книги / Метод конечных элементов
..pdfдифференциальные операторы деформаций и напряжений, найти функцию деформаций и напряжений по области системы, а затем, подставляя в нее координаты определенной точки, найти значения напряжений и деформаций в этой точке.
В дальнейшем решения всех задач будут реализованы по опи санной схеме.
Глава 3. СТЕРЖНЕВЫЕ СИСТЕМЫ
§ 6. Основные гипотезы. Функционал полной потенциальной энергии
При расчете стержневых систем рассматриваются одномерные области из изотропного материала, все характеристики которых — геометрические (толщина), физические (модуль упругости, коэффи циент Пуассона) и компоненты напряженно-деформированного со стояния (напряжения, деформации) — функции одного аргумента. Это означает, что за исходную предпосылку расчета принята гипо теза плоских сечений. Ограничимся рассмотрением напряженнодеформированного состояния стержня в линейной постановке, т. е. будем считать, что напряже ния и деформации связаны ли нейной зависимостью Гука.
Отнесем стержень к обще принятой системе координат хуг (рис. 21), где ось л: — это ось стержня, а оси у и г — главные оси инерции попереч ного сечения. Под действием произвольной системы нагру зок стержень деформируется, в поперечных сечениях воз никают внутренние силы Мх,
Му, 'Мг, Qy, Qz, N. Дефор-
мированное состояние стержня характеризуется линейными (u, v, w) и угловыми (а, ууу у2) перемещениями по области стержня отно
сительно координатных осей х, у, z. |
|
|
Функционал полной потенциальной энергии |
стержня, |
можно |
представить в следующем виде: |
|
|
/ |
|
|
п = - j f (МуХу + М2хг + Мха + Qy4y + Qzyz + Nex) dx — |
||
О |
|
|
/ |
|
|
— j \Px (X) U + Ру (x) v + pz (x)w + mxa + mtJyy + |
mzyz] dx, |
(3.1) |
0 |
|
|
где Ку, пг— кривизны упругой линии |
в плоскостях xO z |
и хО у |
||||||
соответственно; |
уу, у2— углы |
сдвига |
в тех |
же |
плоскостях; |
а — |
||
угол поворота |
относительно |
оси х\ |
гх— линейная деформация |
|||||
в направлении |
оси х; |
px (x)t |
ру(х)> Рг(х)— интенсивность |
расп |
||||
ределенных нагрузок |
вдоль |
осей х, |
у, г |
соответственно; |
тх (х)у |
|||
ту (х)у т2 (х) — интенсивность' распределенных |
моментов |
относи |
тельно осей х, у, z соответственно.
При решении практических задач расчета стержневых систем учитывают большей частью не все возможные линейные и угловые перемещения, а лишь некоторые из них в определенных сочетаниях. Так, для решения задачи о растяжении достаточно учесть только линейное перемещение а , для решения задачи о чистом изгибе стержня достаточно учесть линейное перемещение w. Поэтому, рас сматривая конкретные задачи расчета стержней, функционал пол ной потенциальной энергии (3.1) записывают сокращенно — в за висимости от вида напряженного состояния.
