книги / Модели и методы обеспечения функциональной и технологической воспроизводимости интегральных микросхем
..pdfПредставим вектор допусков Ьх в матричной форме в виде диа гональной матрицы 6*=diag(6*2, где бх= {6*i, . . . . 6лгЛ> — вектор допусков. Предположим, что_д(бх) является убывающей функцией
от бх такой, что q(a8x) < q (6 x ) для а > 1 . Тогда задача назначе ния допусков формулируется следующим образом:
<7(Sjt) -* m ing(sV)— > 5 **, |
(3.100) |
при условии Вбх[хи> 1] = {x|||6jrI(ic—jfH)||p= l)c :^ A . Необходимо подчеркнуть, что если допустимая девиация 6х{ возрастает, то до пустимое изменение х* по отношению к его номинальному значе нию увеличивается и стоимость производства i-ro элемента умень шается.
В общем случае задача назначения допусков (3.100) является задачей нелинейной оптимизации с ограничениями, однако путем преобразований ее можно свести к эквивалентной задаче линей ного программирования без ограничений, осуществляя при этом поиск решения в области RA-
3.4. ФОРМАЛИЗАЦИЯ МЕТОДОВ ПРИНЯТИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИИ
3.4.1. Определение и анализ обобщенной критериальной функции
В настоящей работе задачи принятия решений преиму щественно формулируются в терминах задач одно- и многокрите риальной нелинейной оптимизации. Поэтому с учетом специфики ИМС и процесса их производства необходимо оценить ряд фор мальных методов принятия решения, уделяя при этом особое вни мание решению многокритериальных з.адач.
Известно, что многокритериальные методы оптимизации явля ются естественным расширением традиционных методов оптимиза ции по одному критерию оптимальности. В традиционных методах оптимизации с единичной критериальной функцией q(x) точка х*— это минимальное значение функции, если <7 (х*) <:<7 (х) для всего вектора х. Это неравенство подтверждается тем, что реально можно получить окончательное значение функции, которое явля ется минимальным.или, в крайнем случае, равным предпоследнему ее значению. В случае нескольких критериальных функций, как указывалось выше, может возникнуть ситуация, когда с уменьше нием одного критерия возрастает другой. Тогда необходимо искать некоторое компромиссное решение для задачи многокритериаль ной оптимизации.
Формализуя методы решения, введем некоторые обозначения. Пусть имеется я-параметров проектирования; Хи £=1, 2, 3, . . . , п, которые в методах оптимизации представим как n-мерный вектор а= (хи . . . ,хя) т.
101
Вектор х удобно рассматривать как точку в л-мерном прост ранстве входных параметров. Обозначим т критериев проектиро
вания q j, у = 1, |
2, . . . , т |
как m-мерный вектор |
Q (x); |
|
Q (x) = |
[<7i (x ),q 2(x), •••,?„,(*)]• |
|
В дальнейшем |
Q(x) рассматриваем как точку |
в m-мериом про |
странстве выходных параметров.
В общем случае задача оптимизации рассматривается и реша ется в некоторой области, которая образована набором граничных
функций-ограничений: |
|
|
|
|
Л . ( ? i W » 0 , |
i = l, •••,* |
или |
: ( 0 W |
> О, |
|АДх) = 0 , / - 1 . - . . / > |
|
| / / W |
= 0 . |
|
В этом случае задача |
многокритериальной |
оптимизации состоит |
||
в одновременной минимизации всех т частных критериев: |
||||
q j(x ) -*■ |
m in = :> х*, |
/ = 1 , |
|
(3.101) |
|
х е R |
|
|
|
Действительно, решая независимо каждую из т задач скалярной
оптимизации, |
получаем т оптимальных локальных решений: |
|
|
х] : q} (Xj) = min q} ( x ) , j = 1, •••, m. |
|
|
x e R |
|
Правда, если частные критерии оптимальности |
qj(x) «конкуриру |
|
ют» между собой, то не существует точки |
значение которой |
|
минимизирует |
одновременно все составляющие вектора Q (x). |
Другими словами, такое решение должно быть компромиссным. Для его описания введем ряд определений.
