книги / Устойчивость и колебания трехслойных оболочек

®и =

«п -f--j- (®f)2+ ~

(е12+ шз)2;

®22 =

«22 -|------- («>1 ) 2

—

(^12 —

“>з)2;

(6. 12)

®12 = = « 1 2 ------ + —

(«22 —

«11) ®3 +

■“ «12 («22 + « l l) i

£ 13 =

s23—

0 -

Для заполнителя

® fi=«u +

-1 -Г -1 - ^ з - ш | ) 2+ ^ - ( ^ +

^ ) 2;

®22=

«22-|----— |— «23-f-“>lj -|---^ -(«12— <*>з)2;

(6.13)

® 12 =

«12 +

«13 — “ 2j

<323+ “ l j - f

+ — (« 2 2 — « l l ) “> з 4 ~ ~ « * 2 ( « 2 2 + «и )>

где «* и ш* вычисляются по формулам

«11—

Я ]

Й 1,1-| -(/ / g ^ l)

1^ 1 ,2 ^ 2 “l" ( 1

k]XZ )~

« 2 2 = = Я г

1ll2 ,2 -(- (-^з/g//1)

1 Й1 //2,1 —J—(1

k t i Z)~'i‘k n W\

« зз = ® > 1г;

2 в Ь =

//2/ У Г 1 ( Я а - 1» ! ) , !

+ Я 1/ / ^ ( Я Г ^ О . а ;

«13 =

« 1,2 — ( 1 +

k u z )~ 1k i l u\ 4 - Я

Г 1® ,!?

Учитывая, что Hi=Ai{\+kuz), получим

£и=(1 4"^1гг0 1 [Ai V ,i + Ai *А2

А1л112-\-

е*2= (1-(-^гг2)-1 [Аг lu,*,%-\-Ai !Лг 1А2Ли\-(- k22,w\;

£12=0,5(1 + k u z)-i [А Г Ч 1 -

W

A

, 2«f] - f

-(-0,5(1 -j-^222)_1 [Аг ^1,2 —Ai 1A%1Ля,1Иа]>

£12 “г *3 = (1 -(- к-ц2)—1 [Ai 1ti2, i — A i 1Аг 1 A12WI] ;

(6. 16)

£12 — т з = ( 1 -\-k?&z )~ 1 [A 2 *^1, 2— A I

!Аг lA2tji^ \

-y- £13 —m2 = (1 4~2^ii)-1 [Ai ltv,i —k^af];

£234” ml = ( 1 4” Zk<2^)~~1[A2 Wi2--^22^2]-

Пусть

^1—

Ai

^2---^22^2

A2 *2^,2-

Тогда тангенциальные перемещения точек слоев

u ] = u i -\-[\-\-kn { z — c)\c<il -\-zbi,

(C <

2 <

C+ A1);

и*= И /_Ь ■г (а/4-,<М>

( £ < 2 < с ) ;

(6.17)

И/=И/ — 1 1 -(■кц (z -)- с)] co<i 4-z^ i,

( £

h2^ 2-^! с).

Обозначим

еп = АГ1 и1Л 4- ArMrMi.gMj 4 -£ ци»;

^22= А Г 1и2,2 4 -А Г 1АГ1А1,1я1 4-А^®;

(6.18)

£12 — А1

Й2(^

Al

А2

А^>2й^,

£2I ^A 2

й^2

Ai

А2

А2)1и2,

Оц= Ai 1<х1>1 -}- Ai

Аг

А12а2;

(Z22==А2 С&2,2 +

AI

А2

А2дСЬ-^,

(6.19)

а12 =

AI

а2,х

Ai

Аг

A^jCtj,

^ai—^Аг

^1,2

Ai

А2

A2)id2,

%a ~ k n \Аг ^Щ.Л— Al Ai ^l.a^x] +

(6. 20)

t21 ==— А4

{kyiKi)ti

— -^I A2 A2,1kwft1

Ai A2

®f,ia+

+

Л 1 2Ai 1^x.2®,,x_b'|i ХАг 2А%17юл .

Тогда компоненты

деформации запишутся

следующим об­

разом. Для

первого и второго несущего слоя (нижний знак от­

носится ко второму несущему слою):

e h = ( \ i - k jjz ) - 1 [еи ± c a u ± c ( z

+ с)С ц + z x j;

«2 2 = 0 +

Ка,г )~г \Кг ± ««Ча + с (г

+ с)^2а+ 2каа];

^2 =

-|-( 1 +

*хх2 ) (1 + а д ) [еи + « а1 ± с а п

±

(6. 23)

±

«<Чх ±

2c ( z +

с) С1а +

2гх1а];

е\г +

<4^

(1 +

а д

- 1 [«12 ±

««ха +

**ха]5

ef2— < 4 ^ ( 1 + ^ г ) -1 [бах ±

C(Xax +

2tax];

~

«fa— < 4 ~ — [+ & ! + <?ах];

(6.24)

\ « i 3 - “i ~ - [ + К ± c « J;

j — 6 i j ZO.i j ~ Z t - ij,

(6.28)

°*1 = “Л + «12% + «11% + «и?

