi —&1

С2 — Cl

= 0.

/1

mi

Tli

h

7712

П2

X - 1

у + 1

2 - 3

3

2

— - 5 '

х + 1

у + 3 г — 2

х — 2 _ у + 1 _ г - 1

3 "

- 2 ” - 1 ’

2 ~

3 “ - 5 ‘

х = 3t - 7,

у = - 2 1 + 4,

z —3t + А

и

х = < + 1,

у = 2 t - 8 ,

z —- t -

12.

1032 .

Даны уравнения движения точки

М (х; у\ z):

х = 3 — At,

у - 5 + 3*,

z = - 2 + I2 t

Определить ее скорость v.

жуток времени от ti = 0 до £2 = 7.

1034. Составить уравнения движения точки

М (я; у; z), кото­

рая, имея начальное положение Мо (3; - 1; - 5 ) ,

движется прямо­

линейно и равномерно в направлении вектора

з

= { —2; 6; 3 } со

скоростью v = 21.

М (х ; у; г), кото­

1035. Составить уравнения движения точки

рая, двигаясь прямолинейно и равномерно, прошла

расстояние

от точки

Mi ( - 7 ; 12; 5) до точки Мг (9; - 4 ; - 3 )

за

промежуток

времени

от £1 = 0 до £2 = 4.

направлении, противоположном вектору г =

{ —4; 12; —3 }. Соста­

вить уравнения движения каждой из точек

и, убедившись, что

их траектории пересекаются, найти:

1) точку Р пересечения их траекторий;

2)

время, затраченное на движение точки

М от Мо до Р ;

3)

время, затраченное на движение точки

N от No до Р ;

4)

длины отрезков М 0Р и N0 P.

1038. Доказать,

что прямая х = St -

2, у =

—41 + 1, z = 4t — 5

параллельна плоскости 4х —Зу — 62 - 5

= 0.

1039

. Доказать,

что прямая 5 х - З у + 2 2 - 5

=

0, 2 x - y - z - l = 0

лежит

в

плоскости

4х -

Зу + 7z - 7 = 0.

1040

. Найти точку пересечения прямой и плоскости:

1) —

=

3 g,

2х + Зу + 2 -

1 =

0;

2)

^

= * £ г

= £Г Г '

х - 2у + г —15 = 0;

2 )

= ^ з 1

= Z 2 * >

х + 2 jf —2 г + 6 = 0.

1041 . Составить

канонические

уравнения

прямой,

проходя­

щей

через

точку

Мо (2; - 4 ; - 1 )

и середину

отрезка

прямой

§43]

СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ

133

Зх + 4у + 5z -

26 =

0,

Зх -

Зу - 2z - 5 = 0,

заключенного меж­

ду плоскостями 5х -I- Зу -

4z + 11 = 0,

5х + Зу - 4z -

41 = 0.

1042 . Составить уравнения прямой, проходящей через точку

Мо (2; —3; —5)

перпендикулярно к плоскости 6х -

Зу —5z + 2 = 0.

1043 . Составить уравнение плоскости, проходящей через точку

М о(1; —1; —1)

перпендикулярно к прямой

.

1044 . Составить уравнение плоскости, проходящей через точку

Mo (1; - 2 ; 1)

перпендикулярно к прямой

х - 2 у + 2 - 3 = 0, x + y - z + 2 = 0.

1045 . При

каком

значении тп прямая y t l

—

па­

раллельна плоскости х — Зу + 6z + 7 = О?

1046 . При

каком

значении С прямая Зх -

2у + z + 3 =

О,

4х — 3j/ + 4z + 1 = 0

параллельна плоскости 2х - у + Cz —2 = О?

1047 . При каких значениях А и D прямая х = 3+4£, у = l - 4 t ,

г = —3 + 1 лежит в

плоскости Ас + 2^/ - 4z + D = О?

1048 . При каких значениях А и В плоскость A x+ Bj/ + 3z-5 = О

перпендикулярна к

прямой

х = 3 + 2£, у = 5 -

3£, г = - 2

- 2£?

1049 . При каких значениях I и С прямая

перпендикулярна к плоскости Зх — 2$/ + Cz + 1 = О?

1050 . Найти

проекцию

точки Р (2 ; - 1 ; 3)

на

прямую

х =

3t,

у — 5t — 7, z = 2£ + 2.

Q,

симметричную точке Р (4; 1; 6)

1051 . Найти

точку

относи­

тельно прямой х - у -

4z + 12 = 0, 2х + у -

2z + 3 = 0.

1052 . Найти

точку

Q,

симметричную

точке

Р ( 2 ; - 5 ;7 )

относительно

прямой,

проходящей

через

точки

Mi (5; 4; 6)

и

М 2 ( - 2 ; - 1 7 ; - 8 ) .

1053 . Найти

проекцию

точки

Р (5 ; 2; —1)

на

плоскость

2х - у + 3z + 23 = 0.

