книги / Надёжность систем автоматизации
..pdf6.3. Расчет количества ЗИП
Количество запасных частей зависит от интенсивности отказов, времени пополнения ЗИП (tп), требуемой его достаточности (Kд), организации снабжения и степени восстановления. Рассмотрим методику расчета ЗИП [4].
Для пуассоновского потока отказов вероятность числа отказов n
Pn (t) = (λnt!)n e−λt .
Вероятность того, что число отказов за время t будет не больше m,
m |
|
n |
Pn≤m (t) = ∑(λt) |
e−λt . |
|
n=0 |
n! |
|
|
|
Вероятность того, что число отказов за время t будет больше m,
Pn>m (t) =1− Pn≤m (t).
Если в ЗИП имеется два элемента, а вероятность того, что за время tп произойдет больше двух отказов, равна 0,1, то это означает, что достаточность ЗИП равна 0,9 (Kд = 0,9), а недостаточность равна 0,1 (Kн/д = 0,1). Kд ЗИП задается обычно равной 0,9–0,99.
Рассмотрим расчет числа запасных изделий для случая, когда отказавшие изделия не ремонтируются.
Организация ЗИП в данном случае реализуется по такой схеме. Неисправное комплектующее изделие заменяется исправным из ЗИП. Работоспособность его не восстанавливается. В ЗИП должно постоянно находиться такое число запасных частей, которое обеспечивает с заданной вероятностью достаточности (Kд) ЗИП потребность их для заданного интервала времени (tп).
161
Исходными данными для расчета числа запасных частей являются:
–интенсивность отказов заменяемого изделия – λо;
–число заменяемых изделий в основном изделии – n;
–время пополнения ЗИП – tп;
–вероятность достаточности ЗИП – Kд.
Далее по формуле Pn≤m (t) определяется Kд для различ-
ных значений числа запасных элементов в ЗИП, начиная с m = 0.
Как только коэффициент достаточности Kд превысит заданный, вычисления оканчиваются и последнее m берется в качестве рассчитанной цифры.
Пример 6.2 [4]. Определить число запасных типовых элементов замены (ТЭЗ), если известно, что λо = 5 10–6 1/ч, Kд = 0,9…0,99, tп = 5000 ч, число ТЭЗ в аппаратуре равно 60.
Определим: λΣ |
= 5 |
10–6 60 = 3 10–4, λΣ tп = 3 10–4 5 103 = |
||||||||||
= 1,5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приводим вычисления: |
|
|||||||||||
при m = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
m |
(λΣtп ) |
n |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Pn≤0 = ∑ |
|
e−λΣtп = e−λΣtп = e−1,5 = 0,223; |
||||||||||
|
|
|
n=0 |
|
n! |
|
|
|
|
|
||
при m = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
P |
= P |
|
+ P |
(t |
п |
) = 0,223 + (λΣtп )1 |
e−λΣtп = 0,558 ; |
|||||
n≤1 |
|
n≤0 |
|
1 |
|
|
|
|
1! |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при m = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
P |
|
= P |
|
+ P |
(t |
п |
) = 0,558 + (1,5)2 |
e−1,5 = 0,809 ; |
||||
n≤2 |
|
n≤1 |
|
2 |
|
|
|
|
2!
при m = 3
162
Pn≤3 = Pn≤2 + P3 (tп ) = 0,809 + (1,5)3! 3 e−1,5 = 0,935 > 0,9
(для Kд = 0,9 достаточно иметь в ЗИП три ТЭЗ); при m = 4
P |
= P |
+ P |
(t |
п |
) = 0,935 |
+ (1,5)4 |
e−1,5 = 0,982 ; |
|||||
|
n≤4 |
|
n≤3 |
|
|
4 |
|
|
4! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при m = 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
P |
= P |
+ P |
(t |
п |
) = 0,982 + (1,5)5 |
e−1,5 = 0,996 > 0,9 |
||||||
n≤5 |
|
n≤4 |
|
4 |
|
|
|
|
5! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(для Kд = 0,99 достаточно иметь в ЗИП пять ТЭЗ).
Расчет для восстанавливаемых элементов
Отказ элемента происходит с интенсивностью λо. Отказавший элемент ремонтируется и поступает на пополнение в ЗИП. Время пополнения tп теперь равно среднему времени ремонта, т.е., как правило, tп существенно уменьшается. Методика расчета при этом та же, что и в предыдущем случае, только в конце берется значение m + 1 (с учетом ремонтируемого ТЭЗ).
Решим предыдущую задачу при условии, что ТЭЗ ремонтируется, время ремонта tрем = 12 ч:
λΣ = 3 10−4 (1/ч);
λΣtп = λΣtрем = 3 12 10−4 = 3,6 10−3;
Pn≤0 = 0,996 > 0,99.
Поскольку вероятность того, что за время ремонта не произойдет отказа, больше достаточности Kд, то в ЗИП достаточно иметь один ТЭЗ.
163
7. ПРОСТЕЙШИЕ МЕТОДЫ ПОИСКА ДЕФЕКТОВ (ОТКАЗОВ)
Большое значение для повышения надежности систем с восстановлением имеет уменьшение времени обнаружения, локализации и замены компонентов. Рассмотрим простейшие целесообразные методы поиска дефектов (отказов).
7.1. Оценка алгоритмов поиска дефектов по стоимости проверок
Под стоимостью проверок можно понимать:
1.Число проверок N:
– минимальное Nmin ;
– максимальное Nmax ;
– среднее Ncp.
2.Время (трудоемкость) выполнения проверок ti (i-й
проверки), общее время проверок t:
–минимальное tmin ;
–максимальное tmax ;
–среднее tcp.
3. Собственно стоимость отдельных проверок ci (i-й
проверки), полные затраты на проверки С в денежном выражении:
–минимальные полные затраты Сmin ;
–максимальные Сmax ;
–средние Сcp.
Рассмотрим объект диагностирования, имеющий n компонентов. Введем допущения:
–в объекте возник один дефект;
–в процессе поиска новые дефекты не возникают;
164
– вероятности отказов компонентов qi составляют пол-
n
ную группу событий, т.е. ∑qi =1, где qi – приведенная (от-
i=1
носительная) вероятность отказа i-го компонента, т.е.
q |
= |
qi0 |
; |
q0 |
=1− p |
(t |
) =1−e−λiti , |
|
n |
||||||||
i |
|
|
i |
i |
i |
|
||
|
|
∑qi0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
где λi , ti – соответственно интенсивность отказов и время
работы i-го компонента при экспоненциальной модели отказов.
Легко видеть, что среднее число проверок зависит от вероятностей отказов компонентов и выбранной последовательности проверок. Допустим, компоненты проверяются по одному.
Вероятность обнаружения дефекта будет соответствовать вероятности отказа компонента. Тогда в q1 случаях де-
фект будет обнаружен при 1-й проверке (индексация компонентов соответствует номеру проверки).
В q2 случаях дефект будет обнаружен при 2-й проверке (при проверке 2-го компонента).
В qn–1 случаях дефект будет обнаружен после проверки
предпоследнего компонента. Поскольку последний компонент не проверяется, то это значит, что отказ именно в нем (таково допущение) и его вероятность отказа прибавляется к вероятности отказа предпоследнего. Таким образом:
n–1
Ncp =1 q1 +2 q2 +3 q3 +....+(n −1)(qn−1 +qn ) = ∑iqi +(n −1)qn.
i=1
В этом случае
Nmin =1; Nmax = n −1, а изменение последовательности проверок изменяет Ncp.
165
Пусть n = 3, тогда число различных последовательностей n! = 6:
123
132
231
213
312
321
Ncp =1 q1 + 2(q2 + q3 ), или Ncp =1 q2 + 2(q1 + q3 ), или Ncp =1 q3 + 2(q1 + q2 ).
Ncp тем меньше, чем больше вероятность отказа 1-го
проверяемого компонента по отношению к сумме вероятностей отказов оставшихся. Оценим среднее время проверок:
|
|
n−1 |
tcp = t1q1 + (t1 + t2 )q2 + ...+ (qn−1 + qn )∑t j = |
||
|
|
j=1 |
n−1 |
i |
n-1 |
= ∑qi ∑t j + qn ∑t j ; |
||
i=1 |
j=1 |
j=1 |
n−1 tmin = ti min , tmax = ∑ti .
i=1
Аналогичны выражения для стоимости проверок в денежном выражении:
сcp = с1q1 + (с1 + с2 )q2
сmin = сimin ,
n−1
+ ...+ (qn−1 + qn )∑сj ;
j=1
n−1
сmax = ∑сi . i=1
166
Каждая проверка характеризуется переменными ti ; (ci ); qi . Поэтому, как нетрудно понять, 1-ми должны проверяться компоненты, обладающие большими значениями qi
и меньшими ti ; (ci ).
Изменим, например, порядок проверок 1 и 2:
n–1
t* =t q +(t +t )q +...+(q − +q )∑t .
cp 2 2 2 1 1 n 1 n j j=1
Тогда ∆t =tcp −t*cp = t1q1 +(t1 +t2 )q2 −t2q2 −(t2 +t1 )q1 =
=t1q2 −t2q1. 1-я последовательность предпочтительней, если
∆t < 0, т.е.:
∆t = t q |
2 |
−t q < 0 |
или t q |
2 |
<t q , т.е. q2 |
< q1 . |
|||
1 |
2 |
1 |
1 |
2 |
1 |
t2 |
t1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, можно упорядочить проверки
q1 |
> |
q2 |
>... > |
qn−1 |
> |
qn |
. |
|||
t |
|
|
|
|||||||
|
t |
2 |
|
t |
n−1 |
|
t |
n |
||
1 |
|
|
|
|
|
|
Тогда получим алгоритм поиска дефектов, математическое ожидание времени которого минимально. При этом если после n – 1 проверки дефект не обнаружен, то за дефектный принимают последний – непроверенный и не проверяют его.
7.2. Основные методы построения алгоритмов поиска дефектов (отказов)
7.2.1.Метод случайного выбора проверок
Вэтом случае данные о надежности, продолжительности, стоимости проверок отсутствуют или одинаковы. При
случайном выборе (методе |
«тыка» или «научного тыка») |
и равновероятности исходов |
|
|
167 |
|
|
n−1 |
+ n −1, |
|
|||||||
|
|
Ncp = ∑ |
i |
|
|||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
i=1 n |
|
|
|
|
n |
|
|||
|
n −1 |
соответствует, например, |
5-му элементу на дереве по- |
||||||||
|
n |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
иска n = 5 (рис. 7.1). |
|
|
|
|
|
Поскольку в выражении |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
n−1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
∑ |
i |
|
арифметическая прогрес- |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
i=1 n |
|
|
|
||||
|
|
|
сия по i, сумма по которой рав- |
||||||||
|
|
|
на полуразности 1-го и послед- |
||||||||
|
|
|
него элемента, умноженной на |
||||||||
|
|
|
число элементов, то |
|
|||||||
|
|
|
|
n−1 |
|
(n −1)(1+n −1) |
= n −1n. |
||||
|
|
|
|
∑ |
i |
= |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||
Рис. 7.1. Дерево поиска отказов |
|
i=1 n |
|
2n |
2 |
||||||
|
в системе из пяти элементов |
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Nср = n −1n + n −1 = |
|
||||||||
|
|
2n |
|
|
|
|
n |
|
|||
|
|
= n(n −1) +2(n −1) |
= (n −1)(n + 2) . |
|
|||||||
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
При n = 5 получаем Ncp |
= 2,8. |
|
|
|
|
7.2.2. Метод возрастающей продолжительности (трудоемкости)
В этом случае известна лишь продолжительность проверок. Поэтому их очередность устанавливается в порядке возрастания (не убывания) этого параметра:
t1 <t2 < ... < tn−1;
168
|
1 |
|
+t2 ) 1 |
|
2 |
n−1 |
|
tcp =t1 |
+(t1 |
+...+ |
∑t j ; |
||||
n |
n |
||||||
|
|
n |
|
j=1 |
tcp = 1n [t1n +t2 (n −1) +...+tn−12].
При этом среднее число проверок может оставаться таким же, как при случайном выборе, а средняя продолжительность становится заметно меньше. Такой метод может считаться простейшим рациональным методом поиска дефектов.
7.2.3. Метод проверок слабых компонентов
Если имеются данные о вероятностях отказов компонентов, то наименьшему среднему числу проверок будет соответствовать последовательность проверок по убывающему ряду вероятностей отказов:
p1 > p2 > ... > pn−1.
Проверке должны подвергаться вначале наиболее слабые компоненты. При этом среднее число проверок заметно уменьшается по сравнению со случайным выбором и тем заметней, чем больше компонентов и больше различаются их вероятности отказов.
7.2.4. Метод «время – вероятность»
Если имеются данные о вероятностях отказов компонентов и продолжительности проверок, целесообразно строить последовательность проверок в соответствии с отношением
q1 |
> |
q2 |
> .... > |
qn−1 |
> |
qn |
. |
|||
t |
|
|
|
|||||||
|
t |
2 |
|
t |
n−1 |
|
t |
n |
||
1 |
|
|
|
|
|
|
При этом достигается минимальное среднее время проверок.
169
7.2.5. Метод половинного разбиения
Иногда возможно проверять компоненты не по одному, а группой. Например, наличие тока через последовательную цепь для обнаружения обрыва или замена сразу группы блоков, плат. Количество компонентов n можно выразить так:
n = 2m +r,
где r – «остаток» до соответствующей степени числа 2 (n −r = 2m ). Например, при n = 5 m = 2, r = 1. Построим дерево проверок для n = 5 (рис. 7.2).
Рис. 7.2. Половинное разбиение системы из пяти элементов
Минимальное количество проверок Nmin = 2 = m.
Максимальное |
количество |
проверок |
Nmax =3 = |
= m +1(for _ r ≠ 0). |
|
|
|
При m проверках |
распознается n −2r технических со- |
стояний (при n = 5 три состояния).
170