Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Основы теории цепей. Ч. 2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

5.87 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 3130 31 > Следующая >>>

Прямое преобразование Фурье (4.71), применяемое к сигналам типа (4.84), принимает вид одностороннего преобразования Фурье:

∞
F ( jω) = ∫ f (t)e− jωt dt .	(4.86)
0

Оно, как и прямое преобразование Фурье, существует в обычном смысле, т.е. комплексный спектр принимает конечное значение, только если функция f (t) абсолютно интегрируема.

Очевидно, что преобразование Лапласа (4.85) и одностороннее преобразование Фурье (4.86) по структуре и написанию тождественны, если заменить в них одно постоянное число другим: p на jω либо

обратно. Поэтому, пользуясь обратным преобразованием Фурье в обобщенной форме, можно записать обратное преобразование Лапласа, дающее возможность вычислить оригинал f (t) по его оператор-

ному изображению F ( p) :

	1	σ+ jω	{F ( p)} .
f (t) =	1	∫ F ( p)e pt dp = L−1		(4.87)
f (t) =		∫ F ( p)e pt dp = L−1		(4.87)
	2πj
		σ− jω

Преобразование Лапласа является более общим, т.к. p рассматривается как комплексная величина.

Таким образом, преобразование Лапласа и преобразование Фурье различаются ограничениями, накладываемыми на функцию f (t) .

В преобразовании Лапласа функция f (t) должна быть с ограничен-

ным ростом, а в преобразовании Фурье – абсолютна интегрируема. Однако встречаются сигналы, не удовлетворяющие условию абсолютной интегрируемости, но имеющие порядок роста, т.е. такие, для которых F ( p) существует, а F ( jω) не выражается обычными

функциями. В этом случае возникает различие в момент времени t = 0 , появляется импульсная составляющая, которую необходимо учитывать при расчете.

291

4.8.5. Задачи и вопросы

Типовые задачи

L R2 iR2

Рис. 4.138

Задача 1.

Дано: электрическаяцепь(рис. 4.138). Найти: передаточныефункциицепи.

Решение.

Передаточная проводимость (Сим)

U&вх

I&R

R +

R2 jωL

R + jωL

R jωL

= R +

R + jωL

uiR2

вх

Передаточное сопротивление (Ом)

= I&

R2 jωL

1 R

+ jωL I&

+ jωL

Передаточная функция по току

W = I&

jωL

+ jωL I&

+ jωL

14243

I&R

Передаточная функция по напряжению

Wuu

U&вх

jωL

jωLR2

jωL

jωLR2

+ R U&

вх

R1 + jωL + R

( jωL + R2 )(R1 + jωL + R

)

Задача 2.

Дано: RC-цепь (рис. 1.139, а), на вход которой поступил экспоненциальный сигнал (рис. 4.139, б).

Найти: закон изменения тока i2(t).

292

Решение.

Определим передаточные функции. Передаточная проводимость

I&2

− j

ωC

вх

− j

ωC

R +

ωC

− j

ωC

передаточные функции по току и напряжению

− j

ωC

R − j

I&1

− j

I&2

U&вых

ωC

W =

ωC

I&1

U&вх

R2 − j ωC

передаточное сопротивление

− j

Wiu = Z вх

ωC

R − j

− j

+ R

R1R2 − j

( R1 + R2 )

ωC

− j

− j (R1R2ωC + j ( R1 + R2 ))

R1R2ωC − j ( R1 + R2 )

( R R ωC )2 +( R + R )2

( R1 + R2 ) − j ( R1R2ωC )

( R R ωC )2 +

( R

+ R )2

293

Спектр I2 ( jω) =Wui E ( jω) .

Входное напряжение изменяется по экспоненциальному закону, соответствующее ему изображение по Лапласу имеет вид

E ( p) = α+E p ,

заменив в этом выражении p на jω, получим спектр входного напряжения

E ( jω) =	E	.
	α + jω

Воспользуемся обратным преобразованием Фурье (4.82)

i2 (t ) =

1 ∞

( R + R ) − j ( R R ωC )

dω.

2π−∞∫

α + jω

( R R

ωC )2

+( R

+ R

jωt

Вопросы и задачи для самоконтроля

1.Одинаковы ли классы функций, для которых могут быть выполнены прямые преобразования Лапласа и Фурье?

2.В чем заключается родственность преобразований Фурье

иЛапласа?

3.Могут ли принимать отрицательные значения амплитудночастотная и фазочастотная характеристики?

4.Для некоторой функции f (t) известно ее изображение по Лап-

ласу F ( p) . Как записать спектральную плотность этой функции?

