книги / Разрушение квазихрупких тел с трещинами при сложном напряженном состоянии

МЕТОД ГРАНИЧНОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИИ В ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ ТРЕЩИН

Известные в настоящее время аналитические методы определения предельного равновесия тел с трещинами позволяют в основном решать задачи для случаев оди­ нарных трещин несложной конфигурации, содержащих­ ся в неограниченных телах. В таких задачах, как пра­ вило, фигурирует один (максимум два) безразмерный параметр, что дает возможность при их решении эффек­ тивно использовать асимптотические и числовые мето­ ды. Однако практически важные задачи теории трещин, которые ставит перед наукой о прочности твердых тел инженерная практика, в большинстве случаев являются многопараметрическими. Для их решения, хотя бы ка­ чественного, в настоящее время отсутствуют какие-либо универсальные методы.

В настоящей главе предлагается [13, 39, 40] метод приближенного решения многопараметрических задач такого класса. Этот метод основывается на интерполя­ ционном подходе и позволяет строить решение многопа­ раметрических задач теории трещин, если известны ре­ шения их граничных случаев, т. е. решения соответствую­ щих однопараметрических задач.

1. Формулировка метода

Постановка задачи. Рассмотрим хрупкое тело, ослаблен­ ное системой трещин и подвергнутое действию внешних усилий, точки приложения которых сравнительно удале­ ны от контуров трещин. Пусть конфигурация тела и гео­ метрическое размещение трещин характеризуются ли­ нейными параметрами аи 02, 0п, а геометрическая конфигурация каждой трещины — параметрами Ъi,

Кьт.

Принимаем параметры a,j такими, что при стремле­ нии всех параметров а ^ о о (/ = 1, 2, п) получаем неограниченное тело, ослабленное одной трещиной вы­ бранной конфигурации Ь{.

Как следует из гл. II, установление предельного рав­ новесия такого тела сводится к вычислению коэффици­ ентов интенсивности напряжений Кь Кп, Кт. Поэтому основная суть развиваемого здесь метода заключается в способе эффективного определения коэффициентов ин­ тенсивности напряжений для тел с трещинами.

На основании П-теоремы о размерностях [53] коэф­ фициенты интенсивности напряжений Ki^\ Kii(i), Km{i) Е точках контура трещины конфигурации й* можно пред­ ставить в виде

прерывными и непрерывно дифференцируемыми.

Если число параметров n, т~> 1, то задачу называют многопараметрической; если n = m = 1, то задача соот ветственно будет однопараметрической.

Решение многопараметрических задач. На основании сделанных допущений относительно линейных парам01' ров а, безразмерные функции

oo f п m )

нию с другими, то, пренебрегая в (1V.4) смешанными про­

Формулы (IV .5) являю тся предельно простыми для практического использования и даю т удовлетворитель­ ную точность такж е в случае, если граничные значения искомых функций в основном определяю тся первыми членами их степенного разлож ения.

Таким образом, на основании соотношений (IV.1) и (IV.5) коэффициенты интенсивности напряжений Кь Кп и Кт во многих конкретных случаях могут быть при­ ближенно установлены через их граничные значения для соответствующих однопараметрических задач.

Решение однопараметрических задач. Пусть конфи­ гурация тела характеризуется одним линейным парамет­ ром а, а размер имеющейся в нем трещины — линейным параметром b. В этом случае задача предельного рав­ новесия тела с трещиной описывается двумя линейными параметрами а и b или одним безразмерным параметром %= b/a<. 1 и является однопараметрической.

Представим коэффициенты интенсивности напряже­

вычисленные для данного случая на основании простых формул сопротивления материалов; а, (3, у — геометри­ ческие части коэффициентов интенсивности напряжений, зависящие от формы элемента конструкции и типа на­ пряженного состояния.

Коэффициенты интенсивности напряжений Ki, Кт Кт вычисляем, обобщая для задач теории трещин ин­ терполяционный метод Нейбера [31]. При этом рассмат­ риваем два граничных случая:

1) неограниченное тело с трещиной заданной конфи­

2) тело конфигурации а с трещиной, размер которой приближается к размеру поперечного сечения тела

(Аг-»-1), а коэффициенты интенсивности напряжений Kiw, Кп(1\ Кт(1 вычисляются по формулам

*!!> = ’ ‘iio .fc КМ = « . „ v . - (iv.8)

Рассуж дая аналогично, как и в работе [31] при н а­ хождении коэффициентов концентрации напряжений, геометрические части коэффициентов интенсивности н а­

пряжений Ki, Кп, Km для произвольного значения пара­ метра X определяем так:

