Тогда обобщенная импульсная характеристика определяется как
k%(t ) = (h%(t ))′ = h′(t )1(t ) + h (t )δ(t ) = k (t )1(t ) + h (0)δ(t ) . (4.56)
Во втором слагаемом запишем h(0), т.к. δ(t) обладает фильтрующим действием (она не равна нулю только в момент t = 0).
Определение переходных и импульсных характеристик осно-
вано на расчете переходных процессов, возникающих в цепи при подключении источников с единичными входными воздействиями. Следует отметить, что переходная и импульсная характеристики для одной и той же системы могут быть различны, а следовательно, иметь различную размерность, в зависимости от выбора входного и выходного сигнала. Поэтому удобно сопровождать запись этих характеристик двойным индексом (первый указывает на выбранное входное воздействие, второй – на реакцию).
Если в качестве входного сигнала выбран ток, схемно подача на вход такой системы единичного ступенчатого возмущения реализуется в виде подключения источника тока с J = 1 А. Если входной сигнал – напряжение, расчет переходных и импульсных характеристик ведется при подключении источника ЭДС с E = 1 В (рис. 4.106).
иссл. |
|
иссл. |
|
цепь |
|
цепь |
|
Рис. 4.106 |
|
|
|
Пример. Рассмотрим определе- |
|
R |
|
ние всех возможных переходных и им- |
|
|
|
пульсных характеристик на примере |
вход |
C |
выход |
RC-цепи (рис. 4.107). |
Для любой цепи существует че- |
|
|
|
тыре переходных и соответствующих |
|
Рис. 4.107 |
|
им импульсных характеристик huu(kuu), |
|
|
|
|
|
hui(kui), hiu(kiu), hii(kii). Чтобы определить все эти функции, нужно решить четыре задачи расчета переходных процессов в электрических цепях (рис. 4.108).
Возможенрасчеткакклассическим, такиоператорнымметодом. Покажем на примере схемы (см. рис. 4.108, а) определение пе-
реходной и импульсной характеристик huu, kuu, hui, kui. 1. Классический метод
1) Запишем правило коммутации
uC (0− ) = uC (0+ ) = 0 .
2) Составим характеристическое уравнение цепи методом входного сопротивления
Z ( p) = 1 + R = 0 . pC
Корень данного уравнения
p = − 1 .
RC
а) |
R |
|
б) |
R |
|
|
|
|
|
E = 1 |
C |
uC |
E = 1 |
C |
iC |
|
uC(t) = huu |
|
|
iC(t) = hui |
|
в) |
R |
|
г) |
R |
|
|
|
|
|
|
J = 1 |
C |
uC |
J = 1 |
C |
iC |
uC |
|
|
|
|
uC(t) = hiu |
|
Рис. 4.108 |
iC(t) = hii |
|
|
|
|
|
|
3) Искомое полное решение
|
(t ) = u |
|
|
1 |
|
u |
+u |
= u |
+ Ae− |
|
t . |
RC |
C |
Cпр |
Cсв |
Cпр |
|
|
|
4) Принужденная составляющая
uCпр = E .
5) Постоянная интегрирования определяется с помощью правила коммутации
uC (0+ ) = E + A = 0, A = −E .
Таким образом, в общем случае
|
|
− |
1 |
t |
|
|
E |
− |
1 |
t |
|
uC (t ) = E 1 |
−e RC , iC |
= CuC′ |
= |
e RC . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
Переходные характеристики записываются при Е = 1 В и соответственно имеют вид
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
(t ) =1 −e− |
|
|
t |
, h |
(t ) = |
1 |
|
|
e− |
|
|
t . |
|
RC |
RC |
|
|
|
|
|
|
uu |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ui |
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обобщенные характеристики |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
h%uu (t ) = 1 −e− |
|
|
t 1(t ) , h%ui (t ) = |
1 |
e− |
|
t 1(t) . |
|
RC |
RC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
Импульсные обобщенные характеристики: |
|
|
|
|
|
|
|
k%uu (t ) = 1 −e−RC t |
|
1(t ) + 1 |
−e−RC 0 δ(t ) = |
|
1 e−RC t |
1(t ) , |
|
1 |
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
RC |
|
|
(t ) = − |
1 |
|
|
1 |
t 1(t ) + |
1 |
δ(t ) . |
|
k% |
e− |
|
|
RC |
|
|
|
|
ui |
|
|
|
|
|
R2C |
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
2. Операторный метод
Для расчета переходных характеристик операторным методом необходимо определить передаточную функцию системы.
Передаточной функцией системы называют отношение опера-
торного изображения выходного сигнала к операторному изображению входного сигнала при нулевых начальных условиях,
|
W ( p) = |
Y ( p) |
, |
(4.57) |
|
F ( p) |
|
|
|
|
|
где Y ( p) •=• y (t ) – выходнойсигнал, F ( p) •=• |
f (t ) – входнойсигнал. |
Операторная функция зависит только от параметров цепи и ее конфигурации и не зависит от вида входных воздействий.
