книги / Метод конечных элементов
..pdfгде Mx = |
jj oxzdz — погонный изгибающий момент относительно |
||
|
_ л _ |
|
|
|
‘2 |
|
|
оси у, который лредставляет |
собой интегральную характеристику |
||
|
|
|
h_ |
|
|
|
2 |
напряжений в направлении |
оси х; |
= ^ cx^dz— погонный из- |
|
|
|
|
h_ |
|
|
|
2 |
гибающий момент относительно оси х , |
т. е. интегральная харак |
||
теристика |
напряжений в направлении |
оси у\ Мху = У Xxyzdz — |
|
|
|
|
А |
|
|
|
2 |
погонный крутящий момент, т. е. интегральная характеристика
|
и |
|
d2w |
|
о |
касательных напряжении; |
кх = - ^ — кривизна срединной поверх- |
||||
ности в |
|
|
d2w |
— кривизна срединной |
по |
направлении оси х; ку = — |
|||||
верхности в направлении |
оси |
|
d2w |
кри- |
|
у\ Кху~"оЩ}— смешанная |
|||||
визна |
срединной поверхности; |
р(х, |
^ — функция внешней на |
||
грузки; |
w — функция прогибов по области срединной поверхности |
пластины; dQ — бесконечно малый элемент срединной поверхности. В качестве физических соотношений принимаются зависимости между интегральными характеристиками напряжений (погонными
изгибающими и крутящим |
моментами) |
и кривизнами |
срединной |
|||||||
поверхности. В матричной |
форме эти зависимости о точностью до |
|||||||||
знака |
записываются |
так: |
'1 |
|
|
(и* ' |
|
|||
|
|
Р |
Ч |
|
р |
0 |
|
|||
|
|
W}= \Му |
= |
D -И |
1 |
0 |
** |
I |
(5.2) |
|
|
|
lA fJ |
.0 |
о 2 ( 1 |
— Р)_ |
[кХу. |
|
|||
или в матричных символах: |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
{а} = |
[Я] {е}, |
|
|
|
(5.3) |
Г, |
= |
£А* |
|
|
|
|
|
|
пластины; р — |
|
где и |
_ ^ 2) — цилиндрическая жесткость |
коэффициент Пуассона; [Я] — матрица упругости; {е} — вектор деформаций по области срединной поверхности пластины, состав ляющими которого являются кривизны; (а) — вектор напряжений по области пластины, составляющими которого являются погон ные изгибающие и крутящий моменты.
С учетом выражений (5.2) и (5.3) функционал полной потен циальной энергии изгибаемой пластины принимает вид
(5.4)
2 |
2 |
На основе выражения (5.4) можно получить коэффициенты жест кости конечных элементов изгибаемой пластины.
§ 16. Прямоугольный КЭ с двенадцатью степенями свободы
Начинать определение коэффициентов жесткости целесообразно с КЭ простейшей геометрической формы — прямоугольной. Гипо тезы Кирхгофа позволяют представить КЭ изгибаемой пластины в виде плоского пря моугольника (рис. 45) — части
срединной поверхности.
Как и в случае плоского"' напряженного состояния (см. гл. 4), в построении матрицы жесткости важен выбор функ ции, аппроксимирующей пе ремещения по области КЭ. Поскольку деформированное
состояние изгибаемой пластины описывается лишь функцией прогиба, достаточно задать закон изменения перемещений, нор мальных к плоскости КЭ. Учитывая вид функционала (5.1) полной потенциальной энергии, куда входят 2-е производные функции про гиба, можно сделать заключение , что степень аппроксимирующего полинома не должна быть менее 2-й. Очевидно, лучшее приближе ние к действительному характеру напряженно-деформированного состояния изгибаемой пластины достигается, если прогибы вдоль координатных осей описываются балочными функциями, т. е. поли номами 3-й степени. Эти соображения приводят к аппроксимации перемещений по области КЭ с помощью неполного полинома 4-й степени от двух переменных:
w (х,у) = a t + а 2х + |
а Зу + а 4х2 + |
а ьу2 + а вху + |
|
|
||||
+ а , х2у + |
а 8ху2 + |
а9г» + а 10 у3 + а пх3у + а 1гху3. |
(5.5) |
|||||
Число постоянных |
коэффициентов |
полинома (5.5) |
согласуется |
|||||
с числом степеней свободы КЭ, если |
установить узлы |
в вершинах |
||||||
прямоугольника |
и каждому |
узлу придать три степени |
свободы |
|||||
(рис. 45): линейное перемещение wt по |
направлению |
оси |
г и два |
|||||
угловых перемещения <pxl, |
cpw |
относительно координатных осей х |
||||||
и у. Здесь и далее, |
руководствуясь |
принятыми в технической |
теории |
изгиба пластин обозначениями, |
будем |
считать ср* = |
; |
||
<ру = |
щ |
Узловым перемещениям |
приводят в |
соответствие реак. |
||
ции |
в |
дополнительных связях, т. |
е. |
сосредоточенную силу /?, |
и |
сосредоточенные моменты Mxi и Му1 (рис. 45).