(6.29)

<I22==a2^2+ a21% + a22e22+

a225

-

a 12= Y 0l^2 4“ Y

° 2^1

~2

aj2^22

"I- "j* an% + Y

Y " Ct®*ei2’

^22= e22+ - j - eh + | V + j eh ;

% = Y (e12 + eti) + Y

aA + у

% % + Y % % ’

(6.30)

———- [(1 —v) —|—vS^ySft*] ,

(6.31)

J 1 — V*

(S*fc=Sn + S22; b4 = l ПРИ

is=J;

Ь‘} ^ °

при

г' ^ Д

Напряжения в слоях вычисляются по следующим формулам:

первый несущий слой ( c ^ z ^ c + h i )

с)

=

1 — Vj*

{(1 -

v) [еи -

сa*j — (г — с) c^l} +

z * J

- f

1

+ v8//

ca at~^(z ~ c)

}1

(6.32)

второй несущий слой (—с—

— с)

Д - ^ T z t j *(1 ~ v)

c a h ~ ( z + c) Л и + г х и] +

“J-vS/y \&kk

cdkk (z -J-с)

)>

(®* 33)

заполнитель (—c < z < c ) .

®/7=

Дз

a

((I - v

) [^ 7+

2 (a?7+

*f/)] +

vS<7 [em-\-z (aftft-{-xAft)] );

J

1 --■VV**32

(6.34)

°% = G a,.

(6.35)

Введем удельные усилия и удельные моменты

с-^Н\

—**

v

N\} =

f

a)fiz\

N ) } =

j

*\{lz\

N ij3 = j oSyjfz;

c

—c —h *

—c

C+Ai

.

-rf

M \ j=

I

ajj i z - ^ d z ;

M]j==

j

<52..(z -\ -c)d z;

(6.36)

—c —A*

M

^ j c ^ d z ;

Q 3=

j

°%dz.

—c

—c

Вычисляя, найдем

N ' „

=

v , {(1-

v) [ « :, +

ф

«

A + -J - m j& j+

+ & + « - * , „ ] + v [ Л + - S A - C * + - f - a ; , + m i ± u , „ ] ) ;

2

2

(6.37)

+ V

[ A - J~

’‘4 +

~

^

~

«»]}: (6.38)

wfj =

v, [(i -

v)«;,+ s„v «y;

(6.39)

.,1

Eh 2

M n = -

[« ’* +

- у -

M

2 (1 — v2)jY A {(l - v )

+ ( f + t ) Ч

+ л ' 4 г“ + т * “» + ^ : » + ( т + т ) 4 ) !

(6.40)

^ =

9

^ T A {(I - 1” [ ~ e'<+ f

ab

'« +

+

( Y '+ 'f " ) Axo] + v8'i [ —

+

—

(6.41)

ж:l j z

Eh 2

У Л

[0 - * ) ( < * ;,+

*//) +

V

( “» + * » ) ] ;

12 (1 — v2)

Qi3=G h t3ai.

(6.42)

MtJ= M h + K

+ M h + c (N }j- N b);

H ^ M ' v + c N ' n - c N ] fi

’

Щ = К - К

-

+ 8 , 7 V (c12a 44+ c 13y.M+ cc14C**)];'

(6.44)

6П—6Л—6В=0,

(6.50)

где 6П — вариация потенциальной энергии деформации;

6Л — вариация

работы

внешней

поверхностной

нагрузки;

бВ — вариация

работы

внешних контурных сил.

Вариация потенциальной энергии деформации

выражается

следующим образом:

£а

[ C + h i __

£ /_

ч

8П =

j j

j

2

a‘ibeUdZ + И

2

°h bsU+ 2 °« 8е?з) d z +

Ei ’ll

l с

I,)

—c \l,j

I

/

+ .

j

AxA^dxxd x it

(6.51)

—c—hi t,j

)

которое

на основании

(6.26) — (6.28) и (6,36), (6.43) приво­

дится к виду

Ш =

f [ 2

1^ е и

+

= f

Е.Ч. Li.y

4 ~ 2 Q fiai

AxA2d x xd x it

(6.52)

где

Ъ. и т|1, т|2 — координаты краев оболочки в направлении

осей координат х х и хг.