Q,

1054 . Найти

точку

симметричную точке Р ( 1; 3 ;- 4 ) отно­

сительно плоскости

Зх + у — 2z = 0.

1055 . На плоскости Оху найти такую точку Р , сумма рас­

стояний которой до

точек

А (—1; 2; 5) и В (11; -1 6 ; 10) была

бы

наименьшей.

1056 . На плоскости Oxz найти такую точку Р , разность рас­

стояний которой до

точек

М\ (3; 2; - 5 ) и

М2 (8; —4; -1 3 ) была

бы наибольшей.

была бы наименьшей.

1058 . На плоскости 2х + Зу - 4z -

15 = 0 найти такую

точ­

ку Р , разность расстояний которой

до точек Mi (5; 2; -

7 ) и

М 2 (7; —25; 10) была бы наибольшей.

§43]

СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ

135

может быть представлено в следующем виде:

х —Хо

У ~У0

Z - Z 0

= 0.

к

ТП\

П\

к

7712

712

1 067 . Доказать,

что уравнение

плоскости, проходящей через

точки М\ (®и з/1; z\) и М2 {х2\уг\ z2)

параллельно прямой

х —а _ у

—b _

г —с

I

~

m

~

п

’

может быть представлено в следующем виде:

х

- x i

у — 2/i

z

- z i

= 0.

х2 - xi

з/2-

3/1

z2 - zi

l

m

n

х

- x i

у

— з/i

z - z i

s i

- so

з/i - з/о

^i - ZQ = 0.

l

m

п

1070 . Доказать, что прямые

д - 1

у + 2

z - 5

2

-

3

4

х —а\ _

у —Ь\ _

z —с1

х —ад

_

У —Ьг __ z - д

h

ГП\ ~

Щ ’

h

~

7712

П2

к

m i

Tii = 0.

х - 2

у + 1 _ z - 3

дг — 1 _ у — 2 _ Z + 3

3

2

- 2 1

3 “

2 “ -2 •

§44]

СФЕРА

137

+ 9z + 7 =

0

и пересекает прямые

— ^±±

ЕлЛ -

-

у + 1 - г ~ 2

4

3

2

“

3 “

4

•

1N х + 7 _ у + 4 _ г + 3

х — 21 _ у + 5 _ г - 2

'

3

“

4

“

- 2 »

6

“ - 4

”

- 1

’

2) х = 2t - 4,

у = - £ + 4, г = -2 £ - 1;

ж = 4£ — 5,

у = - 3 £ + 5,

2 = -5 £ + 5;

3)

х ^ 5

=

|^5

=

£_ - 1 .

a.

=

w + 9j

у =

- 2£,

z = - t + 2.

чаев:

С (0; 0; 0) и радиус г = 9;

1)

сфера

имеет

центр

2)

сфера

имеет

центр

С (5; - 3 ; 7)

и радиус г = 2;

3)

сфера

проходит через начало

координат и имеет центр

5)

точки Л (2; - 3 ;

5)

и 2?(4; 1; - 3 ) являются концами одного

из диаметров сферы;

6)

центром сферы

является

начало координат и плоскость

16ж — 15у - 12z + 75 = 0

является

касательной к сфере;

является касательной к

сфере;

М\ (3; 1; - 3 ),

М2 ( - 2 ; 4; 1) и

8) сфера

проходит через точки

М3 ( - 5 ; 0; 0),

а ее центр

лежит на

плоскости

2ж + у - г + 3 = 0;

9) сфера проходит через точки Mi (1; - 2 ; -

1 ),

М2 ( - 5 ; 10; - 1 ),

М 3 (4; 1; И ),

М4 ( - 8 ; - 2 ;

2).

Зх + 2у — 6 z — 15 = 0, Зх + 2у - 6 z + 55 = 0.

1 087 . Сфера, центр которой лежит на прямой 2 x + 4 y -z -7

= 0,

4х + 5у + z — 14 =

0, касается плоскостей х + 2у - 2z - 2

= 0,

х + 2у — 2z + 4 = 0.

Составить уравнение этой сферы.

заданной одним из следующих уравнений:

1)

( я - 3 ) 2 +

(у + 2)2 + ( 2 - 5 ) 2 = 16;

2)

(я + I) 2 +

(и — З)2 + z2 = 9;

3)

я2 + у2 + zr - 4я - 2у + 2z - 19 = 0;

4)

я2 + у2 + z2 - 6 z = 0;

5)

я2 + у2 + z2 + 20у = 0.

я2 + у2 + z2 + 2я -

бт/ + г -

11 = 0,

перпендикулярного к

плоскости

5я - у + 2z - 17 =

0.

1092. Составить

канонические

уравнения

диаметра

сферы

я2 + у2 + z2 - х + Зу + z - 1 3 = 0, параллельного прямой

я = 2t —1,

у = - 3 1 + 5, z = 4t + 7.