Нетрудно убедиться, что принятая аппроксимация перемеще ния удовлетворяет наложенным условиям. Так, стороны КЭ дефор мируются по кубическому закону, что видно из выражения (5.5), если положить х = Const или у = const. Кроме того, апроксимирующий полином удовлетворяет однородному дифференциальному
уравнению изгибаемой пластины |
|
у 2у 2до = 6. |
(5.6) |
Второй этап построения матрицы жесткости — установление соотношений между постоянными коэффициентами полинома (5.5) ^перемещениями узлов КЭ. Используя уже изложенную методику (гл. 4), следует сформировать систему алгебраических уравнений относительно постоянных коэффициентов а {>подставляя координаты
узлов в функции перемещений. Вектор функций, |
описывающих |
принятые перемещения, составляется из функции |
прогиба (5.5) |
и ее первых производных: |
|
’ w
dw
дх dw
-\ |
X |
У |
х2 |
У2 |
ху |
Х2У |
ху2 |
0 |
1 |
0 |
2х |
0 |
У |
2ху |
У2 |
0 |
0 |
1 |
0 |
2У |
X |
хг |
2xi/ |
|
|
|
• |
|
|
|
|
х3 |
|
у3 |
х3у |
ху3 |
|
со |
я |
|
О |
3xhj |
У3 |
* |
|
|
|
|
|
о |
со |
to |
X3 |
3ху* |
|
|
<5: |
[<*1 ) а2 а 3
а4
а»
а 8 «9
аю
аи
(5.7)
Координаты четырех узлов КЭ (0,0), (а, 0), (а, Ь) и (0, Ь) поочередно подставляют в выражение (5.7). В результате образуется система совместных линейных алгебраических уравнений 12-го порядка от носительно постоянных коэффициентов а,., которая в символиче ской записи представляется аналогично системе (4.10):
W) = (С) (а ), |
(5.8) |
где [q] — вектор узловых перемещений qt (t = |
1, |
2, |
, 12); |
[С] — матрица коэффициентов при неизвестных |
а,-; |
(а) — вектор |
постоянных коэффициентов а (. Решая систему (5.8), определяют постоянные коэффициенты функции перемещений (5.5):
{а} = [СГ1(<7). |
(5.9) |
Определение неизвестных а, в явном виде связано с преодоле нием значительных вычислительных трудностей из-за высокого по рядка системы (5.8). Помимо общепринятых методов решения си стем алгебраических уравнений при выполнении операции (5-9) часто используют различные приемы линейной алгебры для обра
щения матриц. Возможно |
также |
и |
численное решение системы |
|
(5.8)’ для конкретного КЗ. |
|
|
|
|
Матрица [С]"1 (табл. 8) |
дает возможность представить аппрок |
|||
симирующую функцию (5.5) в виде суммы |
произведений коорди |
|||
натных функций на степени свободы КЗ: |
|
|||
|
|
f=12 |
|
|
w(x, У )= |
£ |
f tqt. |
(5.10) |
|
|
|
1= |
1 |
Таблица 8 |
|
|
|
|
1 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
|
00 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
3 _ 2 _ |
0 |
|
3 |
_ Г |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
а2 |
а |
|
|
а2 |
а |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
0 |
2 |
|
0 |
.0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
3 |
0 |
Ъ2 |
Ъ |
|
|
ь2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
_ 1 |
1 _ _ 1 |
|
1 |
0 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
_1_ |
1 |
|
ab |
Ь |
а |
|
ab |
|
а |
аб |
ab |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||
3 |
2 |
0 |
_ ._ 3 _ |
1 |
|
0 |
3 |
1 |
0 |
3_ |
_2 |
|
а2Ь |
ab |
|
а2Ь |
ab |
|
а2Ь |
ab |
а2Ь |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||
3 |
0 |
2 |
|
3 |
0 |
_ |
2 |
3 |
0 |
_ _ 1 _ |
3 |
0 |
аЬ2 . |
ab |
|
ab2 |
|
|
а/?2 |
ab |
ab2 |
||||
2 |
1 |
0 |
|
2 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
а 2 |
|
|
а 3 |
