книги / Теория химических реакторов введение в основной курс
..pdf
|
|
|
|
|
|
– оператор Гамильтона; C gradl C; |
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
|
|||||
|
|
|
z |
|
2 22x 22y 22z – оператор Лапласа.
Упрощение внешнего вида уравнения достигается при переходе к цилиндрическим координатам. Этот переход целесообразен и с точки зрения приближения теоретических уравнений к реальным условиямработыпромышленныхреакторовпроточноготипа.
В цилиндрических координатах оператор Лапласа имеет следующийвид, которыйупрощаетсяприкруговойсимметриипотока:
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
R |
|
|
|
|
|
|
|
R |
2 |
|
|
|
2 |
x |
2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
R |
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(104) |
||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
R |
|
|
|
R |
x |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В этом случае уравнение (103) может быть записано в следующем виде:
dC DL 2C DR d 2 x R
|
|
C |
|
C |
|
C |
|
|
|
|
|
R |
|
u |
R |
u |
x |
Wr , |
(105) |
|
|||||||||
|
R |
R |
|
|
|
|
где DL и DR – коэффициенты продольного и радиального переме-
шивания (эффективной диффузии). Таким образом, для математического моделирования любого микрообъема (или всего объема реактора) можно использовать общее уравнение (105) при условии, что процессы внутреннего переноса подчиняются уравнениям типа Фика и могут быть описаны коэффициентами эффективной диффузии, включающей как чисто диффузионный перенос вещества, так и его переносзасчетвихревыхиликонвекционныхпотоков.
В целом уравнение (105) дает достаточно хорошее приближение для большинства практических случаев. Оно применимо для описания реальных реакторов любого типа.
71
Приведем уравнение (105) к безразмерному виду. Для этого введем следующие обозначения и произведем замену:
PeL uL ; |
Ц |
С |
; |
0 |
V |
|
L |
; |
С0 |
|
u |
||||||
DL |
|
|
|
Vсек |
|
безразмерная длина z Lx ; L – определяющий линейный размер
реактора (например, длина пути основного потока от входа до выходного патрубка реактора).
Сответственно: dC C0 dЦ; |
d 2C C0 d 2 Ц; |
dx Ldz; |
dx2 L2dz2 ; 0 const.
Ограничимся упрощенным вариантом стационарного (не зависящего от времени) уравнения (105), не учитывающим радиальную составляющую диффузии:
|
|
|
|
|
D |
2C |
u |
C |
W 0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
2 x |
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
D |
C0 |
|
2 |
Ц |
|
|
u |
C0 |
|
C |
k C0 |
n |
Ц |
n |
0 |
|
(106) |
||||||||||
L2 |
|
2 z |
|
|
L |
z |
|
|
|||||||||||||||||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
dЦ |
|
|
1 |
|
|
|
|
d 2 |
Ц |
k |
|
L |
C0 |
n 1 |
Ц |
n |
|
|
|
|||||||
|
dz |
|
|
|
|
|
dz |
2 |
|
|
|
|
|
|
0. |
|
|
||||||||||
PeL |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В результате несложных преобразований получено двухпараметрическое дифференциальное уравнение второго порядка, частные решения которого описывают химические реакторы, работающие в различных условиях. В этом уравнении параметр Pe = u·L/D. Подставляя в общее решение этого уравнения значение параметра Пекле и постоянного члена перед слагаемым Цn, можно получить желаемое частное решение, т.е. выражение, описывающее величину концентрации от расстояния z до входного патрубка реактора. При z = L вычисляется концентрация вещества А на выходе из реактора.
72
Как уже было указано выше, уравнение (106) описывает любой реактор. В частности, при DL 0 PeL оно переходит в
модель идеального вытеснения; при DL PeL 0 – в модель
идеального перемешивания.
Считается, что левая часть уравнения (106), так же как и часть уравнения (105) без членов dCd и Wr , относится к описа-
нию процесса внутреннего массопереноса, или структуре потока. Основными параметрами структуры потока, таким образом, являются безразмерные критерии Пекле РеL и РеR.
Главной особенностью критерия Пекле является существование зависимости его величины от гидродинамических параметров движущегося потока жидкости или газа. Это позволяет определить предварительное значение Ре без проведения специальных исследований кривых отклика. В подавляющем числе случаев это чисто эмпирические зависимости, найденные путем математической обработки больших массивов экспериментальных данных. Некоторые из них приведены ниже.