Получим связь передаточной функции и переходной характеристики. По определению передаточной функции и переходной характеристики
H ( p) =W ( p) L{1(t)} , |
(4.58) |
где L{1(t)} = 1 – операторное изображение по Лапласу. p
Таким образом,
h (t ) = L−1 |
W ( p) |
|
|
|
. |
(4.59) |
|
|
|
p |
|
Для нахождения оригинала h(t) возможно использование теоремы разложения. Для рассматриваемого примера передаточная функция
W ( p) = UC ( p) .
E( p)
R |
Выразим |
UC (p) через |
Е(p) |
|
с помощью операторной схемы за- |
1 |
мещения (рис. 4.109). |
|
E(p) |
UC(p) |
|
= E( p) pC . |
|
pC |
I ( p) = E( p) |
|
Рис. 4.109 |
R + |
1 |
RpC +1 |
|
pC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
UC |
( p) = I ( p) |
1 |
= |
|
E( p) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
pC |
RpC +1 |
Таким образом, передаточная функция |
|
W ( p) = |
UC ( p) |
= |
1 |
. |
|
|
|
|
|
E( p) |
|
RpC |
Переходную характеристику определим с помощью теоремы разложения:
−1 |
W ( p) |
−1 |
|
1 |
|
h (t ) = L |
|
|
|
= L |
|
|
|
p ( RpC +1) |
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
1 |
t |
− |
1 |
t |
|
|
=1 + |
|
|
|
e RC |
=1 −e RC . |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
RC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
RC |
|
|
|
|
|
|
Результаты решения различными методами совпали. Описанные алгоритмы применимы для расчета переходных и импульсных характеристик в любых цепях рассматриваемого класса.
4.7.2. Формы записи интеграла Дюамеля
Рассмотрим на примерах способы представления входных сигналов (рис. 4.110, а, б) в виде суперпозиции ступенчатых (рис. 4.110, в) или импульсных функций (рис. 4.110, г).
На рис. 4.110, в, г наглядно показана возможность перехода от суммы к интегралу при устремлении ∆t → dt .
Для получения необходимых формул представим входное воздействие, в общем виде описываемое любой кусочно-гладкой функцией f(t), совокупностью элементарных дельтаобразных составляющих (рис. 4.111), возникающих во все моменты времени от нуля до момента наблюдения t. Составляющая f(t) является импульсной функцией, отличной от нуля в точке t = τ, с площадью импульса f (τ) ∆τ :
∆f%τ = f (τ)∆τδ(t − τ) . |
(4.60) |
Соответствующая ей составляющая реакции определяется к моменту t ввиде
∆y%τ = f (τ)∆τk%(t − τ) . (4.61)
Для получения «полного» входного и выходного сигнала применим принцип наложения:
∑ f (τ)∆τδ(t − τ) → ∑ f (τ)∆τk%(t − τ) . |
(4.62) |
14424443 |
144424443 |
|
f (t) |
y(t) |
|
При устремлении ∆t → dt осуществим переход от суммы к интегралу. В результате получим полную реакцию системы к моменту
256
наблюдения, учитывающую все импульсные компоненты воздействия, возложенные на интервал [0 ÷ t). Применим к полученному выражению теорему о свертке:
t |
t |
|
y(t) = ∫ f (τ)k%(t − τ)d τ = ∫ f (t − τ)k%(τ)d τ . |
(4.63) |
0 |
0 |
|
Раскрывая значение k%(τ) с помощью (4.56), получаем:
t |
t |
|
y(t) = ∫ f (t − τ)k (τ)1(τ)d τ+ ∫ f (t − τ)h(0)δ(τ)d τ. |
(4.64) |
0 |
0 |
|
Нижний предел во втором интеграле должен быть смещен к точке t = 0– для того, чтобы учесть значение импульсной составляющей в точке t = 0. В первом интеграле (4.64) множитель 1(τ) можно опустить, т.к. в пределах интервала интегрирования (τ > 0) 1(τ) = 1; а также в силу фильтрующего действия δ-функции второй интеграл упрощается. Окончательно получим:
t |
|
y(t) = h(0) f (t) + ∫ f (t − τ)k (τ)d τ, |
(4.65) |
0 |
|
t |
|
y(t) = h(0) f (t) + ∫ f (τ)k (t − τ)d τ. |
(4.66) |
0 |
|
Формулы (4.65), (4.66) соответствуют так называемым третьей и четвертой формам записи интеграла Дюамеля. Они позволяют рассчитать реакцию линейной цепи на произвольное воздействие f(t), когда задана импульсная характеристика. Необходимо иметь в виду, что входящая в первое слагаемое функция f(t) выражает значение воздействия в момент наблюдения t.