а 2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
0 |
Ь* |
Ь2 |
|
|
Ь 3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
1 |
0 |
|
2 |
1 |
|
0 |
2 |
1 |
0 |
2 |
1 |
а*Ь |
>аЧ |
|
а3Ь |
а2Ь |
а3Ь> |
а2Ь |
а3Ь |
а2Ь |
||||
2 |
0 |
1 |
|
2 |
0 |
|
1 |
2 - |
0 |
1 |
2 |
0 |
аЬ* |
|
а№! |
ab3 |
|
|
a b 2 |
а& :3 |
|
аб2 |
ab3 |
|
° 1 0
0
0
1
ь
0
0
ab
0
1
ь 2
0
1
'ab*
Действительно, функцию (5.5) можно представить как произведе ние строки и столбца:
|
|
«1 |
W(х, у) = {1 х у х2 у2 ху |
х2у ху2 х3 у3 х3у ху3) |
а 2 |
(5.11) |
||
или символически: |
|
« 12. |
|
|
|
w(x, |
y) = {N} (а). |
|
С учетом решения (5.9) |
|
|
W(x, у) — (ЛГ) [СГ'{д}. |
(5.12) |
Сопоставляя выражения (5.10) и (5.12), легко увидеть, что пере множение матрицы-строки {N} на обратную матрицу [С]-1 дает в результате матрицу-строку из двенадцати координатных функ ций ft. Перемножая, например, строку {N.} на 1-й столбец матрицы [С]-1, получим координатную функцию при 1-й степени свободы
f i = 1 |
|
|
ху, ~ |
|
4-2 — |
о *8У |
|
|
|
аЬ+ 6 |
|
* а3Ь |
|||
|
|
|
' |
* ь* |
|||
|
|
|
|
о х£ |
|
|
|
|
|
|
|
аЬ3 ’ |
|
|
|
Введем безразмерные координаты |
£, rj, связанные с координатами |
||||||
х, у соотношениями |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
(5.13) |
Подставив |
соотношения |
(5.13) |
в |
выражение для fi и осуществив |
|||
необходимые |
преобразования, |
получим |
|
|
|||
/ i |
= |
(1 - Q О - |
ri) (1 + |
Б + Т1 - 2 ? - |
2ц2). |
(5.14) |
|
Проделав такие же операции для |
2-го и 3-го столбцов |
матрицы |
[С ]'1, придем к коэффициентным функциям при 2-й |
и 3-й степенях |
|
свободы: |
|
|
/. = |
5 О - л) (1 - I? а; |
(5.15) |
/» = |
Л ( 1 - & ) ( 1 - т 1 ) г Ь. |
Аналогично определяются и остальные координатные функции. Коэффициенты жесткости определяют, формально прилагая
формулу (2.22) с учетом выражений для функционала полной по тенциальной энергии (5.4), вектора обобщенных напряжений и век тора деформаций, описанных формулами (5.2) и (5.3).
Найдем, например, один из элементов матрицы жесткости — реактивный момент относительно оси х в дополнительной связи 1-го узла от единичного угла поворота того же узла относительно оси х, т. е. элемент £88=&¥ »й . Следовательно, при обращении
к выражению (2.22) i = 3, / = 3. Вектор деформаций (е)3 =
= l8) ^ описывает деформированное состояние по области КЭ •от единичного углового перемещения уу1, когда все остальные узловые перемещения равны нулю. В этом случае на основании выражения (5.10) аппроксимирующая функция прогиба w = f 3^=
= л (i — £)0 — л)2^
Переходим к системе координат ху, используя соотношения
(5.13): |
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
.'W(x, у) = у ( 1 _ | ) ( 1 _ | ) 2 |
|
|
(5.16) |
|||||||
Кривизны относительно осей х |
и |
у |
и |
смешанная |
кривизна обра* |
|||||||
зуют |
вектор деформаций |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
( |
д2 ' |
I |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
•Их* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
д2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.17) |
|
{е)а |
< |
|w(x, у) = + |
< |
( |
' |
- |
■ |
» |
) |
■ |
||
|
||||||||||||
|
|
а* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
дхду ) |
|
- |
H |
' - |
V |
+ |
¥ |
) . |
|
■Компоненты вектора обобщенных напряжений находятся из выра жения (5.2):
1а 1з = \Е\ (е)3.
