книги / Прогнозирование теплового состояния изделий при эксплуатации в условиях воздействия солнечного излучения

Положения работы [6] могут быть успешно использованы для оценки предельной температуры, достигаемой в элементах и узлах изделия при его эксплуатации в условиях воздействия повышенной температуры окружающей среды (воздуха) и солнечного излучения. В настоящей работе рассматривается решение более сложной задачи, а именно получение информации о влиянии температуры окружающей среды и солнечного излучения, а также времени их действия на элементы и узлы за полный годовой цикл эксплуатации изделия в форме и объеме, достаточных для решения задачи прогнозирования эквивалентных температур эксплуатации, сохраняемости характеристик и срока службы изделий принятыми на практике методами, например по изложенной в стандарте [4] процедуре. Конечной целью настоящей работы является разработка методики математического моделирования нестационарного теплового состояния изделий при одновременном действии температуры воздуха и солнечного излучения (с учетом суточного изменения температуры воздуха и суточного и годового движения Солнца) и на ее основе анализ возможности сохранения проектных (расчетных) характеристик изделий с элементами и узлами из полимерных материалов и прогнозирования их срока службы при эксплуатации в условиях тропического климата, в том числе в экстремальных (наихудших) условиях сухого тропического климата.

11

ГЛАВА 1. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОВОГО СОСТОЯНИЯ ИЗДЕЛИЙ С УЧЕТОМ ИХ КОНСТРУКТИВНОГО ОФОРМЛЕНИЯ

1.1. Постановка задачи

Достоверное определение теплового состояния изделий с учетом их сложного конструктивного оформления и различных теплофизических характеристик материалов можно получить решением задачи теплопроводности с помощью метода конечных элементов, поэтому в настоящем разделе ставится задача получения разрешающей системы уравнений метода конечных элементов применительно к решению нестационарной задачи теплопроводности. Разрешающую систему уравнений можно получить либо с использованием вариационной формулировки уравнения нестационарной теплопроводности, либо с помощью метода взвешенных невязок.

1.2. Дифференциальная постановка нестационарной задачи теплопроводности

Нестационарные поля температур в теплопроводящей среде описывает дифференциальное уравнение теплопроводности, выражающее зависимость между температурой, временем и координатами элементарного объема с учетом его теплофизических характеристик. В общем случае нелинейное уравнение теплопроводности имеет вид [7, 8]

Линейный вариант уравнения (1.1) имеет следующую фор-

му [9]:

12

Здесь и далее принято, что λ = const.

Для практического использования уравнения (1.2) при решении задач приведем его в различных системах координат:

1) в декартовой системе координат

а при осесимметричной нагрузке из соотношения (1.2г) следует, что

Ниже будет изложен вывод разрешающей системы уравнений метода конечных элементов для осесимметричной задачи теплопроводности, т.е. в соответствии с уравнением (1.2в). Зависимость тепловой нагрузки от угла ϕ при необходимости будет учитыватьсязаданием соответствующих граничных условий.

13

Для плоской задачи в полярных координатах функционал принимает вид [15, 18, 20]

В случае осесимметричной задачи, т.е. для продольного сечения изделия, функционал принимает вид [15, 18, 20]

Нетрудно убедиться, что уравнение (1.2д) является уравнением Эйлера–Лагранжа для функционала (1.9), т.е. если удовлетворяется уравнение (1.7), то функция Т(r, z, τ ) является решением уравнения (1.2д) с соответствующими краевыми условиями. Это

выполняется только при условии ∂∂τT = const , т.е. в этом случае

нестационарная задача теплопроводности сводится к последовательности стационарных вариационных задач для каждого момента времени. Допустимость этого определяется тем, что в рассматриваемых задачах темп изменения температуры мал по сравнению спространственными градиентами температуры.

15

В дальнейшем все рассуждения и математические выкладки будем вести для осесимметричной задачи, полагая, что температура T = T (r, z,τ) . Решение плоской задачи рассматривается как

частный случай осесимметричной задачи.

Вариационный принцип формулируется следующим образом: среди всех распределений температуры, удовлетворяющих заданной тепловой нагрузке на поверхности изделия, истинным является то, которое сообщает экстремальное (т.е. минимальное или максимальное) значение функционалу J (1.8) или (1.9).

Следовательно, распределение температуры в изделии может быть найдено из условия экстремума (например минимума) функционала, т.е. из условия (1.7). Наиболее эффективно это можно сделать на основе дискретной расчетной схемы исследуемого изделия с использованием метода конечных элементов. Заметим, что при минимизации функционалов (1.8) и (1.9) параметры q, Tc , ∂T / ∂τ рассматриваются в

качестве инвариантов (считаются постоянными величинами) на временном отрезке (шаге) ∆τ . При этом решение нестационарной задачи теплопроводности сводится к последовательности решений стационарных вариационных задач с шагом по времени.

1.4. О выделении единственного решения

Дифференциальные уравнения теплопроводности (1.1), (1.2) являются общими для процессов переноса теплоты. Для выделения из множества решений одного единственного вводят условия однозначности, которые включают [8]:

1.Геометрические условия, задающие область существования функции, т.е. форму и размеры тела (изделия), в котором протекает процесс.

2.Физические (теплофизические) условия, задающие физические свойства теплоотдающей и тепловоспринимающей сред

иих изменения в зависимости от изменения параметров процесса теплопередачи.