Определение 1. Областью допустимых решений в пространстве входных параметров называется область Ran, состоящая из мно
жества всех |
параметров проектирования, для |
котор,ых |
выполня |
|
ется условие |
_ |
_ |
|
|
|
RM = { x \ G (x )> Q , |
Н {х ) = |
0}. |
(3.102) |
Определение 2. Областью допустимых решений в пространстве выходных параметров называется область /?дт, которая является отображением RAn посредством вектора критериальных функций
« „ = « 1 в - « £ ) . * € « „ > • |
<3103> |
На основе этих определений можно охарактеризовать |
локальное |
и глобальное компромиссное решение. |
|
Определение 3, Точка х* является локальной компромиссной точкой тогда и только тогда, если не существует некоторого при ращения Дх, которое (х+Д х) е Я дп и
|
<7/ (Jc* 4- Дх) ^ qt (х *), i = 1, •••, т, |
(3.104) |
или |
?Д х*+Д х) < q j{ x * ) для некоторого /. |
|
102
Отображение локальной компромиссной точки является локаль ным компромиссным решением.
Определение 4. Точка х* является глобальной компромиссной
точкой тогда |
и только тогда, |
если не существует x ^ R an такого, |
|||
что |
_ |
_ |
|
|
|
|
Й1(-*) ^ |
<7< (**), |
i = l, |
(3.105) |
|
или |
Qi(x) <Cqj(x*) |
для некоторого /. |
|
||
В общем |
случае существует |
большое количество |
компромис |
сных точек для данного класса задач. Совокупность компромис сных точек определяет множество компромиссов. Отображение множества компромиссов посредством Q(x) назовем множеством компромиссных решений, или, для ясности, поверхностью компро миссов.
Таким образом, на основании приведенных определений можно сформулировать две главные задачи. Первая — как можно полу чить компромиссное решение? В общем таких решений бывает множество. Поэтому вторая задача — как найти окончательное компромиссное решение на поверхности компромиссов путем эф фективных вычислительных средств?
Сделаем допущение, что Нят является компактным замкнутым множеством, а минимум каждого частного критерия q(x) — един ственный. Кроме joro, Rm находится в первом квадранте, т. е. q (x )f= R am при g ( x )> 0 .
Обобщенную критериальную функцию назовем функцией по лезности [126], которая определяется «взвешенной р-нормой», т. е.
ф |
|
Ш, /7] = |
||ш?||р, l^ p jg o o , |
(3.106) |
где (o = diag((oi,. . . . |
u>m), (Bj^O, / = 1,. . . , m |
|
||
и |
II |
И' = |
[ l ! ( “V/ * |
|
|
|
|
[ j - i |
|
Компромиссную точку можно найти, минимизируя выражение (3.106). Процесс минимизации геометрически интерпретируется в процесс получения и последующего анализа некоторых уровней
множества решений Ф[р, ш, р], т. е.
L (и),р,а) = {^| ф\q, ш,р] ^ а}, |
(3.107) |
где а — некоторое постоянное значение, о > 0 . На рис. 3.7 показаны эти уровни, полученные из выражения (3.106) при ю =1 и р = 1,2
и оо.
Из рис. 3.7 видно, что, используя максимальную норму, можно получить все компромиссные решения, изменяя значения весовых коэффициентов и минимизируя значение (3.106) с учетом огра ничений. Дальше покажем, что целый ряд обобщенных критериев оптимальности является частным случаем функции полезности, которая определена «взвешенной р-нормой» (3.106). Более того, если Ф (й* ) < Ф ( й) Для всех возможных значений q, то q* будем
1 0 3
называть единственным минимумом функции Ф[со, q, р]. Для под тверждения данного положения сформулируем теорему.
Теорема. q * ^ R am является |
компромиссным решением |
|
тогда и |
||||
только тогда, |
если существует |
вектор |
со = diag (со)_, о > 0 |
такой, |
|||
что q*{x) есть |
единственный минимум |
функции |
HcoplU |
в |
облас |
||
ти ЯЛт. |
|
|
|
для некоторого со^О |
|||
Доказательства. Д о с т а т о ч н о е . Если |
|||||||
q*(x) является единственным |
минимумом |
выражения |
ИсорН» в |
||||
■ 41 |
области поиска решений RAm и не является |
||||||
компромиссным |
решением, |
тогда |
|
должна |
исуществовать некоторая точка q ( x ) ^ R Am,
7
|
|
|
Ч* |
|
/ У \ |
q |
|
Рис. |
3.7. |
Уровни |
мно- |
. жеств |
решений |
для |
|
функции |
полезности. |
для которой q i{x )^ q \ {x ) для всех i и q,X
X (*) < <?*(*) для |
некоторых |
/. Допустим, |
||||
o )j# 0 , тогда |
m qi{x) ^ m q * { x ) |
для всех |
i и |
|||
torfj(Z) |
{х) для_некоторых /. |
|
||||
Следовательно, |
||о>- ^ j|oo<; II со •^*Цео, |
что |
||||
противоречиво. |
|
|
|
|
|
|
Н е о б х о д и м о е . Если q * (х) является |
||||||
компромиссной |
точкой, то пусть |
co = diagX |
||||
X [1/^.i(■ *)> |
•••• |
Q'm (*)!• Тогда |
||<D-$*|U < |
‘< j ! со-<71|„о для всех pjx) е Я дт, кроме тех критериев, для которых 9 (х )е Д дт, q{x)=£<q*{x) таких, что
|
|
(3.108) |
или q j(x )^ q *j(x ) для |
всех |
t. Однако, поскольку q (х)ФЩ *(х ), это |
свидетельствует о том, |
что |
q j(x)<zq *(x) для некоторого / и, сле |
довательно, q*(x) не является компромиссным решением, что явно противоречиво.
Заметим, в данном случае не сделано допущения о том, что каждое компромиссное решение имеет единственный вектор весо
вых коэффициентов со, хотя это является фактом, так как если
найдена |
компромиссная точка |
с использованием |
вектора |
то ее |
||
можно |
определить, используя |
преобразование вида со=Хсэ |
Я > 0 . |
|||
Однако |
для каждого компромиссного |
решения |
q(x) |
существует |
||
вектор |
весовых коэффициентов такой, |
что если |
q*(x) |
единствен |
ный минимум функции Цсо'^Ноо, то min||a)*-9 *!|oo = l. В дальнейшем такой весовой вектор называем «каноническим весом» для ком промиссного решения при р = оо.
Для последующего использования «взвешенной р-нормы» или функции полезности (3.106) необходимо определить функциональ
ную зависимость между вектором весовых коэффициентов со и значением компромиссного решения q*{x ).
Известно, что, если точка р* (х) является компромиссной и най дена путем минимизации выражения (3.106), градиент «взвешен
ней
ной р-нормы» по q*(x) должен бить равным и направлен в про тивоположную сторону нормали к поверхности компромиссов в точке q *{x ). Обозначим через S* нормаль к поверхности компро миссов по q*{xy, которая нормализована таким образом, что
s*T? * = l . |
образом, если q*(x) |
определена на выпуклой части по |
Таким |
||
верхности |
компромиссов и min||co(l)9 l|t=l, то этот минимум имеет |
|
место при |
q { x )= q * ( x ), когда |
o>(l)=s\ На основании этого на |
ходим выражение для канонического веса щ(р) для каждой р-нор мы таким образом, что если q^(x) — компромисс и определен пу
тем минимизации значения ||ю(р) *р!|Р, то его минимальное значе ние должно быть равно единице при q (x )= q * (x ).
Предположим,
|
|
V ,IM p ) - ? | l,b - ;- = r*. |
(3.109) |
|
Это подразумевает, что |
|
|
||
|
|
» 4 , { р ) я 'У ~ 1) |
_ s . |
|
|
|
111“ (/*) 9*|| 1р-1 |
’ г |
|
Однако выше было сделано допущение, что ||о)(р)р*||р = 1. |
||||
Таким образом, |
|
|
|
|
Выражение |
(3.110) |
назовем выражением канонического веса, опре |
||
деленного |
при q {x )= q * {x ) для р-нормы. Анализ |
выражения |
||
(3.110) показывает, |
что если р = 1, то |
ш(р) =diag(s*) |
н |
Пт ып (р) = l/qj, (q 'j> 0 ).
р-® Таким образом, выражение (3.110) справедливо для всех значе
ний р, если выполняется требование ||со(р)<7*||Р= 1 для всех р. На основании вышеприведенных выражений можно сделать вы
вод, что применение функции полезности, представленной в виде «взвешенной р-нормы» (3.106), а также вектора «канонических весовых коэффициентов» (3.110), дает возможность генерировать целое семейство обобщенных критериев оптимальности для реше ния многокритериальных оптимизационных задач.
3.4.2. Декомпозиция обобщенной критериальной функции
Использование обобщенной функции полезности (3.106) позволяет генерировать ряд критериев оптимальности, которые наиболее часто встречаются в задачах многокритериальной нели нейной оптимизации. Для получения таких критериев введем из вестное понятие «расстояние».
Юб
Расстоянием называется вещественная функция, определенная для любых точек х и у в евклидовом пространстве R n, обладаю щая следующими тремя свойствами:
1) d ( x , x ) = 0; d (Я у) > 0 ; х Ф у;
2 ) d (x ,y ) = d(y,x)\
3 ) d ( x ,~ y ) ^ d ( y ,z ) + d ( x ,z ) .
Примером расстояния является выражение
= [ t |
(3.111) |
где х = (Xi, . . . , хп) т и у = (у\, . . . . уп) т. Когда указанные точки яв ляются параметрами некоторых функций q (x ), то выражение (3.111) является частным случаем функции полезности (3.106), а именно: если qi = qi(x), а q2 = q 2 {y), то расстояние между этими функциями в евклидовом пространстве запишем в виде выражения
|
ф (?. » .Р ) = Гшl<7i й |
- |
<72 (У)] lip. |
|
(3.112) |
||||
Предположив, |
что о —-1, |
выражение |
(3.112) перепишем в |
виде |
|||||
Q(<7. Р) = II <7i (х) - |
q 3 (у) || или |
для р = 2, |
|
|
|||||
Q (?.2) = | | ? ,(J) - ? ,(y )l| s = |
| £ |
[ ? , W |
- j » ( y . ) ] , J,e |
(З.ПЗ) |
|||||
Соответственно для р = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q 6 . i) = i ; i J , W - ? . ( y . ) | . |
|
(зли) |
||||||
|
|
i - 1 |
|
|
|
|
|
|
|
Графически выражения |
(3.113) — (3.114) |
соответствуют |
областям, |
||||||
показанным на рис. 3.7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если минимизировать частные критерии в отдельности, то не |
|||||||||
которое «идеальное» решение определяется как |
|
|
|||||||
где |
|
л |
|
|
|
б)}. |
|
(3.115) |
|
|
min |
q j ( x ) . |
|
|
|
||||
|
|
Q j= |
|
|
|
||||
|
|
|
qj e Rim |
|
|
|
|
|
|
Но вполне |
очевидно, |
что в |
большинствеслучаев |
решение |
(3.115) не будет оптимальным (компромиссным) для разрабаты ваемой схемы. Поэтому для получения компромиссного решения целесообразно использовать выражение
( |
* |
_ |
л _ \чр |
(3.116) |
min Q = |
V |
\ q j { x ) - q j { x ) ¥ \ , |
||
I |
t-i |
|
J |
|
106
где <7j(jc) — оптимизируемое значение частного критерия; q} (x) — требуемое значение этого критерия.
Таким образом, критерии оптимальности (3.33), (3.34), кото рые применяют для решения задачи назначения допусков, являют ся частным случаем обобщенного критерия (3.116). В заключение необходимо отметить, что критерий (3.116) довольно часто ис пользуют для получения требуемых амплитудно-частотных харак теристик в процессе проектирования усилительных схем, миними зируя средиеквадратическое отклонение (расстояние) реальной характеристики от характеристики, заданной по ТЗ.
Согласно теореме Куна—Таккера задачу многокритериальной оптимизации можно трансформировать в последовательность за дач минимизации частных критериев оптимизации. Такую задачу
решают путем выбора вектора весовых коэффициентов <±>= {cot, . . . , (йт } г , оа^О для обеспечения необходимой важности частных кри териальных функций и формулируют для общего случая в виде
Q (», q) -* min [«т? 6 Г ) ] = > л * . |
(3.117) |
яСх)**А |
|
Или, с учетом поиска решения в области выходных параметров, задача (3.117) формулируется как
Q(u>, q )-+ min [шт ? ( * ) ] = :> q *(x ). |
(3.118) |
При такой постановке задача оптимизации (3.118) является част ным случаем обобщенною «критерия полезности» при р = 1 , т. е.
Q ( • .* ) - * min Q (« ,9 )H N g (x )| li= £ |
(З.И9) |
j -1 |
|
Таким образом, аддитивные критерии оптимальности (3.70), (3.75) являются также частным случаем «функции полезности», которая определяется «взвешенной р-нормой» (3.106).
3.4.3. Выбор вектора весовых коэффициентов для получения компромиссных решений
При решении задачи многокритериальной оптимизации в общем случае можно получить множество компромиссных ре шений. В этой ситуации перед разработчиком стоит задача выбора приемлемого решения. Однако в большинстве случаев не суще ствует формального подхода или метода выбора (за исключением тривиального). Поэтому целесообразно рассмотреть некоторые методы, позволяющие разработчику находить удовлетворительное решение. В общем эти методы используют вариацию весовых век торов для получения различных решений. Правда, для тех задач,
вкоторых весовые коэффициенты определяются техническим зада
ют
нием или физическим содержанием, задача выбора приемлемого решения на множестве компромиссных теряет смысл с точки зре ния вариации весовых коэффициентов.
В предыдущем_параграфе выражением (3.110) определен «ка нонический вес» «а (р) для получения компромиссного решения
Для поиска «канонического веса» следует знать предварительно значение s* и q *(x ). В этом случае поиск компромиссного реше ния осуществляют путем выбора весовых коэффициентов и исполь зуют два общих подхода: во-первых, следует попытаться получить или аппроксимировать всю поверхность компромиссов, во-вторых, применить интерактивный метод, которой позволяет с помощью разработчика относительно быстро отыскать решение, которое удовлетворяет его.
Приведем несколько методов поиска компромиссного решения, которые базируются на получении переменных значений весовых
коэффициентов. |
|
|
|
|
Один из методов [127] основан |
на |
минимизации |
аддитивной |
|
функции вида |
т |
|
|
|
Q ( * , q ) = |
V |
. r |
q j C x ) . |
(3.120) |
|
) - 1 |
|
|
|
При этом на каждом й-м шаге минимизации значение весового |
||||
коэффициента <а:- изменяется по следующей формуле: |
|
|||
ш*+1 = |
а*+». ш*, |
(3.121) |
где а — положительная случайная переменная с математическим ожиданием та = 1. Программа оптимизации рассматривает Q(a>, q) как фиксированную функцию, а выбор а к приводит к ее медлен ному изменению. На каждом итерационном шаге точка хк анали зируется как «успешная» таким образом: I) хк — компромиссная, если принимаются во внимание все известные компромиссные точки; 2) расстояние от хк к любой известной компромиссной точ ке является большим, чем некоторое предельное (пороговое) зна чение. Процесс поиска продолжают до тех пор пока не будет до стигнуто требуемое расстояние между предыдущей и последующей компромиссными точками. Такая процедура дает возможность по лучить равномерную аппроксимацию поверхности компромиссов.
Описанный метод имеет очевидные недостатки. Если рассмат ривается многокритериальная задача с ограничениями, то он дол жен исключить получение недопустимых решений, а это почти невозможно обеспечить. Вместе с тем, если область поиска не явля ется выпуклой, то не совсем ясно, как пользоваться этим методом. Тем не менее предлагаемый метод можно использовать для поиска требуемого решения в интерактивном режиме работы.
Рассмотрим второй метод, основанный также на минимизации критериальной функции вида (3.120). При этом должно выпол-
108
няться условие, что в выпуклой части поверхности компромиссов компромиссное решение q*{x) является функцией от весовых ко эффициентов. В этом методе компромиссное решение q *(x ) рас кладывается в ряд Тейлора относительно весовых коэффициентов:
(3.122)
С учетом такой локальной аппроксимации поверхности компро миссов новые компромиссные решения можно получить путем из менения весов с использованием ряда Тейлора. Такая процедура требует вычисления выражения
(3.123)
Выражение (3.123) характеризует кривизну поверхности компро
миссов в точке q*{x). Это можно показать, поскольку со действи тельно коллинеарен нормали к поверхности Ram в точке q*{x). Следовательно, при помощи этого метода осуществляют поиск второго порядка информации о поверхности Rnm, а в теории опти мизации известно, что расчет вторых производных требует боль ших вычислительных затрат.
Рассматриваемый метод разработан для получения большого числа компромиссных решений. После их получения разработчик выбирает требуемое. Если такого решения нет, то необходимо по вторить процедуру. Другими словами, разработчик не имеет чет кого механизма предпочтения или направления процесса оптими зации. Поэтому рассмотрим методы, которые позволяют анали зировать проблему многокритериальной оптимизации как интер
активную.
В одном из таких методов [108] сделано допущение, что не известная «функция полезности» Ф(?) существует, однако нет фор мальных требований для принятия решения. Если «функция по лезности» известна, то ее можно просто минимизировать и опреде лить эти требования. Для неизвестной функции Ф(<7) в работе [108] приведено следующее выражение:
При возможности аппроксимации градиента-направления (3.124) осуществляют итерационный шаг в области Rm для минимизации ф (^ ). Рассмотрим следующий вектор, который является коллинеариым с (3.124):
|
|
|
(3.125) |
или |
ддх |
# dqL |
(3.126) |
|
dqt ' |
’ d9q,\m |
|
Используя выражение (3.126), получают информацию о величине, на которую можно изменить значение q\(x) для увеличения (уменьшения) q2(x) в аппроксимированном выражении
|
|
0<7i/d<72»A<7i/A<72. |
|
(3.127) |
Применяя |
такую |
аппроксимацию выражения |
V 5 [ 0 |
(^ ) ] , осу |
ществляется |
шаг для |
поиска лучшего решения, |
после |
которого |
разработчик дает ответ о продолжении поиска или получении тре
буемого решения. |
|
|
|
_Если |
выбрать |
в качестве функции полезности |
выражение |
II©, ?lli, |
то вектор |
весовых коэффициентов запишем |
как |
V , [ * ( ? ) ] - 5 .
В_этом случае выбирают такое <о = diag (со), которое минимизирует
M l i , |
а |
затем разработчик |
принимает |
решение |
об изменении |
||
qi(x) |
на |
некоторую величину, |
которая |
приведет |
к уменьшению |
||
Я){х), |
и формируется новый вектор |
весовых коэффициентов |
|||||
|
|
[ |
l , A y i, |
, А<7« |
(3.128) |
||
|
|
I |
’ Д?2 * |
’ Aqm |
|
Затем опять минимизируется выражение \\a>q\\i для поиска нового решения и т. д.
Интересным является метод [126], основанный на аппрокси мации области поиска решений. Для получения аппроксимирую щей области осуществляется минимизация и максимизация част ных критериев оптимальности путем решений ряда однокрите риальных задач оптимизации. Затем формируется вектор, который определяет полное минимальное значение критериальной функции
Q(9)min= |
(ЗЛ29) |
Аналогично определяется вектор максимального значения крите риальной функции
Q ••• . » „ « . « > • <зл з0>
Если разработчика не удовлетворяет новое компромиссное реше ние, скажем qh(x), он может изменить некоторые составляющие вектора qk, например уменьшать t-й и /-й векторы. Тогда выраже-
ния |
, |
. |
_ |
|
|
Д<7а — |
|
Q a m ln , ® — 1%J \ |
|
|
А^от *= Qm max |
(3.131) |
||
формируют новый вектор весовых коэффициентов |
||||
|
<»fe+i = |
A?i |
' &Яг ' |
(3.132) |
|
|
’ Д<7г |
’ А^и J ' |
|
U0 |
|
|
|
|