Искомый коэффициент жесткости к33 определяем из формулы (2.22),
которая для прямоугольного элемента изгибаемой |
пластины (рис. |
|
||||||||||||||
45) |
примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
а |
Ъ |
|
|
|
а |
Ъ |
|
|
|
Q |
|
Т |
|
|
|
кзз = \ |
\ (б}3{а)з dxdy = |
|
|
|
М)М |
|
х |
|
|||||||
|
|
|
|
ЧМ+¥) |
|
|
||||||||||
|
|
0 |
0 |
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
||||
|
X D |
р |
1 |
о |
|
М)(!М |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 р . |
о |
|
|
|
|
|
|
|
dxdy = |
|
|
|
|
|
а |
b |
0 |
0 2 ( 1 — р ) |
Ч М |
|
+ ¥ ) |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
D |
|
- |
Ш |
- |
4-)Г+ |
|
* |
« |
- |
4 - |
т М |
|
+ |
||
|
о |
о |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
4 |
а . |
|
4 |
t . |
Ъ 1ч |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
X dxdy == D П |
|
|
+ |
15 ^ |
^ J*"o’ |
|
|
|
||||
После введения обозначения пг |
|
— |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
*33 = |
43m + |
4 ( 1 - P ) |
m j. |
|
|
(5.18) |
|
|||||
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
Остальные элементы матрицы жесткости определяют аналогич но. Единичные значения придают поочередно тем с'Гепеням сво боды, которые соответствуют индексам элементов матрицы (11, 12, 13, ...). Размер матрицы жесткости (табл. 9) задается общим чис-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
9 |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
|
12 |
|
|
|
|
|
* * 2 |
* 0 2 |
Шэ |
'Рдтз |
* 0 3 |
|
** |
> |
|
1 я , |
Ли |
ki2 |
^ 1 3 |
^ 1 4 |
|
^ 1 6 |
* 1 7 |
^ 1 8 |
^ 1 9 |
^1, 10 |
* 1, и |
^1, |
12 |
2 |
Mxi |
k22 ^ 2 3 |
* 21 |
^ 2 5 |
k2Q |
/г 2? |
^ 2 8 |
3 Миг |
^ 3 3 |
^ 3 4 |
* 3 5 |
^ 3 6 |
k31 |
^ 3 8 |
|
4 |
я 2 |
|
ku |
^ 4 5 |
^ 4 8 |
k\4 |
^ 4 8 |
5 |
|
|
|
^ 5 5 |
^ 5 8 |
^ 5 7 |
^ 5 8 |
|
|
|
|
||||
6 М у2 |
|
|
|
^ 8 8 |
^ 8 7 |
^ 8 8 |
|
7 |
Я3 |
|
|
|
|
&77 |
k1% |
8 |
М *3 |
Симметрично |
|
|
|
^•8 |
|
9 |
м //Я |
|
|
|
|
|
|
10я 4
11Л1д; 4
12М
лом степеней свободы КЗ и, следовательно, менты матрицы имеют следующие значения:
— * 4 4 — |
*77 |
~— ** 10, 10 = 4 | *™ + |
Н 4 |
' |
|
k2, 10 |
/г2, |
11 |
^2, |
12 |
|
^ 3 9 |
^3, |
10 |
*3. 11 ^3, 12 |
|||
^49 |
^4, |
10 |
^4, |
11 |
^4, |
12 |
& 59 |
сл |
о |
^5, |
11 |
^5, |
12 |
^ 8 9 |
о |
о |
^6, |
11 |
^6, |
12 |
k19 |
k7%10 |
k7, 11 |
k7, 12 |
|||
^ 8 9 |
^8, |
10 |
*8, |
И V |
12 |
|
&99 |
^9, |
10 |
^9, |
11 |
^9, |
12 |
*10, 10 *10, 11 *10, 12
*11. 11 *11, 12
*12, 12
равен 12 х 12. Эле
14 — 4ц \
5/й |
) 1 |
* 2 2 = * 5 5 = *88 = *11. 11 = 0 |