Выполним в третьей форме (4.65) интегрирование по частям
(u′ = k (τ) u′ = h(τ), v(t − τ) = f (t − τ), v′ = − f ′(t − τ)) :
|
|
t |
|
y(t) = h(0) f (t) − f (t − τ)h(τ) |
|
t0 + ∫ f ′(t − τ)h(τ)d τ = |
|
|
|
|
|
0 |
(4.67) |
|
|
t |
|
|
|
= h(0) f (t) + h(t) f (0) − h(0) f (t) + ∫ f ′(t − τ)h(τ)d τ. |
|
0 |
|
В результате необходимых преобразований получим первую (4.68) и с применением теоремы о свертке вторую (4.69) формы записи интеграла Дюамеля:
t |
|
y(t) = f (0)h(t) + ∫ f ′(t − τ)h(τ)d τ , |
(4.68) |
0 |
|
t |
|
y(t) = f (0)h(t) + ∫ f ′(τ)h(t − τ)d τ . |
(4.69) |
0 |
|
Эти формулы позволяют рассчитывать реакцию системы на произвольное входное воздействие f(t), когда задана переходная характеристика.
Если рассматривается кусочно-гладкое воздействие f%(τ) , которое на интервале наблюдения 0 ÷ t претерпевает разрывы, то производная f%′(t ) во всех точках разрыва ti будет содержать импульсную составляющую ∆f (ti )δ(t −ti ) . Из последнего интеграла извлекутся слагаемые вида ∆f (ti )h (t −ti ) , к которым относится и первое слагае-
мое при t = 0. |
Интеграл при этом разобьется на сумму интегралов |
с соответствующими пределами. |
|
|
|
|
q |
t |
|
|
|
|
y(t) = ∑∆f (ti )h(t −ti ) + ∫ f ′(t − τ)h(τ)d τ, |
(4.70) |
|
|
|
i =0 |
0 |
|
t |
t1 |
t2 |
t |
|
|
где ∫ = ∫K+∫K+K∫ |
, |
|
0 |
0 |
t1 |
tq |
|
|
∆f (ti ) – |
приращение входного сигнала в момент разрыва ti; |
|
q – число разрывов или нарушений гладкости; |
|
t – |
момент наблюдения. |
|
4.7.3. Последовательность расчета переходных процессов при помощи интеграла Дюамеля
Порядок расчета переходных процессов при помощи интеграла Дюамеля может быть следующим:
1)с помощью классического или операторного метода определить переходную характеристику цепи;
2)определить производную входного воздействия и заменить
вней текущее время t на переменную интегрирования τ ;
3)используя одну из форм интеграла Дюамеля, выполнить расчет реакции цепи.
Если воздействие представлено в виде кусочно-разрывной функции текущего времени t, то расчет реакции производят на каждом отдельном участке непрерывности воздействия. При этом учитывают разрывы непрерывности воздействия на границах отдельных участков.
В случае, когда воздействие произвольной формы прикладывается к активной цепи или цепь с ненулевыми начальными условиями, расчет переходных процессов можно вести методом наложения, принимая, что искомая величина содержит в переходном процессе две составляющие, одну из которых можно найти с помощью интеграла Дюамеля при нулевых начальных условиях, а другую составляющую, обусловленную начальным запасом энергии в цепи, − любым из рассмотренных ранее методов, например классическим илиоператорным.
4.7.4.Задачи и вопросы
Типовые задачи
Задача 1.
Дано: RC-цепь (рис. 4.112), на вход
которой поступил прямоугольный импульс |
R |
|
(рис. 4.113, а), |
x(t) |
C |
|
1, |
t ≤ t1 , |
|
x (t ) = |
t > t1. |
Рис. 4.112 |
0, |
Найти: закон изменения выходного напряжения в переходном режиме.
Решение:
а) Данный импульс можно представить в виде суперпозиции двух ступенчатых функций 1(t) – 1( t – t1) и, рассчитав переходные процессы на каждую из составляющих, получить результат в виде суммы двух реакций (рис. 4.113, б, в):
|
|
|
1 |
t |
|
|
|
− |
1 |
(t −t1 ) |
y1 |
|
|
и |
y2 |
|
(t ) = 10 1 |
− e RC |
(t ) = −10 1 |
− e RC |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
t |
|
− e |
|
|
y (t ) = 10 1 |
− e RC |
−10 1 |
|
|
|
|
|
|
Здесь мы дважды рассчитали переходный процесс, возникающий в рассматриваемой цепи. Причем момент наблюдения находится на интервале (t1; + ), т.е. оба ступенчатые возмущения уже «сработали».
б) Получим искомую функцию реакции с помощью интеграла Дюамеля:
на промежутке 0 < t < t1 : f (t ) = 10 («сработало» только одно ступенчатое возмущение)
|
|
1 |
1 |
t |
|
t |
y |
(t ) = 10 |
− e− |
|
+ |
f ′(τ)h (t − τ)d τ ; |
RC |
(1) |
|
|
|
|
|
|
∫ { |
|
|
|
|
|
|
|
0 0 |