§ 7. Конечный элемент растянутого (сжатого) стержня
Для этой задачи характерно то, что силы направлены вдоль прямолинейной оси стержня (рис. 22), а напряжения и деформации распределены по площади сечения равномерно. Функционал полной потенциальной энергии (3.1)
ахйШГШ] стержня тогда выглядит так:
|
1<____________________j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
% ,, i |
Jг ъ |
|
— ^ p (x )u (x )d x . |
(3.2) |
||||
|
1 |
2 |
|
|
о |
|
|
|
|
|
рис. 22 |
Здесь и |
(х) — перемещения, на |
||||
du (х) |
|
, |
правленные вдоль оси стержня; |
|||||
■= |
|
|
• |
T^du(x) |
= |
|||
|
гх — деформация относительного |
удлинения; |
Е |
|
||||
= ох— нормальные напряжения, |
равномерно распределенные по |
|||||||
сечению; р (х ) — функция внешних |
сил, |
направленных |
вдоль |
|||||
оси |
стержня. |
|
|
|
|
|
|
|
Вид функционала, в который |
входят только первые произволь |
|||||||
ные |
от |
перемещений, обусловливает |
возможность аппроксимации |
перемещений полиномом 1-й степени (это минимальная степень, обеспечивающая существование первых производных, входящих в функционал):
Поскольку в этот полином входят два коэффициента, то для рас сматриваемого КЗ выберем две степени свободы qx и q2 (рис. 22), имеющие следующий физический смысл: qx — линейное перемеще ние узла /; q2 — линейное перемещение узла 2. Значения степеней свободы qxи q2 нетрудно связать с постоянными коэффициентами а х и а 2 в полиноме (3.3). Из выражения (3.3) следует, что перемеще ния узловых точек i, j КЗ (рис. 22)
щ - о^;
(3.4)
м/ = а 1 -f а2/.
Выражения (3.4) образуют систему линейных уравнений относи тельно постоянных коэффициентов полинома (3.3). В результате решения
|
oti = иг, а 2 = и/ у— • |
|
|
|
|
(3.5) |
||||
Функция перемещений (3.3) |
выражается через |
степени |
|
свободы |
||||||
<7х |
и <?2 путем подстановки выражений |
(3.5) |
в полином (3.3): |
|||||||
|
|
u* = qi |
Ц ^ + < ? 2 |
7 , |
|
|
|
|
(3.6) |
|
где |
q1 — и{; q2 = и/. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сопоставляя выражения (3.6) и (2.25), заключаем, |
что |
множи |
|||||||
тели при степенях, свободы qx и q2 являются |
координатными функ |
|||||||||
циями: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/1=-4^2 = 7. |
|
|
|
|
|
(3-7) |
||
Координатные функции обладают некоторыми общими |
свойствами, |
|||||||||
что дает возможность записать их непосредственно, минуя |
алгебраи |
|||||||||
ческие операции, определяемые выражениями (3.4) и (3.5): |
|
|
||||||||
|
1) каждая координатная функция Д (i = |
1 ,2) |
выражает закон |
|||||||
изменения перемещений по области КЗ, |
когда t-e узловое |
переме |
||||||||
щение отлично от нуля* а все остальные равны нулю; |
|
|
||||||||
|
2) каждая координатная функция |
Д |
является |
полиномом той |
||||||
же |
степени, которая |
принята для |
аппроксимации |
перемещений |
||||||
по области КЗ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) координатная |
функция |
Д (t = 1,2) |
принимает |
значение, |
|||||
равное единице , в узле i ; в остальных узлах Д = |
0. |
|
|
|
||||||
|
Коэффициенты жесткости определяют по формуле (2 .22): |
kit = j а, (*) е/ (х) dx = ^ [ s f ( ! ) t (| )J dx (i = 1,2; j = 1,2). (3.8)
Для вычисления коэффициентов матрицы жесткости удобно запи сать степени свободы и их производные в виде табл. 2. Тогда
/
о
Таким. образом, матрица жесткости КЭ растянутого (сжатого)
стержня |
|
постоянного поперечного .сечения |
имеет |
размерность |
||||||
2 x 2 . Матрица жесткости |
устанавливает зависимость между узло |
|||||||||
выми перемещениями КЭ |
и реакциями в дополнительных связях, |
|||||||||
|
|
|
|
|
соответствующих |
принятым |
|
степеням |
||
|
|
Т а б л и ц а |
2 |
свободы: |
|
|
|
|
|
|
Я\ |
<72 и (X) |
du (*) |
г |
E F |