+ 4 ( 1 5 т ^ ) ; |
* 3 3 = * 0 0 = * 0 9 — * 1 2 , 12 — 0 |
Н |
^ j I |
^12 — |
|
|
^45 — |
|
^78 —‘ k 10,. 11 — |
a |
( 2 m -\ |
|
) |
» |
|
||||||||
. |
|
- |
~ |
|
, |
|
|
|
, |
|
D I |
|
2 . |
1 + |
4|i\ . |
|
|||
^ 13 — ^ 46 |
« 7 9 |
““ |
|
«Ю, 12 ~ |
— ^ ma |
I |
5 |
J l. |
|
||||||||||
|
|
&23 = — A50 = kgQ= |
|
&11, 12 == \lD\ |
|
|
|
||||||||||||
ku = |
|
*7,10 = |
-g- (-4m + ' - J r -----1 |
^ |
) ; |
|
|
||||||||||||
k \, 10 = * 4 7 = |
( — - i j - + 2 m — • ^ j ^ ) ; |
|
|
||||||||||||||||
*15 = |
~ |
|
*24 = |
— f o . U |
|
= |
* 8 , 10 |
= f |
-7 |
- ( 2 m |
+ |
- Ц |
^ ) |
| |
|
||||
|
|
|
**B = |
* 8. n = |
|
D |
( f |
m |
- |
l |
= |
J |
L ) |
; |
|
|
|
|
|
, |
|
«. |
= — |
«7 , |
/, |
|
|
« 9 , |
10 = |
t, D l |
1 |
|
1 |
+ |
4ц\ |
|
|||
«14 = |
«34 |
12 = |
|
|
— |
|
-------------3 -----j . |
|
|||||||||||
|
|
Лзв = |
Л9. .2 = |
|
Z) [4 — |
|
|
|
|
rn]; |
|
|
|
||||||
* 1 , 11 |
= |
|
*2 , 10 = |
— *48 = |
— |
^ 5 7 |
= |
|
|
( m |
— |
1 Sffl4^ ) |
J |
|
|||||
* 1 . 12 = |
— * 3 , 10 = * 4» = |
— *87 = |
“ f |
( “^ T + |
|
|
> |
|
|||||||||||
* 1 , = * 4 , i a = |
|
( - 2 m — | r + |
|
|
; |
|
|
||||||||||||
*18 = |
—‘*27 = |
---- *4 . 11 = |
* 5 . 10 |
= ° |
~ f |
( m |
-------- g m ^ |
) 5 |
|
||||||||||
*18 = |
|
|
*37 = |
* 4 . 12 = |
|
|
* 6 , 10 — |
— |
|
("JJJ5 |
|
ЁГ^~) * |
|
||||||
|
|
|
^2, 11 = |
|
= |
в Ц т |
|
|
4 |
( Г - |
Ю1 . |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
15m |
|
J ’ |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
k 2%= |
* 5 , 11= D ( - jm |
+ |
|
1 5 т ) |
5 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Л39 = *6, 12 := Р [ т |
+ |
|
|
1 5 ^ т )* ’ |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
(ч2 . |
|
1 — Ц |
m |
) ; |
|
* 2в |
|
&29 1:31 ^2, 12 = |
^35 |
== *38 1 |
||||||
|
|
|
\3т |
|
15 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|||||||||
|
|
|
: ^69 =: |
&5,12 == &68 = |
^6, 11 |
|
kst 12 = |
£9, 11 =* |
0 . |
В гл. 4 уже рассматривался физический смысл матрицы жест кости. Каждый элемент матрицы можно представить как реакцию по направлению 1-го индекса от единичного перемещения по на правлению 2-го индекса. Такое понимание соответствует мето дике составления уравнений равновесия в узлах расчетной схемы.
Конечный элемент изгибаемой пластины о двенадцатью степе нями свободы, построенный на основе аппроксимации перемещений о помощью полинома (5.6), обеспечивает достаточно высокую точ ность результатов и поэтому применяется наиболее часто. Разра ботан такой КЭ Р. Клафом и иногда носит название элемента Клафа.