16

PNRPU

3.Временные (начальные) условия, характеризующие состояниетела(изделия) в начальный момент процесса теплообмена.

4.Граничные условия, характеризующие особенности протекания процесса на границах тела (изделия), или условия взаимодействия исследуемого тела с окружающей средой. Существует четыре рода граничных условий. Их классификация приведена в работах [7, 8]. Совокупность временных и граничных условий называют краевыми условиями.

Перечисленные условия однозначности определяют единственное решение задачи нестационарной теплопроводности.

1.5.Реализация вариационной формулировки задачи методом конечных элементов

1.5.1.О связи метода конечных элементов

сметодом Ритца

Основная идея метода конечных элементов состоит в том, что непрерывную в пространстве искомую функцию заменяют конечным числом ее значений, определенных в узлах конечноэлементной сетки. Для этого рассматриваемая континуальная область представляется некоторым числом элементов, которые соединяются в конечном числе узловых точек, расположенных на границах элементов. Температурное поле для каждого элемента аппроксимируется алгебраическим полиномом, определяющим единственным образом температуру внутри элемента через температуры узлов. Выбранная функция температуры должна обеспечивать непрерывность температурного поля в узлах и на границах раздела элементов, что является необходимым и достаточным условием минимизации функционалов (1.8) и (1.9).

Метод конечных элементов аналогичен процедуре метода Ритца в «малом», т.е. в пространстве решений отдельного конечного элемента. Решение задачи по методу Ритца осуществляется в такой последовательности: для соответствующего функционала выбирается координатная функция ϕi (i = 1, 2, ..., n);

функционал строится в виде J = ∑αiϕi и минимизируется на

i

17

множестве неопределенных параметров, что приводит к системе линейных алгебраических уравнений. На практике конечные элементы выбираются в виде простых геометрических фигур – плоский треугольник для плоской задачи, кольцевой треугольный элемент для осесимметричной задачи, тетраэдр для объемной задачи, что соответствует линейным координатным функциям. Использование простейших треугольных элементов позволяет наиболее просто описать нерегулярные области.

1.5.2. Последовательность минимизации функционала

При решении краевых задач математической физики (теплопроводности, упругости, пластичности и т.п.) методом конечных элементов процедура минимизации функционала состоит из выполнения следующих операций.

1.Область, в которой находят решение задачи, разделяют на конечные элементы, соединенные друг с другом в конечном числе узловых точек. Совокупность конечных элементов образует конечно-элементную сетку (модель, схему) рассматриваемой области. Чаще всего используются треугольные плоские

итороидальные элементы, реже – четырехугольные элементы.

2.Выбирают вид координатных функций, которые одно-

значно описывают распределение температуры в элементе в зависимости от координат, например, в виде линейного полинома T = C1 + C2r + C3 z , где C1,C2 ,C3 – неопределенные коэффициенты.

3.Значение искомой функции (температуры) в узлах ко- нечно-элементной сетки принимается за основные неизвестные параметры (величины). Распределение температуры в пределах элемента выражают через значения температур его узлов.

4.Координатную функцию подставляют в выражение функционала и, приравнивая к нулю его первую вариацию, получают разрешающую систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) для одного конечного элемента. Разрешающую систему уравнений для всей совокупности конечных элементов находят суммированием вкладов ототдельных конечных элементов.

18

5. Решив полученную систему уравнений с учетом граничных условий, получают приближенные значения искомой функции (температуры) в узлах сетки.

Отметим, что непосредственная процедура решения краевых задач методом конечных элементов с помощью компьютера согласно перечисленным пунктам 1–5 сводится в основном к многократно повторяющимся операциям с матрицами.

Рассмотрим некоторые из этих пунктов.

1.5.3.Зависимость температуры

вэлементе от узловых температур

Обычно расчет теплового состояния изделий проводится с использованием уравнения нестационарной теплопроводности для осесимметричной задачи (в цилиндрической системе координат) или для плоской задачи (в декартовой или полярной системе координат). Ниже приводится решение осесимметричной задачи теплопроводности. Плоская задача теплопроводности является частным случаем осесимметричной задачи, поэтому при программировании осесимметричная задача легко переводится в плоскую.

Рассмотрим на примере осесимметричной задачи связь между температурой в элементе и ее узловыми значениями. Для дискретизации исследуемой области используем кольцевые треугольные элементы согласно рис. 1.1.

Рис. 1.1. Кольцевой треугольный элемент

19

При этом считается, что элементы сравнительно малы по отношению к температурному градиенту и конечным контурам области, так что температурное распределение и границы можно представить в виде кусочно-линейных приближений. Так как решение задачи в разделе 1.3 сведено к последовательности стационарных вариационных задач с шагом по времени, то основные зависимости между конечно-элементными и узловыми параметрами выведем для стационарного случая.

В пределах каждого элемента температурное поле аппроксимируется линейным полиномом (первой степени)

где r, z – координатные оси. За неизвестные функции выбирают узловые температуры Ti , Tj , Tk в вершинах (узлах) треугольника.

Для узловых точек выполняются следующие условия:

Подстановка (1.11) в (1.10) приводит к системе алгебраических уравнений:

Ti = C1 ri + C2 zi + C3, Tj = C1 rj + C2 zj + C3,

Tk = C1 rk + C2 zk + C3,

решая которую с помощью формул Крамера [21], получаем выражения для неизвестных коэффициентов С1, C2 , C3 :

20