E F , |
( |
|
|
||
|
dx |
|
1 |
1 |
|
« 1 |
(3.9) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
1—х |
|
1 |
|
E F |
E F |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
l |
|
|
|
||||
1 ■ |
|
/ |
|
Г |
2 . |
|||||
|
|
|
|
|||||||
0 |
1 |
X |
|
1 |
или в матричных |
символах: |
|
|
|
|
Т |
|
т |
W |
= [*]ДО. |
|
|
(ЗЛО) |
|||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициенты матрицы жесткости (3.9) можно получить из простых физических соображений. Действительно, узловые пере мещения полностью определяют перемещения и напряжения по области КЭ. Это исходная предпосылка МКЭ, которая для стерж невых систем выполняется точно. Вполне очевидно, что осевое перемещение узла 1 КЭ (рис. 23) может вызвать появление напря жений в КЭ только в том случае, если в узле 2 исключены осевые перемещения, т. е. наложена связь, соответствующая приданной степени свободы. То же имеет место, если рассматривать перемеще ние узла 2 по отношению к узлу 1. Сосредоточенная .сила Rlt при ложенная к узлу /, при наличии связи по направлению перемеще ния и2 приводит к перемещению иъ которое линейно зависит от
«1 = |
откуда Ri = Ц-и^. |
(3.11) |
В дополнительной связи узла 2 вследствие наличия перемещения «х возникает реактивная сила R 2, которая определяется из усло вия равновесия:
tf2 = - T « i . |
(3.12) |
Если полученное узлом 1 перемещение имеет величину, равную единице, то выражения для узловых сил (3.11) и (3.12) преобразу ются в коэффициенты жесткости КЭ. Так же легко найти узловые силы в том случае, когда перемещение иг = 1 , а перемещение
иг = 0.
Элементы матрицы жесткости КЭ для стержня переменного по перечного сечения можно вычислить также из условия вариации
потенциальной энергии (2 .2 1 ). |
|
. и, |
|
Площадь поперечного сечения |
1 |
1И * ,* |
|
такого стержня (рис. 24) изме |
|||
няется по линейному закону |
|
1 |
|
F W |
= F ,( 1 - £ ) . |
|
Рис. 23 |
Матрица |
жесткости рассмат- |
|
|
= ЕМ ( ‘ - Ш ) (т)Л - £М т - й ) •
Таким образом,
'R i |
(т~м) (~T + Th |
и1 |
|
= EF„ |
(3.13) |
|
(—т + i ) ( т —i ) |
_ |
Поскольку в физическом смысле линейные алгебраические урав нения МКЭ являются уравнениями равновесия сил, приложенных
кузлам расчетной схемы, возникает необходимость в приведений [по формуле (2.24)] распределенных нагрузок к узловым.
Рассмотрим несколько примеров приведения местной нагрузки
кузловой. Для равномерно распределенной нагрузки р (х) — р
(рис. 25, а) узловая сила в узле 1, эквивалентная распределенной нагрузке,
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
Pi = |
\p (х) «1 (х) dx, |
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
где «1 (х) — вариация |
функции перемещений и (х) |
по перемеще |
||||
нию иг; |
соответствует |
1 -й строке табл. 2 : |
|
|
||
|
P i = ^ p -l ^ d x = ^ . |
|
|
|||
Аналогично |
|
О |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р 2 = j" Р т dx = ^ . |
|
|
||
|
|
|
о |
|
|
|
Из тех же’ соображений для нагрузки, распределенной по тре |
||||||
угольнику (рис; 25, б) |
р{х) = у , |
|
|
|
||
|
о |
|
|
о |
|
|
Для |
сосредоточенной |
нагрузки, |
приложенной |
в точке х = |
а |
|
(рис. 25, в), Р (х) = РЬ (х)х=а, где |
б (*)*=<, — так |
называемая |
6- |
Рис. 25
функция, обладающая тем свойством, что на всем интервале, кро ме х = а, она равна нулю. Точка а лежит в интервале 0 ^ а ^ /, Тогда
I |
|
|
Pi = J Рб (x)x=a^ d x |
= |
р -1 ^ ; |
О |
|
|
I |
|
|
P 2 = j p 6 (*),=af d * |
= |
P - f . |
О |
|
|
При а = 0 P i = Р; Р 2 = 0; при а = I Р{ = |
0; Р а = Р, т. е. если |
нагрузка узловая, то приведение проводить |
не надо, а в правом |
столбце канонических уравнений непосредственно указать соот ветствующую нагрузку Pi, Это правило справедливо всегда, вне зависимости от формы КЭ и вида координатных функций.
§ 8. Конечный элемент изгибаемого стержня
Рассматривается задача о плоском изгибе призматического стержня (рис. 26). Область системы в данном случае одномерная: £2= /(рис. 26-, а). На основании гипотезы плоских сечений исполь
зуются интегральные характеристики напряжений Му = E J ^
и деформаций ну — ^ Функционал полной потенциальной энер-
Рис. 26
гии (3.1) при отсутствии распределенных моментов для данной задачи записывается в следующем виде:
п = I 1 E J I ч р - ' ^ * - |
i р- м »(*> |
(3.14) |
о |
о |
|
Вид функционала (3.14) обусловливает выбор аппроксимации перемещений. Поскольку функционал включает в себя производ ные 2-го порядка, то для его существования функция перемещений должна содержать члены не ниже 2-го порядка. При полиномиаль ном задании аппроксимирующей функции полином 2-го порядка включает в себя 3 члена. При использовании КЭ с двумя узлами желательно, чтобы число постоянных коэффициентов аппроксими рующего полинома было кратным двум.. В связи с этим используем полином 3-го порядка с четырьмя членами:
w (х) = ai + а 2х + а 3х2 + а Ах?. |
(3.15) |
Аппроксимация выражением типа (3.15) тем более оправдана, что перемещения точек изгибаемого стержня описываются функ циями 3-го порядка (балочные функции). Из этих соображений КЭ изгибаемого стержня имеет 2 узла, каждому из которых приданы 2 степени свободы (рис. 26, б). Степени свободы в данном случае
имеют такой физический смысл qi = |
wx\q3 = w2— вертикальные |
перемещения узлов 1 и 2; q а=* <рх; |
= ср2 — углы поворота узлов |
/ и 2. |
|
Для получения коэффициентов жесткости из формулы (2.22) аппроксимирующую функцию перемещений представляют в виде
ш(х) = Е |
(3.16) |
1=1 |
|
где f c— координатные функции, описывающие распределение пере мещений по области КЭ, когда одно из узловых перемещений равно единице, а все'остальные равны нулю.
Чтобы перейти к форме (3.16), которая более удобна для даль нейших рассуждений, свяжем коэффициенты а общего полинома (3.15) со значениями степеней свободы qt. При х = 0 коэффициент
а г = |
qx = |
w(x), т. е. |
перемещению в |
1-м узле, |
и а 2 = q2 = |
> |
т. е. |
углу |
поворота в |
1-м узле. При |
х = 1аг + |
а 21+ а 3/2 + |
а 4/3 = |
= q3= w(x) и а 2+ 2 а 3/+ За4/2 = qA=
висимостей можно составить уравнения
' |
Я1 ' |
---1 |
|
О |
о |
о |
|
|
Яг |
|
0 |
1 0 |
0 |
|
|
|
Яз |
|
1 |
i |
р |
р |
|
. |
я&, |
|
0 |
1 |
21 |
3 |
/2 |
• На основе этих за
типа (2.27):
ах а 2
а 3 |
• |
|
|
, «4 |
|
Решив эту систему, |
получим |
a i = 4i\ а 2 |
= ?2*» а з = J2 (3?з *3^1 2 /<72 — |
а 4 = j3 ( ^ 4 + Ifa — 2 <7з + 2 q x).
Подставив значения коэффициентов а в выражение для общего полинома в форме (3.15), имеем
W (х) = qi + q2 * + j? (3<7з — 3q1 — 2lq2 — lqA) + fr (lqA+ |
lq2 — |
|||||
— 2q3 + 2 ft) = |
qx ^ |
(2x3 — 3lx2 + |
l3) + |
q2j2 |
(*3 — 2lx2 + |
l2x) + |
+ |
qt ~ |
(3 /^ _ 2x3) + |
g i± |
(*3- |
lx3). |
|
Используя общие свойства координатных функций, можно непосред ственно записать их, без выполнения обычно громоздких алгебраи ческих операций, при помощи которых постоянные коэффициенты полинома (3.15) связываются со степенями свободы.
