книги / Прогнозирование теплового состояния изделий при эксплуатации в условиях воздействия солнечного излучения

NY = 105; NE = 160; SH = 23. Шаг счета по времени принимался равным ∆τ = 60 с, т.е. ∆τ = 0,0196 τn . Результаты численного решения представлены в табл. 5.3.

Рис. 5.2. Схема дискретизации

(NY = 105; NE = 160; SH = 23)

81

Таблица 5 . 3 Результаты численного решения по МКЭ

Из сравнения данных табл. 5.2 и 5.3 следует, что расхождение численного и аналитического решений не превышает 3 % при τ = 10 мин и далее убывает. Если же шаг счета по времени принимать переменным, а именно более мелкий шаг в начальный период нагревания, то погрешность численного расчета еще более уменьшается.

5.3.Нагревание сплошного цилиндра. Граничные условия 2-го рода

5.3.1. Постановка задачи

Длинный сплошной цилиндр из полимерного материала диаметром Дн = 2Rн = 500 мм, имеющий начальную температуру Т0 = 20 °С, подвергается осесимметричному воздействию теплового потока величиной q = 10 Вт/м2.

Теплофизические характеристики материала цилиндра при температуре 20 °С следующие: λ = 0,505 Вт/(м·К); ρ = 1800 кг/м3;

а= λ/(ρс) = 2,2717·10–7 м2/с = 8,1781 ·10–4 м2/ч; (ρс = λ/а = = 617,5028 Вт·ч/(м3К)). Определить распределение температур по своду цилиндравовремени приτ = 6; 12; 24; 36; 48; 60 и 72 ч.

5.3.2. Решение задачи

Постановка и аналитическое решение задачи теплопроводности при граничных условиях 2-го рода приведены в работах [7, 43]. Это решение имеет вид

82

Здесь Fо = аτ/R2; µ1 = 3,8317; µ2 = 7,0156; µ3 = 10,1735; µ4 = 13,3237; µ5 = 16,4706 – корни уравнения J1 (µ) = 0. J1 (µ) –

функция Бесселя 1-го порядка.

Результаты аналитического решения задачи представлены

Для численного решения задач МКЭ выбрано поперечное сечение цилиндра. В силу симметрии цилиндра достаточно рассмотреть сектор с углом 30°. Схема дискретизации расчетной области приведена на рис. 5.3. Параметры дискретизации: NY = 105; NE = 160; SH = 23. Шаг счета по времени принимался равным ∆τ = 0,3 ч, т.е. ∆τ 0,004 τп, шаг сетки по радиусу ∆r = 0,01 м. Результатычисленного решенияпредставленыв табл. 5.5.

Окончание табл. 5 . 5

Рис. 5.3. Схема дискретизации (NY = 105; NE = 160; SH = 23)

84

Из сравнения табл. 5.4. и 5.5. следует, что сходимость численного решения с аналитическим находится в начальный период нагревания впределах 1 %, в конце нагревания – в пределах2,5 %.

5.4. Нагревание неоднородного цилиндра. Граничные условия 2-го рода

5.4.1. Постановка задачи

Длинный многослойный цилиндр из разнородных материалов, имеющий начальную температуру Т0 = 30 °С, подвергается осесимметричному воздействию теплового потока величиной q = 11,63 Вт/м2. Геометрические размеры и теплофизические характеристики материалов цилиндра приведены в табл. 5.6.

Таблица 5 . 6 Геометрические и теплофизические характеристики материала

Найти распределение температур по своду цилиндра и времени в течение τп = 24 ч.

5.4.2. Решение задачи методом конечных разностей

Сначала поставленную задачу решим методом конечных разностей (МКР) по отлаженной и проверенной вычислительной программе на языке Turbo Pascal 6.0, действующей на предприятии [45]. Для решения задачи составляется расчетная схема согласно рис. 5.4 (в радиальном направлении 15 точек, 14 полос). В соответствии с рекомендациями работы [45] в первом варианте расчета шаг счета в начальный период нагревания ∆τ1 от τ = 0 до

τ = 4 ч выбирался равным ∆τс1 ≈ 0,001τп = 0,001·24 = 0,024 ч (принято ∆τс1 = 0,025 ч), в период ∆τ2 – от 4 до 12 ч (∆τс2 ≈ 0,005 τп = = 0,1 ч) и в период ∆τ3 – от 12 до 24 ч (∆τс3 ≈ 0,01τп = 0,25 ч). Ре-

зультаты решения задачи приведены в табл. 5.7.

85

Рис. 5.4. Расчетная схема 1

86

Таблица 5 . 7

Результаты расчета температур, °С, по МКР (расчетная схема 1)

Затем данная задача просчитывалась на этой же расчетной схеме (по рис. 5.4.) со следующими измененными шагами счета по времени:

–второй вариант ∆τс1 = ∆τс2 = ∆τс3 = 0,1 ч;

–третий вариант ∆τс1 = 0,05 ч; ∆τс2 = 0,2 ч; ∆τс3 = 0,5 ч.

Результаты расчета температуры по второму и третьему варианту шагов счета по времени практически совпадают с результатами, приведенными в табл. 5.7 (отличие имеется лишь в начальный период нагревания во втором знаке после запятой).

Далее поставленная задача просчитывалась с использованием более мелкой расчетной схемы по рис. 5.5. Шаг счета по времени принимался следующим: ∆τс1 = 0,025 ч; ∆τс2 = 0,1 ч; ∆τс3 = 0,25 ч. Результаты решения задачи приведены в табл. 5.8.

87

Рис. 5.5. Расчетная схема 2

88

Таблица 5 . 8

Результаты расчета температур, °С, по МКР (расчетная схема 2)

Из сравнения данных табл. 5.7 и 5.8 видно, что результаты расчета температуры на более мелкой расчетной схеме 2 (по рис. 5.5) отличаются от результатов расчета по расчетной схеме

1(по рис. 5.4) не более чем на 0,6 градуса.

5.4.3.Решение задачи методом конечных элементов

Для численного решения задачи методом конечных элементов выбрано поперечное сечение неоднородного цилиндра. Схема дискретизации расчетной области приведена на рис. 5.6. Параметры дискретизации: число узлов NY = 555; число элементов NE = 1008; ширина полуполосы ленточной матрицы SH = 17; число граничных элементов GЕ = 36. Задача решалась при начальной температуре Т0 = 30 °С с граничными условиями 2-го рода, при этом величина теплового потока по периметру

89

поперечного сечения цилиндра принималась постоянной и рав-

ной q = 11,63 Вт/м2.

Рис. 5.6. Схема дискретизации поперечного сечения изделия

(расчетная схема 3), (NY = 555; NE = 1008; SH = 17)

Шаг счета по времени в первом варианте принимался равным ∆τс1 = 0,1ч. Дискретизация расчетной области проводилась авто-

матически с помощью процедуры TRIAN по работе [46]. Результаты решения задачи приведены в табл. 5.9.

90