1093. Установить

как

расположена точка

у! (2; —1; 3)

относи­

1)

(я - З)2 + (у + I)2 + (г —I)2 = 4;

2)

(я + 14)2 + {у - I I ) 2

+ (z + 12)2 =

625;

3)

(х - 6 г + {у —I) 2 +

(г — 2)2 = 25;

4)

я “ + у2 + z1 — 4я + 6 у - 8 z + 22 =

0;

5)

я2 + у2 + z2 - х + Зу - 2z - 3 = 0.

сферы

в

следующих случаях: а)

А ( - 2 ; 6; - 3 ) ,

я2 + у2 + z 2 = 4;

б) А (9;

- 4 : - 3 ) , я2+ у 2+ 2 2+ 1 4 я -1 6 у -2 4 г + 2 4 1 =

0; в) А (1; - 1 ; 3),

я2 + у2 +

z2 - 6я + 4у - 10z - 62 =

0.

2)

у =

1,

я2 + у2 + z2 + 4я

- 2у

- 6z + 14 = 0;

3)

я =

5,

я 2 + у2 + z2 - 2х + 4у - 2z - 4 = 0.

ры — пересекает ли, касается

или проходит вне ее; прямая и

сфера заданы следующими уравнениями:

1) я = - 2 t + 2, y = 3 t - l ,

z - t - 2,

я 2 + у2 + z2 + я — 4т/ -

3z +

| = 0;

2)

= | =

, я 2 + у2 + z 2 - 4я - Gy + 2z - 67 = 0;

3)

2я - у + 2 z -

12 = 0,

2я — 4у — z + 6 = 0,

я2 + у2 + z2 -

2я + 2у + 4z - 43 = 0.

а [(х - m i)2 + (у - пi ) 2

+ ( z - p i ) 2 - Д?] +

+

(3[(х - т 2 ) 2 + (у - п2) 2 + (z - Р2 )2 - Щ] = О

сти х2 + z2 = 25, у = 2 и х2 + z 2 — 16, у = 3.

1107 . Составить

уравнение

касательной плоскости

к сфере

х 2 + у2 + z2 —49 в

точке М\ (6;

- 3 ; - 2 ) .

1108 . Доказать,

что

плоскость 2х — 6у 4* Zz —49 = 0

касается

сферы х2 4- у2 + z2 —49.

Вычислить координаты точки касания.

1109 . При каких значениях а плоскость х + у + z = а

касается

сферы х 2 + у2 + z2 = 12.

1 110 . Составить

уравнение

касательной плоскости

к сфере

(х - З)2 + (у -

I ) 2 +

(z + 2)2 =

24

в точке

M i ( - 1 ; 3; 0).

1111 . Точка

M i (®i; 2/i; z{)

лежит на

сфере х2 + у2 +

z2 = г2.

ке M i.

Ах +

B y +

1112 . Вывести условие,

при котором

плоскость

+ C z + D ~ 0 касается сферы х 2 + у2 + z 2 = R 2.

1 113 . Точка M i ( ц ; yw z\) лежит на сфере {х -

а ) 2 + (у -

0 ) 2 +

+ {z —l ) 2 =

г2.

Составить

уравнение

касательной

плоскости

к

этой сфере в

точке

M i.

х = 3£ -

у =

5t — 11,

1114 . Через точки пересечения прямой

5,

z = - 4 1+ 9 и сферы (х + 2)2 + (у - I) 2 + (z + 5)2 =

49

проведены

касательные плоскости к этой

сфере. Составить

их уравнения.

1115. Составить уравнения плоскостей,

касательных

к

сфере

х2 + у2 + z2 = 9 и параллельных плоскости х + 2у —2z + 15 = 0.

1116 . Составить уравнения плоскостей, касательных

к

сфе­

ре (х -

З)2 + (у + 2)2 + (z -

I ) 2 = 25

и

параллельных

плоскости

4х + Зг -

17 = 0.

1117. Составить уравнения плоскостей,

касательных

к

сфере

х2 + у2 + z2 -

1 0 х + 2 у + 26г -

ИЗ =

0

и параллельных

прямым

ж + 5 _ у - 1 _z + 13

х + 7 _ у + 1 _

г - 8

2 " ' - а

“

2 ’

3

~ -2 -

0 '

1118. Доказать,

что

через

прямую

8 х

- l ly

+

8z -

30

=

0,

х — у - 2 z =

0

можно

провести две

плоскости,

касательные

к

Р е ш е н и е * ) .

П у с т Мь ( г ) —

п ро извол ьн ая то ч к а . О н а л е ж и т в

п л о с к о сат и

в том

и тол ько в

том сл у ч а е ,

ко гд а ве к тоMрQ M

п е р п е н д и кул я р е н

к п .

П р и ­

знаком

п ерп енд икул ярн ости век то р о в я в л я е т ся рав е н ство н у л ю

и х с к а л я р н о го

произведения. Т а к и м образом,

М Ь М Х п

в том

и то л ь к о в том с л у ч а е ,

к о гд а

Щ М •п =

0.

(