Полая труба, ламинарная область:
1 |
|
|
1 |
RePr, |
(107) |
|
Pe |
192 |
|||||
|
|
|
где Re – критерий Рейнольдса; Рr – критерий Прандтля. Турбулентная область
1 |
3,57 |
, |
(108) |
|
Pe |
||||
|
|
|
где λ = ε/d – относительная шероховатость трубы. Для переходной зоны
1 |
1,2 |
10 |
7 |
|
3,6 |
|
d 0,141 |
, |
(109) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Pe |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
2L |
|
|
где d – диаметр; L – длина трубы.
73
Проведены достаточно детальные и обширные исследования критерия Пекле для аппаратов различных типов. Эмпирические зависимости, аналогичные приведенным выше, можно найти в специальной литературе.
5.2. Оценка критерия Пекле по экспериментальной кривой отклика
Для трубчатых реакторов часто наблюдается близость f
(см. формулу (84), рис. 12) к нормальному гауссову распределению. Для этого случая выявлена связь между безразмерной дисперсиейσ2 икритериемПекле:
σ2 |
2 |
. |
(110) |
|
|||
|
PeL |
|
В то же время для дисперсии σ2 известны соотношения:
2 |
|
i2Cиi |
|
|
iCиi |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
, |
(111) |
||
Cиi |
||||||||
|
|
|
|
Cиi |
|
|
||
|
|
2 |
2 |
|
|
|||
|
|
. |
|
(112) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
В связи с этим вернемся к примеру расчета функции распределения f (подразд. 4.3). На основе табл. 3 и в соответствии с уравнением (111) составим табл. 5.
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 5 |
|
Расчет дисперсии времени выхода |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
τ |
|
|
i |
C |
|
2 |
C |
i |
|
|
иi |
|
i |
иi |
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
10 |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
20 |
|
|
|
10 |
|
200 |
|
30 |
|
|
|
72 |
|
2160 |
74
|
|
Окончание табл. 5 |
|
|
|
τi |
i Cиi |
i2 Cиi |
40 |
224 |
8960 |
50 |
425 |
21 250 |
60 |
624 |
37 440 |
70 |
672 |
47 040 |
80 |
536 |
42 880 |
90 |
342 |
30 780 |
100 |
200 |
20 000 |
110 |
66 |
7260 |
120 |
0 |
0 |
∑ |
3171 |
217 970 |
Используя данные расчета, вычислим критерий Ре для представленного случая ( Cиi 50, см. выражение (83); 63,26 с,
см. (88)). |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
217 970 |
|
3171 |
2 |
4359,4 4022,1 337,3, |
|
50 |
|
50 |
|
||
|
|
|
|
|
2 337,3 0,0843,
63,26 2
Pe |
L |
|
2 |
|
2 |
|
23,7. |
|
2 |
0,0843 |
|||||||
|
|
|
|
Если принять за условное равноудаленное от того или иного идеального типа реакторов значение критерия Пекле, равное единице, то можно сделать заключение, что реактор, рассмотренный в подразд. 5.2, по структуре потока ближе к реактору идеального вытеснения, однако влияние внутреннего перемешивания достаточно хорошо заметно – отклик на импульсное возмущение существенно растянут по оси времени (см. рис. 12).
В литературе представлены варианты расчета критерия Пекле по экспериментальной кривой отклика при различных вариантах организации потока в реакторе [11].
75
6. РАСЧЕТ РЕАКТОРОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ
Существование единого уравнения, позволяющего описать работу химического реактора, а также возможность представления реальных реакторов в виде эквивалентной схемы (см. рис. 4) приводят к мысли о существовании обобщенного оператора – процедуры, которая могла бы в виде одного действия преобразовать входные данные реактора в его выходные данные:
|
Входные |
|
Оператор |
|
Выходные |
||
|
данные |
|
|
|
|
данные |
. |
|
|
|
реактора |
|
|
И действительно, такая процедура существует, но только в комплексном р-пространстве. Оператором является так называемая передаточная функция реактора W(p), определяемая как отношение выходного сигнала к входному сигналу, выраженных также в комплексном виде:
W ( p) |
Fвых ( p) |
. |
(113) |
|
|||
|
F ( p) |
|
|
|
вх |
|
|
Соответственно |
|
|
|
Fвых ( p) W ( p) Fвх ( p) . |
(114) |
Для каждого вида идеальных реакторов, а также комбинированных схем из них существует собственная оригинальная передаточная функция.
Рассмотрим вычисление передаточной функции при включении нескольких реакторов в элементарные комбинированные схемы (рис. 16–18).