Как следует из выражения (5.2), параметры напряженного со стояния КЭ — погонные изгибающие и крутящий моменты — определяются через перемещения его узлов. Подставляй в качестве компонентов вектора деформаций (е) соответствующие 2-е произ водные от функции прогиба (5.10), можно получить функции погон
ных изгибающих и |
крутящего моментов Мх (х, у); Ми (х, у)\ |
Мху (х, у) по области |
КЭ. Значения параметров в любой точке |
области КЭ находят затем простой подстановкой координат. Обычно погонные изгибающие моменты определяют в узловых точках, а погонный крутящий момент — в центре тяжести КЭ. Коэффициенты при узловых перемещениях приведены в выражении (5.19). Положительные изгибающие моменты растягивают нижнее волокно пластины. Построенный КЭ может воспринимать попе речную узловую нагрузку [см. (5.19) на с. 90].
Местные нагрузки, в том числе и сосредоточенные силы, при ложенные вне узлов, следует приводить к узлам по процедуре, ос нованной на формуле (2.24). Пусть, например, КЭ загружен рав номерно распределенной по площади нагрузкой р(х, у) — р. Для узла 1 эквивалентные' узловые нагрузки тогда окажутся равными’.
|
а |
Ь |
y )fid Q = p § § ( l - - ? r X 2 — -jpy2 — ± x y + |
||
2 |
0 |
0 |
+ -рг х2У + |
- ^ r xy 2 + |
i xS + i y 3— J r Х*У - |
|
- ~ ^ Г ХУ9) dxdy = P- T - |
Сосредоточенную силу в узле 1 можно найти и как одну четвертую часть всей нагрузки на КЭ. Кроме сосредоточенных узловых сил, следует учитывать и сосредоточенные узловые моменты:
а Ъ
Min = Ц р(х, |
у) f 3d& = p[\ j (у — j у2— -jx y + ^b xy2 + |
|
2 |
0 |
0 |
+ |
1 Г 0 * ----- я г*У *)*х й У = РЦ ь . |
Аналогичное приведение можно выполнить для веек узловых сия при СКОЛЬ угодно сложной функции р (х, у). Если функция р (х, у) описывает распределенные или сосредоточенные моменты, то подын-
|
|
|
4 |
411 |
|
|
6 |
2 |
|
М |
1 + £ ) |
т |
|
|
а |
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
л ,« |
- |
1* |
—2 |
0 |
6- ( > + - а) |
—4 |
||
|
|
а |
V |
/и1/ |
|
|||
м хг |
|
0 |
0 |
0 |
|
_ |
am * |
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
Л1 |
~ |
6(1 |
0 |
_ _£5_ |
|
|
0 |
0 |
М“ |
S S ? |
|
т |
|
|
|
|
|
«О |
|
|
411 |
4 |
• _ |
i± L |
2Ц |
|
о • м ч “ Г |
Н й + Й |
т |
|
|
а |
|||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
—2|1 |
0 |
И |
ц + |
-4 Ц |
|
|
|
|
|
|
|
0 0
411 G|l
тam3
_ 2р.
тИ 1 + ь )
0
___ 6
а
0 0
4 6
татг
0
0
—4
2
0
0
0 1
2д_
т
___4Р-
т
0
0
2
т
6м-
ат*
0
6
а
« . ( i + f i O а'\ т 2/
6 am2
02М
т
0 0
—2 |
0 |
4 |
— Jj£_ |
|
т |
0 |
2 |
|
т |
||
|
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
G |
0 |
___ 2_ |
—411 |
_4_ |
_ 6М |
- 2 ц |
0 |
|
" у * |
0 |
атг |
т Н м ,+ ^ ) |
т |
а |
|||||||
|
|
|
|
|
|
Г
wt
•
*1а
^2
< v |
(5.19) |
W3
Vxs
w4 к
|
6 |
0 |
2 |
0 |
0 |
0 |
- 5 5 |
2Ц1 |
0 |
|
|
4М |
4 |
|
^уА |
атг |
т |
|
|
~пГ |
|
||||||||
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
?Х4 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
2 (1 -ц ) |
__ 1-М |
1-М |
2(1 - М) |
1-М |
1—11 |
2 ( 1 - Ц ) |
1 —11 |
1—11 |
2(1 - |
ц) |
1 -Ц |
1— М |
‘ У4 |
am |
|
|||||||||||||
ХУ |
am |
Ат |
4 |
am |
Ат |
4 |
am |
Ат |
4 |
|
Ат |
4 |
||
) |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |