книги / Механика деформирования и разрушения горных пород
..pdfДля аппроксимации единой кривой ь работе [31 ] предлагается использовать параболу
е? =/с2 [х —Туехр(Яс)]2, |
(1-45) |
где к2 — коэффициент, значения которого для различных типов пород приведены в работах [31, 32].
Рассмотренные выше особенности пластического дефор мирования горных пород, а также приведенные в работах [31, 32], позволяют сформулировать уравнения пластического деформирования горных пород. Традиционно при этом они могут быть записаны в рамках деформационной теории пластичности или теории пластического течения.
Уравнения деформационной теории пластичности. Основные положения деформационной теории пластичности горных пород:
1)тело изотропно;
2)относительное остаточное изменение объема горной по роды при пластическом деформировании может быть записано
ввиде зависимостей (1.22)—(1.26), что следует из результатов экспериментальных исследований;
3)тензор деформации ТЕ является функцией тензора на пряжений Т0
ТЕ= ^(Т0). |
(1.46) |
Выбирая в качестве тензоров девиаторы напряжений и де формаций, можно показать [32], что в самом общем виде связь между ними для любого изотропного нелинейного тела может быть представлена в виде
^ X D . + Y ^ D a2- -2I 2(Da) T ^ , |
(1.47) |
где Dt, Da— девиаторы деформаций и напряжений; Т ,— еди ничный тензор; /2(£>0) — второй инвариант девиатора напряже ний; х, Y — некоторые искомые функции инвариантов девиатора напряжений.
Опытами установлено, что при простом нагружении имеет место подобие напряженного и деформированного состояний. В этом случае между девиаторами деформаций Dz и напряжет ний Da существует линейная связь
DC= XD„. |
(1.48) |
Уравнение связи (1.48) получило широкое распространение. При простом цагруясении или близком к нему, результаты расчетов по деформационной теории пластичности и теории пластического Течения согласуются;
4) упрочнение пород в процессе пластического течения описывается единой кривой деформации независимо от вида
напряженного состояния, определяемого показателем с. В ка честве кривой может быть принята одна из зависимостей, определяемых уравнениями (1.43) или (1.44).
В предельном состоянии компоненты напряжений удовлет воряют одному из приведенных выше условий пластичности, которые служат для определения искомой функции %. Полные деформации при пластическом деформировании складываются из пластических и упругих составляющих:
e ^ s f j + e fj; в = в ' + ве, |
(1.49) |
где efj, 0е— соответственно упругие составляющие деформации
иизменения объема, определяемые на основе закона Гука.
Уравнения теории пластического течения. Запишем уравнения
теории в скоростях деформирования. Исходя из особенностей процесса пластического деформирования горных пород примем следующие основные положения теории:
тело изотропно; скорость остаточного изменения объема горных пород при
пластическом деформировании может быть записана в виде уравнения (1.27) или (1.28);
девиатор скорости пластической деформации Д связан
сдевиатором напряжения Д„ зависимостью, аналогичной (1.47),
вкоторой вместо Д нужно записать Д . При этом в первом приближении могут быть использованы связи вида (1.48).
Полные скорости деформации ёи при пластическом дефор мировании складываются из скоростей пластических èfj и уп ругих èf) составляющих:
èu = sfj+éfj. |
(1.50) |
Инкрементальный закон пластического деформирования. Для описания пластического течения и дилатансии горных пород в работе [43 ] предлагается использовать инкрементальные соотношения, которые для плоской деформации имеют вид
d efj = {ац + Н 8и sin p sinv—1 /2ач ôfJ- ( 1 + sin p sinv)} d X, (1.51)
где p, v— соответственно угол внутреннего трения и угол дилатансии; Я — сцепление; а — коэффициент внутреннего тре ния; defy— приращение пластической, деформации.
