книги / Устойчивость и колебания трехслойных оболочек
..pdfи введем обозначения для следующих интегралов:
|
dl dz; |
(^f)2rf2; |
|
|
(2 .7 ) |
та |
А3З |
|
12 |
|
Функция f(z ) должна быть нормирована так,'чтобы К То, ti, Т2, Тз являлись безразмерными величинами, зависящими от закона распределения поперечных сдвигов по толщине заполнителя.
Пусть далее |
|
/ ( - ф = — ± - V - ' |
(2. 8) |
Учитывая первую формулу (2 .7), имеем |
|
т о = -£ -(*+ + * -). |
(2.9) |
Теперь можно перейти к вычислению перемещений деформаций и напряжений в слоях.
1.ПЕРЕМЕЩЕНИЯ, ДЕФОРМАЦИИ И НАПРЯЖЕНИЯ
Рассматривая заполнитель как трехмерное тело, на основа нии формулы для деформации поперечного сдвига
I Z |
ди* |
, |
d f |
(2. 10) |
S ? |
дг |
|
|
|
|
+ |
4 » |
|
|
имеем |
|
|
|
|
Я | * = в | + “ </(«) —я®,/. (—c < z < c ) . |
(2.11) |
Здесь, как обычно, нижний индекс I, следующий после запятой, означает частное дифференцирование по координате х<.
Тангенциальные перемещения поверхностей соприкоснове ния заполнителя с первым и вторым слоями (рис. 10, 1 1 ) соот ветственно будут
d +a t— cw j, z = c\
|
|
(2. 12) |
af8— — |
+ |
z = —c. |
Поэтому тангенциальные перемещения несущих слоев запишут ся в виде
tt)*=U i-\-ct+ai — cw <i — (z — c )w th ( с < 2 < с+ / г!); |
(2.13) |
|
и ) г = Щ — c<j.a, + c® ti — |
( — с — й2 0 < —с ) . |
(2.14) |
51
Деформации слоев определяются по формулам
&}j = |
etjJrCt+a lj Jr Cxl]Jr { z ~—с) |
||||
s<ij = |
^ U ~ ct- a ‘} ~ |
CxiJ + |
^z + c ) |
||
|
&U = e ‘i + |
f (z ) a U + |
z *i]' |
||
|
ез - a |
± L |
' |
|
|
|
e" _ a , |
dz |
|
||
ei ) = у |
(«и) + иj,t)+ |
kijw + |
~ |
||
|
a ij = * y |
(°i,) + |
ay.l)> |
||
|
*l} = |
- W j j . |
|
(2 .15) (2 .16) (2 .1 7 ) (2 . 18)
(2. 19)
Рис. 10. Распределение функции сдви |
Рис. 11. |
Распределение |
тангенци |
га по нормали оболочки |
альных |
перемещений по |
нормали |
|
|
оболочки |
|
Согласно закону Гука напряжения в слоях запишутся сле дующим образом:
[ 0 - • » ) • ? , + * „ ( • ? , - К . ) ] ; |
( 2 - 2 0 ) |
|
а? = Оа, |
. |
( 2 .2 1 ) |
1г dz
Перейдем к выводу уравнений равновесия.
2.УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ
Уравнения равновесия оболочки получим, используя прин цип возможных перемещений, согласно которому для равновес ных систем сумма работ всех внешних и внутренйих сил на вир туальных перемещениях равна нулю
— 6П + 6Л 1+ 6Л2= 0 . |
(2.22) |
52
В этой формуле 6П — вариация работы внутренних сил; 6Л 1 — вариация работы внешней нагрузки, приложенной к поверхнос ти оболочки; бАг — вариация работы внешних контурных усилий.
|
г |
|
|
|
|
s M |
t |
|
|
r Z r . |
|
Рис. 12. Удельные силы и |
<0 |
M u |
|
|
|
||
удельные моменты в слоях |
—< |
\ N l i |
|
трехслойной оболочки |
|
|
|
|
> 0 |
% |
* i |
|
€0 |
||
|
|
|
\ N i i
Вычислим вариацию работы внутренних сил упругости обо лочки с учетом сдвига в заполнителе, равную вариации потен циальной энергии деформации оболочки с обратным знаком.