При этом для вычисления номинальных напряжений ffnom, Тгпош предлагаются такие интерполяционные фор­ мулы:

где показатель степени т дает наилучшее приближение,

anom’ T/nom для соответствующих граничных случаев, реше­

того растяжению. Однако для других случаев неосесим­ метричного напряженного состояния прямое применение метода Нейбера [31] для вычисления коэффициентов интенсивности напряжений Ki, Кп, Кт без учета соот­

трещин длины 21, располо­ женных вдоль прямой под уг­

&лом а к направлению действия

фграничные случаи такой зада­

углом а к направлению действия усилий q (рис. 20, б). Используя результаты работы [34], а также соотношения (IV.7), для вычисления значений а<®>т , т<°>от, а0, ро получаем

формулы

внешними усилиями с главным вектором Q=2qh неог­ раниченной пластины, состоящей из двух полуплоско­ стей, которые соединены по перешейку длины 2 (h— /) (рис. 20, в). При этом считается, что линия трещины направлена под углом а к направлению действия глав­ ного вектора внешних усилий Q. На основании резуль­ татов работы [61], а также соотношений (IV.8) для

Используя результаты работы [75] и вычисляя зна­ чения Ф(Я], 0), Ф(0, Яг), на основании формулы (IV. 17) приближенно определяем коэффициент интенсивности напряжений Кь По этим данным на рис. 22 (сплошные кривые) построены графики изменения величины R — =Kiq~i (2яа)- ‘/2 в зависимости от Я1 и ЯгКривые 1—3 соответствуют значениям Яг=2Я1, Яг=Я1 и Яг=0. На рис. 22 пунктирными линиями представлены аналогич­ ные зависимости, полученные на основании точного ре­

Требуется найти коэффициент интенсивности напряжений

Ki ( K i i = K m = 0 ) .

Используя предложенный выше подход приближен­ ного вычисления коэффициентов интенсивности напря­ жений для многопараметрических задач теории трещин, величину Ki д л я данного случая вычисляем по такой формуде:

Здесь %i=ac~i, X 2= d b ~ i 1 а функции Ф(А,1, 0), Ф(0, А,2) определяются из задач об интенсивности напряжений в окрестности контура дискообразной трещины радиуса а, находящейся соответственно в неограниченном слое тол­ щиной 2с [56] и длинном цилиндре диаметром 2b [68]:

где 0 (*[) и 0 (*2) — малые величины соответственно поряд-

Используя соотношения (IV. 18) и (IV. 19), для вы­ числения значения коэффициента интенсивности напря­ жений Ki получаем такую приближенную формулу:

дачи, а только формулы (IV. 20) по отношению к формуле

тирной линией показано точное решение данной задачи, полученное в работе [83]. Как следует из сравнения этих графиков, ошибка приближенного решения не пре­ восходит 3%.

Таким образом, из рассмотрения примеров ранее из­ вестных задач видно, насколько эффективен и точен

предложенный здесь метод. В последующих параграфах исследуются новые задачи, решение которых практи­ чески довольно трудно осуществить уже известными ме­ тодами.

3. Неограниченное тело, ослабленное системой параллельных трещин

Растяжение неограниченного тела с системой параллель­ ных круговых трещин. Рассмотрим тело, ослабленное системой параллельных круговых в плане трещин ра­ диуса а, центры которых расположены периодически в трех взаимно перпендикулярных направлениях вдоль осей Ox, Оу, Oz, т. е. координаты их можно предста­ вить так:

Пусть такое тело подвергнуто растяжению в неогра­ ниченно удаленных точках равномерно распределенны­ ми усилиями интенсивности q, направленными перпен­ дикулярно к плоскостям расположения трещин. Задача состоит в определении предельно равновесного состоя­ ния тела.

Как следует из данных гл. II, для установления пре­ дельного равновесия тела с трещинами необходимо вы­ числить коэффициенты интенсивности напряжений Ki, Кп, Кт. Для этого используем предложенный выше подход.

Поскольку в рассматриваемом случае напряженное состояние будет симметричным относительно плоскостей расположения трещин, Кц—Кт =0, а величину Ki пред­ ставим приближенно так:

Здесь Xi= а 6 -1; Х2= а с -1; A*=ad~l; ф — полярный угол, определяющий положение точек контура каждой тре­ щины; Ф(ф, Xi, 0, 0), Ф(ф, 0, Х2, 0), Ф(ф, 0, 0, Х3) — без­ размерные функции, устанавливаемые из задач для слу­ чаев периодически расположенных круговых трещин в