При этом условия пластичности и дилатансии имеют вид:
У 1/4(аи - CT33)2 + CTI 3 + l/2 ( a u + a 33 )sin p -# sin p = 0; |
(1.52) |
|
de?1+d852 = sinvN/(d 8 ? i-d e § 3)2 + 4(d8?2)2 |
(1.53) |
|
В соотношениях |
(1.52) и (1.53) угол внутреннего |
трения |
и угол дилатансии |
выражаются [43] через скорость |
А ди |
латансии |
|
|
sinp = a>/3(3^7v^/(3 —aA); sinv = Av/3 /4/3 —Л2 |
(1.54) |
Основная система уравнений плоской и осесимметричной задачи теории пластического течения при условии пластичности (1.2) рассмотрена в работах [22, 23]. Получены уравнения характеристик и соотношения вдоль них. Например, для плоской задачи
dу = dx tg(ф+ в); |
A ctg9 dс+ 2бф = + \ |
е “Ассо—|-ф-з-£| d.v, |
(1.55) |
|||||
|
|
|
|
T Ï |
|
c o s (ф 4* £) |
|
|
где sinф = (1 —с)2/(1 —с2 + 2/^4 ); |
в= я/4 —ср/2; ф— угол |
между |
||||||
первым |
главным |
напряжением |
и |
осью |
Ох\ |
у — объемная |
||
плотность породы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
При справедливости ассоциированного закона течения для |
||||||||
плоской |
деформации уравнения |
связи |
между |
напряжениями |
||||
и деформациями имеют следующий |
вид |
[22]: |
|
|
|
è i= ^o [1+^(1 —с) с]; |
ё3= — |
[1 ~*с А (\ —с)], |
|
|||||
где |
Х0— некоторый |
скалярный |
параметр (А,о>0). |
|
вид |
||||
|
Отсюда следует, |
что условие дилатансии имеет |
|||||||
|
(êi + è3)/(èi—è3)= -(1 - с ) 2/(1 - с 2 + 2/а) = -Ф = |
—sin v|/; |
|||||||
|
|
ê, + è, + sin v|/ |
|
- èj.)2 + ÿ2V= 0, |
|
|
|||
где |
v|/— угол |
дилатансии. |
|
подстановкой вида |
|
|
|||
|
Отождествим |
это |
условие |
|
|
||||
|
£* > = X/ 2(—sin v|/+ cos 2ср); |
уд.,.= Xsin 2<р, |
|
|
|||||
|
£у) |
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
А.= y/(èx- |
еу)2 + у2У> 0. |
|
|
|
|
|
||
Vx |
Тогда для определения X и компонентов векторов скорости |
||||||||
и Vy получим систему |
уравнений: |
|
|
||||||
|
|
|
dVx/ôx = Х/2( —sin v|/-(-cos 2ф); |
|
|
||||
|
|
|
ôVy/ду = А./2(—sin vjH-cos 2ф); |
|
|
||||
|
|
|
dVyl dx+8Vxj ôy = \s\n2q>. |
|
|
||||
|
Исключая |
X, |
получаем |
систему |
уравнений, |
в |
точности |
совпадающую с аналогичной, имеющей место в случае со средой Кулона. Поэтому ряд важных и интересных следствий
системы уравнений скорости для |
среды Кулона переносится |
на систему уравнений скорости |
для среды, подчиняющейся |
при разрушении условию (1.2). В частности, в рассматриваемом случае справедливы предельные теоремы Гвоздева — Хилла.
Аналогичный вывод вытекает из анализа осесимметричной задачи в режиме Хаара — Кармана.
2.МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ
ИПРЕДЕЛЬНОГО СОСТОЯНИЯ ГОРНЫХ ПОРОД ПРИ РАЗНЫХ СКОРОСТЯХ ДЕФОРМИРОВАНИЯ
ИВИДАХ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ
2.1. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ПРОЧНОСТИ И ПЛАСТИЧНОСТИ
Горные породы представляют типичный пример неоднород ного твердого тела. Степень неоднородности количественно
[32] оценивается |
дисперсией |
функции распределения |
числа |
N структурных |
элементов, |
составляющих данную |
горную |
породы, по величине т, характеризующей прочностные показа тели этих элементов. Чем дисперсия выше, тем более неод нородна горная порода.
Породы могут быть условно разделены на три категории по значению дисперсий (рис. 2.1): породы с малой диспер сией, когда функция распределения имеет острый максимум (кривая /); породы с умеренной дисперсией, когда функция распределения имеет расплывчатый максимум (кривая 2); породы с очень большой дисперсией свойств, когда практически не наблюдается выраженного максимума функции распределе- лия (кривая 2).