C+fti |
—с |
|
[ J |
2 |
ah u ijd z + 1 2 °hu W z + |
с |
l,j |
- c-h, l,J |
' I I |
( 2 |
N ‘i be4 + |
2 я л + |
2 |
жл + 2 Q/°8a^dx^dx^. |
|
a |
\t,j |
|
t,J |
i,j |
l |
> |
|
|
|
|
|
|
(2.23) |
Здесь |
(рис. 12) |
|
|
|
|
|
|
|
|
N ^ N ^ + N ^ + N y |
(2.24) |
||
|
|
|
|
|
c t - N y |
(2.25) |
|
|
M ^ M y + M ^ + M ^ + c N ' - c N y |
(2 .26) |
|||
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
Qt°= j* ' l - l - d z ^ Q h w , . |
(2 .27) |
||
|
N ]h= I |
Nh= |
|
|
(2.28) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
(2. 29) |
5 »
C + h, |
—с |
|
J 3 } . { z - c ) d z ; |
M*} = j |
ajf (z + c )d z ; |
e |
—c—hi |
|
M U=3 |
j a\.zclz-, |
(2.30) |
J2 — площадь исходной поверхности оболочки.
Из приведенных формул следует, что Ыц и Мц представляют собой обычные в теории однослойных оболочек тангенциальные удельные усилия, приведенные к срединной поверхности запол
нителя, и обычные удельные моменты, тогда как Нц и Q; явля ются обобщенными удельными моментами и удельными попе речными силами, соответствующими введенным перемещениям.
Производя |
в |
(2.23) интегрирование по частям, получим |
|
— (* | |
|
“Ь"^ат.а |
Q/°) ^0/-f- |
в |
l |
i |
|
~f"[-^11,11“f" |
|
-j- ^22.22 kn N Ц 2АцЛ^1а |
-f- (® |
|
|
ii |
Г |
-j-(wtlN 12),2-|-f1®,2 -^12).i ~\~(®,2-^aa),a] 3®} dxxdx2 -f- j* |
2 X |
X dxi\oa+ I |
2 |
^ il^Ut”t“2 |
— Mnbw'i"b (-^u.i ~b2Af12>24* |
||
0 L |
i |
i |
|
|
|
+ ® .a ^ i2 + ® .i N u) 8w] dXi|$* - |
2Mlsbw\t0f , |
(2.31; |
|||
ii — линейные |
размеры оболочки в |
направлении |
x ,( i= l, 2). |
Вариация работы внешней поверхностной нагрузки, приведен ной к срединной поверхности заполнителя, запишется так:
|
8ЛХ= | | (Р1 Щ + |
+ Я^т ) dXjdx2, |
(2.32) |
{ р и |
р 2 , Я — компоненты поверхностной нагрузки в |
направлении |
|
оси *i, * 2, г ), а вариация работы контурных усилий |
N fJy //fr |
||
M fj, |
QP имеет вид |
|
|
8А ,= j |
( 2 |
№ « i+ 2 |
|
и* + |
|
и |
0 |
\ i |
i |
|
) |
|
|
|
|
|
|
+ f |
2 Wfi8e* + |
2 ^ fita/ -^ fi8 w .i + |
Q{8® U ^ lo , - |
2^f»8®|o,o‘- |
|
' |
1 |
|
|
■ |
(2.33) |
54
Подставляя найденные значения 6П, ЬА\, бЛ2 в |
формулу |
(2.22) |
|||
и приравнивая нулю |
выражения, |
стоящие перед вариациями |
|||
независимых перемещений, получим |
уравнения равновесия и |
||||
естественные граничные условия задачи. |
|
|
|
||
Уравнения равновесия записываются в виде |
|
|
|||
|
^1М + Л ^ ,.= |
- л |
; |
|
(2-34) |
|
|
|
|
|
(2.35) |
•4^11,11"Ь 2^12,12 “Ь 4^22,22 |
-^11 (^11 “h^u) |
|
|||
2А^И (^12“Ь Х12) |
-^22 (^22”Ь У22)”1"9 |
Pi®1,1 |
Р2®1Л ~^' |
(2. 36) |
Граничные условия будут рассмотрены ниже (§ 5).