5.Можно ли рассчитать частотным методом переходные процессы, происходящие в электрических цепях с ненулевыми начальными условиями?

6.Определить частотный спектр сигналов, представленных на рис. 4.140.

7.Определить спектральную плотность выходного напряжения (рис. 4.141, аи б) призаданном напряжении навходе (см. рис. 4.141, в).

294

F0e

α(t −t1 )

F e

−αt

Рис. 4.140

8. Определить спектральную плотность выходного напряжения (рис. 11.142, аиб) призаданномнапряжениинавходе(см. рис. 11.142, в).

9. На вход электрической цепи (рис. 4.143) в момент времени

t = 0 подается постоянное		напряжение	uвх = E . Найти частотный
спектр напряжения uвых .
R1	С		R1
uвх	R2	uвых uвх	R2	uвых
uвх	R2	uвых uвх	С	uвых
			С
	а	Рис. 4.143	б
		Рис. 4.143
				295

ОТВЕТЫ И РЕКОМЕНДАЦИИ

	К главе «Линейные электрические цепи с источниками пе-
риодических негармонических воздействий»
	3. Рекомендуется воспользоваться законом Ома для ампли-
тудных значений напряжений и токов и учесть, что X L(3) =3X L(1) ,
XC (3)	=	XC (1)	.

	3

9.5 2 А.

10.≈104, 4 В.

11.Учесть, что цепь не пропускает ток при условии резонанса тока, C1 =17, 78 мкФ, C2 = 2, 22 мкФ.

13.	IA	=1 А, UV =100	3 В, UV =100 В.
		1	2
14.	L1 = 0,1 Гн, L2 = 0, 05 Гн, IA =1,5 А, UV =100 2 В.

15.UV =15 В, IA = 0,15 А.

16.i1(t) =3sin ωt , i2 (t) = 4sin ωt +sin 2ωt ,

i3 (t) =sin(ωt −180o) +sin(2ωt −180o), А; uab (t) =12 cos ωt +6 cos 2ωt , В.

17.P = 60 Вт, Q = −30 вар, S = 105 ВА, Т = 80,778 ВА.

К главе «Четырехполюсники»

1 +

3. а)

; б)

1 0

; в)

; г)

Z 0

;

1 Z 1

1 +

Z 0

296

+ Z

3 )(Z

2 + Z

4 )

1 +

+ Z

Z 0

д)

;

Z 2 + Z 4

1 +

Z 0

е) рекомендуется преобразовать треугольник Z1 −Z 2 −Z 5 в эквивалентную звезду (рис. 1) и определить А-параметры по фор-

мулам			для	Т-образной схемы, где Z1 = Z15 + Z 3 , Z 2 = Z 25 + Z 4 ,
Y	=		1		;

0		Z12 + Z 0

1	Z 15	Z 25	2
1			2
		Z 12

Z 3	Z 0	Z 4

1'	Рис. 1	2'
	Рис. 1

ж) воспользоваться формулами определения А-параметров через параметры холостого хода и короткого замыкания, в которых

Z1x =

Z1к =

8.а) [ A]

б) [ A]

Z 2 (Z1 + Z 4 + Z 3 )

Z 4 (Z1 + Z 2 + Z 3 )

Z 2 + Z1 + Z 4 + Z 3

Z 2 (Z1 + Z 3 ) ,

2к

Z 4 (Z1 + Z 3 )

+ Z

Z A

A + Z A A + Z A

21 12

1 A21

A22

A21

A22

1 Z

A21

A22

A11

Z + A21

A12 Z +

A22

297

A11				A12					1	Z			A11						A11 Z + A12
в) [ A] = A				A					0	1		=	A Z A										+ A			,
		21		22												21						21		22
A				A					1	0			=			A		+			A Z					A
г) [ A] =		11		12									=				11		+			12				12		.
		21		22						1							21					22	Z			22
		A		A					1 Z	1						A					A		Z			A
9. б) [A] =		A		A			A			A						A2					+ A A						A A				+ A A
		A		A			A			A				=								12 21						11 12				12 22			,
			11		12 11						12			=					11			+ A A										+ A2			,
		A21		A22 A21						A22						A A						+ A A						A A				+ A2
																		21		11			22		21				21	12			22
A			A		A					A			A A								+ A A					A A				+ A A
A			A		A					A							22		11			12 21				22			12			12	22	,
в) [A] =		22		12					11	12	=				A A						+ A A							2	+ A A					,
	A A							A A							A A						+ A A						A		+ A A
		21		11					21	22							12		11			11 21						12		11 22
		21		11					21	22							12		11			11 21								11 22
A				A		A				A					A A + A A												A A + A A
		11		12					22	12							11		22				12		21			11		12			12	11
г) [ A] = A				A		A				A			= A A									+ A A					A A				+ A A					,
		21		22					21	11							21		22				22		21			21		12			22	11
− A11				− A12 A11									A12
д) [ A] =		− A		− A					A				A				.
			21					22		21				22
10. [ A] =		−2		j						− j							−1				[ A]			=		2			− j
10. [ A] =						, [H ] =											j		,		[ A]		род	=						,
		− j		−1						1							j						род			j			1