Подбор координатных функций требует значительных навыков и связан с рассмотрением большого количества вариантов. Такой подбор целесообразно выполнять в нормализованной системе ко ординат. Для КЭ, показанного на рис. 26, начало нормализован
ной системы координат следует поместить в точку хс = (рис. 27).
Нормализованная координата | связана со старой системой коор' динат хОу соотношениями
Б - w 2 ** « “ ОТ- |
<3-17> |
Тогда координаты узловых точек соответственно равны — 1 и +\. Запишем для КЭ (рис. 27) координатные функции в обобщенном
При |
подстановке в выражение |
(3 19) координат узлов ^ — 1, |
£2 ^ |
+ 1 координатная функция |
принимает соответственно значе |
ния |
1 и 0. Следует иметь в виду, что аналогичные условия для ко |
ординатных функций / 2 и /4 выполняются относительно их произ водных, так как между степенями свободы существует дифферен
циальная зависимость q; (JC) = — Как уже отмечалось, ко
ординатные функции описывают распределение перемещений по об ласти изгибаемого стержня, когда одно из перемещений равно еди нице, а остальные — нулю. Поскольку степени свободы изгибае мого стержня имеют четкий физический смысл, такие* функции можно построить с использованием представлений, о деформирова нии стержня, заимствованных из строительной механики стержне вых систем (рис. 28).
Коэффициенты матрицы жесткости выводятся в соответствии с выражением (2 .22). Покажем вычислительное операции для по
лучения коэффициента k3i: |
i |
v |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л34 = |
^ О3Ё4dx. |
(3.20) |
Здесь а3 = М (х) = |
|
— изгибающий м0мент по области КЭ, |
|||
„ |
а/2 = |
1; |
, |
d2w (х) |
По области КЭ, |
возникающий от |
е4 = |
— кривизна |
|||
возникающая от |
ср2 = |
1 . |
|
|
|
В случае w2 = |
1; |
= |
ф1==ф2 = 0 функция перемещений (3 15), |
||
записанная в соответствии с формой (3.16), |
' |
||||
|
w ( E ) = T ( H - g ) * ( 2 ~ g ). |
(3.21) |
Переходя к системе координат хОг с помощью соотношений (3.17), можно получить
|
|
(*) = |
j i *2 — |
х3. |
|
|
(3.22) |
|||
Аналогично для |
случая- ф2 |
= |
1; |
|
= Ф1 = |
w2 = |
0 |
|
||
|
|
w ( i ) = |
{ a |
+ |
i)2a - i ) . |
|
|
(3.23) |
||
В системе координат хОг |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
w(x) = |
— j x |
2 + |
— x3. |
|
|
(3.24) |
||
Подстановка функций (3.22) и (3.24) в выражение |
(3.20) |
приво |
||||||||
дит к конечному результату |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
- |
Оi« 1? ( ? |
**■ -1- «*) £> ( - т |
+ k |
**) <1* - |
Щ ■ |
Аналогично выводятся и остальные коэффициенты матрицы жест кости, размер которой в соответствии с принятым числом степе ней свободы 4 x 4 . Матрица жесткости устанавливает соотношения между узловыми, перемещениями КЭ и реакциями в дополнитель ных связях, соответствующих принятым степеням свободы:
Ri |
|
12 |
_6_ |
12 |
' |
|
|
|
/з' |
/ а |
/з |
/а |
Ч |
’ |
|
|
|
|
I |
6^ |
_2 |
|
Ф1 |
< |
•= E J |
/а |
> |
/ |
|
||
12 |
|
12 |
6^ |
|
(3.25) |
||
R, |
|
‘ /а |
|
|
|||
|
|
/з |
~/а |
|
W o |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
м 2 |
|
|
2_ |
6^ |
4 |
|
Ф2 |
|
/а |
I |
‘ /а |
т |
|
||
|
|
|