3. УДЕЛЬНЫЕ УСИЛИЯ И УДЕЛЬНЫЕ МОМЕНТЫ СЛОЕВ
Вычислим сначала тангенциальные удельные усилия слоев. Используя формулы (2. 28), имеем
т |
Ч |
Eh |
Yi ( i - v ) ^ |
+ с^ + а г/+А1^" 3 *tj^J + |
|
||
1 _ V2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
[ekk~\~c^+a kk' |
hi + A3 |
|
|
||
|
|
|
x**l ] ; |
|
|||
|
|
|
|
|
|
hi 4- A3 |
|
N b = |
j z ^ |
y* [(1 _ v ) [e n |
- ct- a u - |
*'./) + |
(2.37) |
||
+ V^/y {^e bk~ Ct - a Hk |
^ |
|
♦ |
|
|||
№4 |
Eh |
|
|
|
vbl} (<?**+cXa4*)]. |
|
|
1 _ V2 Y31(1 ~ |
v) (ev + cX av) + |
|
|||||
Суммируя полученные удельные усилия, найдем |
|
||||||
|
|
|
м ч = т = ^ К* ■ -v) * „ + V е» ! + |
|
|||
|
|
ЕЛ2 |
V)(C12a i/_t- f lSX/^)+V^ ( C12a ftft_b ClSXftft)]' (2. 38) |
||||
|
|
^ _ |
v2) |
||||
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сп = |
к (YiU — Уzt-) + кУзК\ |
|
||
|
|
|
с1з = |
Yi (к + к) — Уа (к + к )’> |
|
(2. 39)
ekk= e ll~f~^22> aftft= all _b a22> xJ*= x uH_X22-
55
Формула (2.38) упрощается, если положить
|
|
|
|
|
Ul — Ui° Л—~ |
|
|
(2.40) |
|||
и потребовать выполнения равенства |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
£,i=Ci3W'i— Ci2aj. |
|
|
(2.41) |
||||
Тогда выражение (2. 38) принимает вид |
|
|
|
||||||||
|
|
A rv = T = V I ( 1 ~ H + * ' / , e U ' |
|
(2.42) |
|||||||
|
|
|
|
||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е Ь ^ |
у |
(a l j + uh |
+ w ,iW .j+k,,/w). |
|
(2.43) |
|||||
Используя (2.41), имеем равенство |
|
|
|
||||||||
|
^1)= |
у |
(*•/.j “1"^J.i) — |
c12a ij |
c13Xlj> |
|
(2.44) |
||||
из которого найдем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
^ 1) |
^/yYi+2^ _ |
v2j Yi {(^12 |
^иИО |
v) a/y+&<yva**] - f |
|||||||
|
|
+ |
(^13— Cis) [(^ |
V) xl) 4" |
}> |
|
(2.45) |
||||
^ l) |
N tj4t |
2(1 _ |
V2)^2 ^Cl2"bCu)K^ |
V) a i/ + ^'/va*ft] + |
|
||||||
|
|
+ |
(Г13 + |
С1з) [(^ ~ |
V) XO- + 8//VXJ»]K |
|
(2.46) |
||||
N U |
N ‘jV 3 |
2(1_ |
v2)Y8 {(Ci2 |
4>)[(1 |
v)a a + v 8 i/aJ |
+ |
|||||
Здесь |
|
|
+ |
С13 [(1 — |
v) *|у + |
v V J |
I ■• |
|
( 2 - 4 7 ) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C12 = V+! |
С \ Ч ~ ^ 4 — > ^13=^ + ^; кС13^^2 4*^3- |
(2-48) |
||||||||
Вычислим далее момент /У^. |
Используя формулу |
(2.29) |
и зна |
||||||||
чения интегралов |
(2. 7), получим |
|
|
|
|
|
|||||
H b = y h N i№ & + |
|
у^з {(г2У3— |
[(1 - v ) <xiy. + |
||||||||
|
|
|
+ ( тз4 — 3Xcu) [(1 — v) x;^+v?>/yxftfclb |
(2 .49) |
|||||||
Для удельных изгибающих моментов слоев после вычисле |
|||||||||||
ний имеют место выражения |
|
|
|
|
|
|
|||||
^ } j ~ |
|
|
+ - (1_ ^ |