Дисперсия определяет поведение горных пород в различных условиях эксперимента: увеличение прочности и пластичности с ростом бокового давления, зависимость коэффициента по перечной остаточной дисперсии и ориентировки плоскостей скольжения (линий Чернова —Людерса) от вида напряженного состояния, увеличение объема при трехосном неравноком понентном сжатии и наличие максимума объемной деформации расширения при определенном для данной породы соотношении между главными компонентами напряжений.
Перечисленные явления главным образом присущи породам, имеющим функции распределения вида 2 и 3 (см. рис. 2.1).
Фактор неоднородности весьма полно проявляется в опытах при широкой вариации скоростей деформирования и видов напряженного состояния.
Рис. 2.1. Функции распределения структурных эле ментов е разными дисперсиями числа N по их сопротивлению сдвигу т
<л,мпа
-250
Рис. 2.2. Зависимость предельного напряжения мрамора т„ от скорости дефор мирования éj при различных значениях бокового давления ст2
На основании обработки результатов методами матема тической статистики и достоверностью не ниже разброса частных определений удалось [32] их представить в коор динатах lgèj и х в виде пучка лучей, выходящего из одного полюса. Каждый луч в этом пучке относится к одному
значению |
бокового |
давления |
а 2. |
Одноосное |
сжатие |
харак |
||||||
теризуется |
как ст2 = 0. Скорость деформирования lg èx изменя |
|||||||||||
ется |
в пределах |
десяти — двенадцати |
порядков, |
боковое дав |
||||||||
ление |
G 2— от 0 |
до |
250 МПа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Такое представление результатов позволило аппроксимиро |
||||||||||||
вать |
любой |
луч |
единым |
кинетическим |
уравнением |
|||||||
С. Н. Журкова |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
е = с0 ехр [([/0 —ут)/(ЛТ)], |
|
|
|
(2.1) |
|||||
где U0, 80, К, |
Т — постоянные |
величины; |
у — коэффициент, |
|||||||||
определяемый наклоном луча. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
При исследовании образцов коелгинского белого мрамора |
||||||||||||
(рис. 2.2) |
экспериментальные |
точки, |
относящиеся |
к |
разным |
|||||||
значениям |
гидростатического |
давления а 2 |
с |
разбросом, |
не |
|||||||
превышающим |
15%, |
ложатся |
на |
соответствующие |
лучи, |
вы |
ходящие из одного общего полюса с координатой lgèt = 33. Каждая точка на графике построена в результате усреднения 5— 12 независимых испытаний такого же количества идентич ных образцов. Аналогичные зависимости получены и для пределов упругости. Разброс точек в этом случае оказался несколько больше, но не превышал 20%.
Экспериментальные точки, полученные в опытах при боковом давлении ст2 = 150МПа, не легли на луч, выходящий из общего полюса. Прочность мрамора при этом давлении с ростом
скорости |
не только |
не возросла, |
но даже |
снизилась |
примерно |
на 7% |
в диапазоне |
изменения |
скорости |
от 10-7 |
до 10 с-1. |
Таким образом, аппроксимация с помощью единого уравнения
С. Н. Журкова уже ограничена фактором бокового давления |
ст2. |
В диапазоне высоких скоростей деформирования от 1 |
до |
10+2 с-1 экспериментальные точки легли не на луч с абсциссой
полюса lgèx = 33, а на пучок лучей с абсциссой lgèi=T,25, имеющих более крутой наклон. Результат, аналогичный дан
ному, был получен А. Кумаррй (1968 г.) на образцах гранита, при исследовании которых в диапазоне скоростей lgèx = 3-^3,5 обнаружена более сильная зависимость прочности от скорости деформирования по сравнению с более низкими скоростями. Данный результат отвергает аппроксимацию результатов с по мощью единого уравнения.
На рис. 2.3 показана зависимость остаточной продольной деформации е", полученной при напряжениях на пределе прочности, от скорости деформирования Igèj. На рис. 2.4 по аналогии с рис. 2.3 показаны зависимости остаточного увеличе ния объема на пределе прочности 0" от lgèx.
При боковом давлении ст2 = 0 предельная пластичность достигает максимального значения е"=4 10-3 при èj = 102 с—1
(см. рис.. 2.3, а). |
При скорости деформирования от éi = 10-9 с -1 |
|||
до 8J = 10- 4 C- 1 |
е" яг0,5 -10“ 3 |
|
|
|
При боковом давлении ст2 = 20 МПа максимальная пластич |
||||
ность |
е^ = 2 0 1 0 -3 получена при скорости èx = I0 c -1. |
При |
||
других |
скоростях в этой серии опытов |
е К 4 - 1 0 -3. В |
серии |
|
опытов |
при ст2 = 50 МПа максимальное |
значение г" = 26-10-3 |
получено при èx = 10 с-1 При всех других скоростях е"=(10-М5) 10-3 При ст2= 100 МПа (см. рис. 2.3, б) зависимость е" от lgèx имеет два максимума: один рри высокой скорости (ёх=с-1),
другой — при |
низкой (ёх = 1б_б с -1). |
В первом |
максимуме |
е 1= 50* 10~3, |
во втором е? = 135 • 10-3, |
т. е. почти |
в три раза |
больше, чем при высоких скоростях. В промежутке между этими максимумами имеем е" = (204-30) 10-3.
Зависимость е" от lgèx при ст2 = 150МПа не имеет явно выраженных максимумов. По мере увеличения скорости пла
стичность е" |
все время падает. Наибольшее значение |
е" = 180• 10“3 |
получено при ёх = 10- 7 с-1. В диапазоне высоких |
скоростей пластичность в этой серии опытов стала несколько
ниже, чем |
пластичность |
в этом |
же диапазоне скоростей |
||||||
в |
опытах |
при |
ст2 = 100МПа. |
|
|
|
|||
|
Зависимость объемных деформаций 0Пот lgèx (см. рис. 2.4) |
||||||||
качество |
повторяет |
ход |
только |
что |
описанных |
зависимостей |
|||
е" |
от |
lgèx, |
т- е- |
чем |
больше |
значение е", |
тем больше |
впю~3 |
Рис. 2.3. Зависимость |
предельной оста |
|
точной деформации мрамора е" от ско |
|
|
рости деформирования Sj при различных |
|
|
значениях бокового |
давления а 2 |
Рис. 2.4. Зависимость предельных объем ных деформаций расширения мрамора 0Л от скорости деформирования èj при различных значениях бокового давления
<*2
разрыхление 0". Эти две величины связаны между собой с помощью коэффициента поперечной остаточной деформации, который является функцией бокового давления а 2 и не зависит от деформирования е".
На рис. 2.5 показана зависимость прочности диабаза от скорости деформирования. Каждая точка на графике — резуль тат усреднения 6— 12 независимых опытов, проведенных'с та ким же числом идентичных образцов.
Так же, как и в описанных выше результатах исследования на образцах мрамора, экспериментальные точки удовлетворительно легли на лучи, выходящие из одного полюса с абсциссой
lgèj = 30. Луч, относящийся к ст2 = 250 МПа, построен по трем точкам, которых в принципе недостаточно, чтобы по ним можно было бы с высокой достоверностью построить луч. Однако наличие соседних лучей ♦позволяет провести и этот, так как известна координата общего полюса.
Рис. 2.5. Зависимость предела прочности диабаза т„ от ско
рости деформирования |
при |
|
различных |
значениях бокового |
|
давления |
ст2 |
|
Эксперимент, полученный в этой серии опытов при ско рости èi« 1 0 _ 1c_1, показал снижение прочности. Дан ный результат находится за пределом погрешности экс перимента, связанного с разбросом частных значений. Снижение вызвано явлением статистического отбора и специфическими свойствами диабаза и объясняется его структурой и составом. При более низких давлениях ст2 подобный эффект не на
блюдается. |
сжатии |
(ст2 = 0) при скорости |
èx= 10“ 1 |
При одноосном |
|||
ч-10 + 2 с-1 имеется |
участок |
сильной зависимости |
прочности |
от скорости, так же как это было установлено на мраморе. Экстраполяция луча до пересечения с осью скоростей дефор
мации дала координату полюса lg8!=3. s?W3
Рис. 2.6. Зависимость предельной остаточной деформации диабаза е" от скорости деформирования tx при раз личных значениях бокового давления
Рис. 2.7. Зависимость предельных объ емных деформаций расширения диа база 0" от скорости деформирования èi при различных значениях бокового давления ст2
Рис. 2.8. Зависимость пределов прочно сти кварцевого песчаника т„ от скорости деформирования éj при различных видах бокового давления ст2
Рис. 2.9. Зависимость предельных дефор маций е" кварцевого песчаника от ско рости деформирования е при различных значениях бокового давления ст2:
а — предельные осевые деформации; о - пре дельные объемные деформации разрыхления
0 п/О~3
На рис. 2.6 показаны зависимости предельной деформации от lgèi.
При одноосном сжатии наблюдается несколько максимумов и минимумов. Имеется повышение пластичности в области высоких скоростей èl при 101— 1012 и 10- 1 с-1. Минимум пластичности получен при скорости 10-5 и 10-9 с“ 1 При <т2 = 50 МПа пластичность во всем диапазоне скоростей пример но одинакова. В опытах при боковом давлении ст2 = 100МПа получен явно выраженный максимум пластичности при ско рости é1 = 10“ 1 с-1.
На рис. 2.7 показана зависимость объемных остаточных деформаций расширения диабаза 0П от lgèj. Как видно из графика, кривые качественно воспроизводят зависимости пре дельной пластичности е1} от скорости (см. рис. 2.6).
В описанных выше условиях был исследован высокопорис тый (20—30%) кварцевый песчаник. Каждая точка (рис. 2.8) получена в результате усреднения 6— 12 независимых опытов, проведенных на таком же числе идентичных образцов. Из графика видно, что экспериментальные точки достаточно
4 Заказ 3356 |
49 |
Рис. 2.10. Экспериментальные зависимости, по лученные на образцах природной каменной соли Старобинского месторождения в условиях одноосного сжатия при различных скоростях деформирования:
а — пределы прочности 1 и упругости 2; б — пре дельные осевые деформации; в — предельные объемные деформации разрыхления
хорошо расположились на лучах, выходящих из одного полюса с координатой lgè1 = 19,5c-1
Предельная пластичность е" и разрыхленность 0" для этой
породы |
показаны |
на |
рис. 2.9, а |
и |
б |
соответственно. |
При |
|||||
одноосном |
сжатии |
(ст2 = 0) |
пластичность |
при |
всех скоростях |
|||||||
оказалась |
очень низкая |
(рис. 2.9, а), |
не превышающей (Зн-5) |
|||||||||
10“3 |
При |
а 2 = 50МПа |
пластичность |
заметно |
возросла |
при |
||||||
высокой |
скорости |
деформации è1= 10+ 2 c_1 |
В |
опытах |
при |
|||||||
ст2=100М Па наблюдается |
высокая |
пластичность |
в диапазоне |
|||||||||
низких |
скоростей, |
начиная |
с в1= 10-5 с-1 и ниже. С ростом |
скорости пластичность в этой серии опытов снижается. Кривые разрыхления (рис. 2.9, б) качественно похожи на кривые пла стичности. Обращает на себя внимание значение разрыхления песчаника при сг2 = 100МПа, пористость которого составляет 20%. Даже столь высокая пористость в этих условиях опыта не может компенсировать эффекта разрыхления, приводящего к возникновению новых микротрещин и пустот. Явление закрытия существующих пор и пустот, безусловно, должно иметь место при боковом давлении а 2 = 100МПа, однако количественный эффект закрытия пор оказался подавленным эффектом разрыхления. В аналогичных условиях были ис следованы невыбросоопасный (НВО) и выбросоопасный (ВО) песчаники Донбасса, каменная соль Старобинского месторож дения, каменная соль из Таджикистана, калийная соль Ста робинского месторождения [32].
На рис. 2.10 показана зависимость пределов прочности каменной соли Старобинского месторождения .от скорости