Учитывая, что

Ье*п — S(?u -|-V & i

^128^x2»

8^22 — 8е21“Ь ^28^2 4 " e 21^ e 2V

E>x4-

(6.53)

4---- ”

^128^22 4 “

е 2$

е У& 4 "

e 21^e u 4 " g

после подстановки (6. 53)

и (6. 52)

и интегрирования по частям

представим 6П в виде

Е* ^а

— It^w — ЬАЬаг— ^5^ 2]

dx%-|-

Ш = j* j I —

Ei ^1

- f j

I xd x x-)- j

I 2dx a,

(6.5 4 )

Ei

’ll

^1— (Л -^ ц ),1 — A2txiV22-f- Ai 1 (A ? N 12),2- f kn (A 2 Mu ) X_

— ^11^2,1^22+2i4i (^пА?^12),2 + (А,2е12— ^

иЛ1Л2) N

I

+ ( ^ i ^ 2 iT V 2 2 ) , 2 + ( A 2G21N

1 2 ) ,1

+ ( ^ x 6 x li V 12) a _|_

4“(А,2е22

e12^2,l

^1^2^Ц^2) A^ls;

^g ggj

L 2= - ^ 1.2^11 +

(^ 1^ 22),2+

ЛГ1 (^ 2W 12)iX- f

(Л2/^22) a __

^22^1,2^114“2Л2 (^22-^22^ 12)il_b (^ 2ei2A^11) x |

“t- (-^2,1^21

^2^22-^1^2) -^^2“t_ (■№12g12^l),2+ (Ла./У12е22) 1 -)-

~\~{^цЛгл

&1Л1Л2^22

e2X/4l,2) Л^и;

(6.56)

LS = (A I {А2Мп)л) x

(Л2

ЛХ|2/И1Х) 2 —f-(Л2 2(Л22А/12) х) а-_|_

~Ь(Лх 1 (A iM 12)i2)tl-\- (А^1{AIM W),2),2 ~ {A T 1А2лМ^)л ~.

ЛхЛ2 (ixiiV ul ^22^ 22)

(Л2»^Уи)д — (Лх&2 ^ 22)12 —(Л1&1тУ12)

— (Л2&2-/Ух2),х~' (ЛХЛ2^22ех2 +

ЛхЛ2<?2,&ц) ДГ12;

(6.57)

Ll = {A2^хх),х

^2,X^22+^1

(^х2^хг).2“Ь ^цС (Л2/Иц) х

^11сЛа>1Ж22-|-2сЛ1

(^цЛх2Л^12) 2 — Л1Лг<513;

(6.58)

А1лН и -]-А2

(Лг/^хг^х+ ^цС (А1М ^ )г_

^гг^х.г^н -f- 2сЛ2

(^22Л22Л112)л— ЛхЛ2(223;

(6. 59)

/х =

{(-^22 “Ь^22 ^ 22) ^М2 “Ь(-^УX2 “b 2 ^xlAf12) 8«X4~

-\-{Н2яЛ~Ьт.сМъ2) 8о2-|-(/7хг-j- 2kuCMi2) 8ах— Л/22Л2 18вд , +

-|-(ЛхЛ2) 1 [(ЛхУИ22) 2

Аъ2М11-\-2{А2М1^л -\г А1А^^Ъ&)-\-

+ e 21N ^ u 1+ e 11N 12Zu1-\-el2N l2bu2-

M

V ® ~ & Л 8®} Лх;

(6.60)

^2= 1(-^IX+ ^хх-^хх)8йх"Ь (-^Х2 + 2^22^хг) 8мг+

-(-(//хх“Ь knpMi\) 8ах

( Hl2-j-

8а2 —MuAi 18*гех>—[—

“Ь (ЛхЛ2) 1 [(А2Ми )л

A2llMw-j- 2 (А1М12)л

ЛхЛ2(?2] 8®) -J-

Ь ill

tv

g ( l

0 + * k i * ) 0 + k nz)dzA 1Aifix 1dx2a£

Ei ’ll

6

5 j Я ( l + e h +

e22) ( w + ^ r *u® 2+ Y *»® *) AxA2d x xd x ^

Ei ’ll

E« ’ll

Ei ’ll

+

+

^ 2,1«2+ * 11® + * 22®) 8® - {{A2qw )A-

Ei %

(AS<7®).I + Л,!?®] 8й!+

ЪА=ЪАч+ЪАр= ^ J {И И 2Р1 -

Ei ^1

- f [ А А Р * - (Л<7® ),2+ ^1,2<7®] 8«2 +

<? [ Д Л + А > « Ы +

Л «2.2 +

+ Л .2«2+ А , Л + + *

22®]8®} d x 1оГх2,

(6. 62)