Yi^i|(с12 |
с1з) [(1 |
v) a i j "Ь |
|||||
+ v8,уам] - | - tx-\-t3— смj [(1 — v)*ij+ v8/ys]| ; |
(2 .50) |
56
A fJ,= - L * jV I/YA + ^ 3v2YA {(‘?» + c«) K1 — v)«//+
|
+v8iiaM] + ( - i- 4 + ^+ Cl8)[(l-v )x ,v + v V * ft]} 5 |
(2.51) |
|||||||
M h ^ |
Щ f - v 2 ) Y^ a К1 ~ V) (*8°/) + |
*г^ + |
v8‘7 |
+ *“ Я‘ |
(2 - 52* |
||||
Обобщенные удельные моменты # и |
и полные удельные мо |
||||||||
менты Л4,7 согласно формулам |
(2. 25) |
(2- 26)- равны |
|
||||||
/ / ,.= 4 - АЛГ„с1а+ |
------^ |
-----{ти [(1 — v) Щ ,+ |
vS,7a J + |
|
|||||
7 |
2 |
7 “ |
12(1 — v2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ \ К1 —v) х,7+ v8« |
' |
!’ |
|
(2- 33) |
|||
|
4 2 |
АЛГг,с13+ ----- ™ |
— |
{Я3 К1 - |
^) «гу+ vSi/x^] + |
|
|||
|
11 13 |
1 12(1 — v2) |
1 |
|
|
|
|
||
|
|
_|_T)3[ ( l _ v) Х;/+ v8,}ч й 1- |
|
(2- 54) |
|||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ 1 = ^ (T2Y8+ 3 Y/ + + 3 Y^ ) - 3^ 2; |
|
|
|||||
|
|
■Па= Ч (Т3у3 - f 3Y^+ + |
3Yat- )+ |
|
|
|
|||
|
|
+ &3 Ш + + YA *-) - Зс1з^2; |
|
(2- 55> |
T)s= 4(Y A a + YA2)+^8Z(3Y i+ 3Ya +
+ Y3)+ 6^8 (YA + Ya4) “ ' Зсз2-
4.УРАВНЕНИЕ СОВМЕСТНОСТИ ДЕФОРМАЦИЙ
ИУРАВНЕНИЕ ПОПЕРЕЧНОГО СДВИГА
Пусть внешняя тангенциальная нагрузка имеет потенциал Ч7;
P t= -V ,< .
Тогда уравнения (2.34) |
будут |
тождественно |
удовлетворены, |
если положить |
|
|
|
N ^ |
b ^ F |
- F ^ + b ^ . |
(2.56) |
Выражая деформации efy через функцию напряжений F и по тенциал Ч7 и используя условие совместности деформаций
е11,22 "Ь С22,11 2е12,12 ~ ЬцИ),аа — 2ka WtJ3-f- |
|
+ k*№ ,u+ ® 212 - и |И® в . |
(2-57) |
57
приходим к уравнению относительно F (у^ __ |
Qjdx^ -f- д 2-Jdxf) |
||||||
|
|
|
v V ^ 4 - ( i — v) v 2X& = |
|
|
||
— E h (АцЗД.и— 2^i2'®,ia + |
^22'ffi'>u + ®;fii'ffi,,2a)- |
(2. 58) |
|||||
Рассмотрим |
далее |
уравнения |
поперечного сдвига |
(2 35). |
|||
Для этого представим вектор (ось 02) в виде |
|
|
|||||
|
|
а1=тД,1 + ф,2; <12 = 0 2—ф ь |
|
(2.59) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнения (2. 35) запишутся так: |
|
|
|
||||
— яс1а*h c W а |
' |
Efl3 |
Vs (•*11a -T ]a®)il+ |
|
|||
|
|
|
12(1 — v2) |
|
|||
|
|
Ehз |
|
|
!p,a); |
(2.60) |
|
|
|
2 4 ( 1 + |
tli(Va«p),a=OAt1(a 1+ |
||||
|
|
v) |
|
|
|
|
|
2 |
|
u |
Etfi |
V2^ — V ^ a — |
|
||
|
12(1 — v2) |
|
|||||
— |
A C „ W 2 4 - |
|
|
|
|
|
|
|
|
Eh2 |
-\ (V2?),i= GAatx (a a - |
<p,x). |
(2.61) |
||
|
|
2 4 ( 1 + |
|||||
|
|
v ) |
|
|
|
|
|
Полученные уравнения будут тождественно удовлетворены, |
|||||||
если положить |
|
|
|
|
|
|
|
4 -А сиФ |
Eh% |
V2 |
—ila®)= Ohbxxa\ |
(2.62) |
|||
|
|
12(1 — v2> |