Рис. 16. Последовательное включение реакторов
76
Рис. 17. Параллельное включение реакторов
Дляпоследовательноговключенияреакторовпоопределению:
C1 W1 p C0 , |
|
|
C2 W2 p C1, |
|
|
|
|
|
|
|
(115) |
|
||
|
|
|
|
|
|
C Wn p Cn 1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
Исключая в (115) промежуточные переменные, получим
1 |
|
2 |
|
n |
|
|
|
x, |
(116) |
C W |
p |
W |
p |
W |
p W |
|
p |
||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
W ( p) Wi ( p). |
|
|
|
(117) |
i=1
При параллельном включении аппаратов примем С0 = 1; введем коэффициент распределения αi потока Q по параллельным реакторам таким образом, что Σ αi = 1. В этом случае
Wi p |
Ci |
Ci Ci . |
(118) |
|
C |
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
77 |
Выходная концентрация может быть представлена в виде выражения
Cвых |
i V Ci |
i Ci . |
(119) |
i V |
В связи с этим можно записать выражение для передаточной функции системы параллельных реакторов:
W p |
Cвых |
i Ci i Ci . |
(120) |
|
C0 |
C0 |
|
Умноживправуюилевуючастиуравнения(118) наαi, получим
i Wi i Ci . |
(121) |
Следовательно, |
|
n |
|
W p i Wi p . |
(122) |
i 1
Схема включения реакторов с рециркуляцией части продуктов представленана рис. 18, гдеа– долявозвращающегосяпотока.
Рис. 18. Включение реакторов в схему с обратной связью
Сложение потока обратной связи с основным потоком может привести как к уменьшению, так и к увеличению концентрации на входе в первый реактор. Если принять, что концентрация на входе в первый реактор С 0 = C0±C0C, то система уравнений, описываю-
78
щих работу реактора с рециклом может быть представлена следующим образом:
C W1 ( p) (C0 C0C ),
C0C a W2 ( p) C.
Исключая C0C , получим
C |
W1 |
( p) |
|
C0 |
W ( p) C0 . |
(123) |
||||
1 a W1 ( p) W2 ( p) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W ( p) |
|
W1 ( p) |
|
|
. |
(124) |
|||
|
|
1 a W |
( p) W |
( p) |
||||||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
В выражении (124) знак минус соответствует положительной обратной связи.
Существует процедура составления передаточных функций сложных технологических схем, охваченных многими обратными связями (формула Мейсона). Она описана в учебниках по теории автоматического управления.
6.1.Передаточные функции идеальных
икомбинированных реакторов
Рассмотрим передаточные функции идеальных реакторов.
Реактор идеального перемешивания. Вернемся к уравне-
нию баланса (92):
V dCd C1 Vсек C Vсек ,
где С1 – входная концентрация, С – выходная. Проводя преобразование Лапласа с учетом формулы (5) приложения 3 и считая, что C(+0) = 0 (в первый момент из реактора индикатор не выходит), получим
79
C( p) p V C( p) Vсек C1 ( p) Vсек, |
(125) |
|||||||||||||||||||||||||
|
C( p) ( p V Vсек ) C1 ( p) Vсек |
|
||||||||||||||||||||||||
|
C( p) |
|
|
|
|
Vсек |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Vсек |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
C ( p) |
|
|
|
p V V |
|
|
|
|
|
p |
Vсек |
|
|
|
||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сек |
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
||||||
всоответствиис(95), (96) |
|
V |
, |
следовательно, учитывая(113): |
||||||||||||||||||||||
V |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
сек |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
C( p) |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
W ( p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||||
|
C1 ( p) |
1 p |
|
|
|
p 1 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Передаточная функция: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
W p |
|
1 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
(126) |
|||||||||
|
|
|
|
|
p 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Реактор идеального вытеснения. Определим передаточ-
ную функцию при δ-импульсе на входе в реактор. Концентрация на входеC1 , концентрация на выходе в
соответствии с рис. 14 не изменяется, но появляется с задержкой
по времени |
|
|
V |
. Таким образом, на выходе концентрация |
|
|
|
||||
|
V |
|
|||
|
|
|
сек |
|
|
может быть записана в виде выражения C ; 1. |
|||||
По теореме |
запаздывания (см. приложение 3, |
свойство 7), |
|||
e p 1. |
Следовательно, по определению |
|
|||
|
|
|
|
W p e p 1 e p . |
(127) |
|
|
|
1 |
|
Учитывая правила комбинирования (117), (122), (124), можно вычислить переходные функции для различных схем включения
80