u1(t) = 4sin(ωt + 45o), В; схема замещения родственного четырехполюсника представлена на рис. 2.

1 Ом

Рис. 2

3 − 2 j

−10 j

130

11. [Z ] =

, [Y ] =

3 − 2 j

−3 −11 j

10 j

−

130

298


[ A] = (1 −3 j)			(−30 −20 j)	.
	−0,1 j		−1
12. i (t) =		5	2 sin(ωt −75o) , А.
12. i (t) =			2 sin(ωt −75o) , А.
2	3
	3

13. Рекомендуется	преобразовать реактивный треугольник
в эквивалентную звезду	и рассчитать параметры Т-образной схе-

мы, [ A] = 0	10 j		, Γ = j π .
0,1 j	j		2

14.Совпадают по фазе.

15.Α = 3 ln 2 Нп.

16. ψu = −50o .
1
	P	= e2Α , для цепной схемы из 5 звеньев
17. Напоминаем, что	1
17. Напоминаем, что	P2
	P2

= e10Α , следовательно, P2 = 48 Вт.

К главе «Электрические фильтры»

5. а) полоса пропускания ν <1 , б) полоса затухания ν >1 , в) граничная частота ν =1 .

6.Z C = j48, 4 Ом.

7.Α =1,39 Нп.

8.Полоса пропускания 0 ÷193 кГц.

9.u2 (t) =100sin(6 103 πt +83, 6o) , В.

10. Β = j60o , u2 (t) =10 2 sin(104 t −60o) , В.

К главе «Переходные процессы в линейных электрических цепях»

3. Верно: б, и, л, о. 10. г, е.

299

11.

а) 2, б) 2.

13.

а)

iL′′ +

iL′

iL = 0 , для определения значений в мо-

мент времени t = 0+

рекомендуется воспользоваться резистивными

схемами замещения

E/R

∞

г) uC′′

uC′ +

uc =

∞

14.

а)

A =

= 2 , б) A =1.

+ R

15.

uL (t) = −e−10t , В.

16.

а)

τ = (R + R )C =10 мс, б)

τ =

L(R1 + R3 )

= 0, 4 с.

R1R3

18. Новый стационарный режим устанавливается сразу, если постоянная интегрирования равна нулю.

20. Wэл = СU0 , откуда определяется величина С, далее следует

расчет по стандартной методике.

21.Рекомендуется для получения характеристического уравнения воспользоваться методом входного сопротивления.

22.Для определения характера переходного процесса в цепи необходимо получить характеристическое уравнение и оценить значение дискриминанта этого уравнения.

23. u	(0−) =u	(0+) =	E	R =100 В,	i		(0−) =i		(0+) =	E	=1А.
						L		L
C	C		3R							3R

Резистивная схема замещения в момент времени t = 0+ представлена на рис. 3.

300

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 3130 31 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
20.11.202317.88 Mб2Основы теории упругости и пластичности.-1.pdf
#
19.11.202339.69 Mб2Основы теории упругости и пластичности..pdf
#
12.11.202320.66 Mб2Основы теории упругости, пластичности и ползучести..pdf
#
12.11.202310.32 Mб1Основы теории устойчивости оболочек за пределом упругости..pdf
#
12.11.20234.97 Mб6Основы теории цепей. Ч. 1.pdf
#
12.11.20235.87 Mб7Основы теории цепей. Ч. 2.pdf
#
12.11.202320.78 Mб13Основы теории электрических цепей..pdf
#
12.11.202311.57 Mб49Основы термодинамики циклов теплоэнергетических установок..pdf
#
19.11.202329.1 Mб8Основы техники безопасности на нефтеперерабатывающих заводах..pdf
#
12.11.20239.92 Mб25Основы технической диагностики нефтегазового оборудования..pdf
#
12.11.20231.41 Mб10Основы технической термодинамики и теплотехники..pdf