|
|
|
||
|
|
|
Eh* |
’ll Уа<Р=ОАт1ф. |
|
(2.63) |
|
|
|
24(1 + v) |
|
||||
Пренебрегая |
в |
(2.62) |
первым слагаемым, введем функцию пе |
||||
ремещений х. удовлетворяющую этому уравнению, так что |
|||||||
|
w |
1л |
№ _a\ |
‘Чг А2 —а |
(2.64) |
||
|
= ( |
Г 5 ) * ’ 4 = - ^ T v> |
|||||
|
|
|
|||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
120<зТх(1 — у2) |
|
(2.65) |
||
|
|
Р |
|
ВЪ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение относительно <р запишется в виде
1 - |
v А |
* . |
(2. 66) |
|
— |
у |
+ * = + |
||
|
58
С учетом формул (2. 53) — (2. 54) получим
|
|
|
т]з |
дх\дхч |
+ ~Y h N nC12'’ |
|
|
|
|
|
|
|
1)3 |
dxidxi |
Н—~ h -^22cia» |
|
|
|
(2.67) |
|
|
|
|
|
H a = - D ^ - { l- v ) - ^ L - |
^ D ( 1 — v ) J L X |
|||
Чз |
dx^dx2 |
1 |
13 |
|
^ - 4 - ^ ) |
( ' - |
af ^ *)*+ |
||
+ e <, - ’ » t i 5 = + T * # - e- ' |
||||
- D ( l - v ) ^ - - ^ |
1 |
|
(2. 68) |
|
2 |
h N чаС\ь\ |
|||
7]3 |
||||
a2 |
,. |
»л2 |
v ) x + |
|
Ж „ = - Л ( 1 - , ) - ^ _ Д 1 |
|
+ T ° ^ ^ ( S - S ) + i ^ :
Здесь
/ ;= |
£A3 |
. n . |
A _ l l l 3 — |
122 |
(2.69) |
|
|||||
1 2 d -v *) ^3’ |
W |
|
|||
|
|
* |
В дальнейшем I B качестве основных параметров примем
т]з=6, Г120_1=у, ft; |
(2.70) |
для T)I и т)2 имеем выражения
4 = - “ -©, ^ Y 0 - |
(2.71) |
Рассмотрим уравнение равновесия (2:36). Оно после под становки выражений для Мц согласно (2. 68) примет вид
D 1 1 ■ y v |
j y ¥ x + (f » + W )(4u - % )- |
2F ,1Jf e - « |
a )+ |
+ |
F .u + 1) (^22—« .« ) = Я+ ’®p.iW.i+ |
f|® .2- |
(2.72) |
59
Итак, получили разрешающую систему уравнений (2. 58), (2. 72) и (2.66) с общим порядком, равным двенадцати, следовательно, на контуре оболочки нужно сформулировать шесть граничных ражение:
5.ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
Перепишем вариацию потенциальной энергии деформации <2.31) с учетом формул (2.40) — (2. 41)
т = - \ \ |
( 2 ^ + ^ 8й' ° + 2 [( я ».*-т ал^ ся)л+ |
S |
|
4~^7/и — |
j - h N v cn j ^— Qi°]8а*Н Y h |
4*W |
n . n4“2-44ja,xa4" ^ 22,22 -^ц(^и4"*и) |
( k a 4~*12)— |
||||
|
— ^ 2 2 (*22+ * 22)- «д Л - |
W.%P\8®) d X j d ^ |
|
|||
|
h |
|
|
|
|
|
|
4" ^ |
N ц Ъ и -°f- |
|
h - N f r C ^ Ь а—, |
||
— ^^22 |
— |
8^,a -j——h N |
n ClbbW t-lf-(^И22,24-2 |
4 - |
||
|
|
|
/в |
|
|
|
|
+ «дЛ71> + « д^ м)Лг]йГ^, + | |
[ ^ |
A W |
+ |
||
|
{ н л |
8аг |
( ж и |
—ACj^lVn^ 8даа -|- |
4-^AiVмr1^,2+(Л?nд + 2M1S,2+®,»ЛГu4-®l/711)8«^j<^лi|J,- .
|
- 2 М и М о о‘- |
(2-73) |
Интегрируя по частям подчеркнутые члены и обозначая |
||
— |
тг^ t ) ci2— а I)• |
|
Мц |
hNijCiz— М, |
(2.74) |
|
60