книги / Математика введение в анализ, дифференциальное исчисление функции одной переменной

ctg 3x → ∞ при x →

0 .

Записав данную функцию как дробь

x

, получаем неопре-

tg 3x

lim x ctg 3x = lim

x

= lim

1

=

1

,

3

x→ 0

→x 0 tg 3x → x 0

3

lim ( x3 ln x) = lim

1

ln x

= −

1

lim x3 = 0.

= lim

x

−3x−4

x→ 0

→x 0

1 →

x 0

→ 3 x 0

x3

Задача 7.

Найти lim

x

−

1

.

x→ 1 x −1

ln x

Решение

x → 1 являются бесконечно большими

Здесь обе дроби при

lim

x

−

1

= lim

x ln x − x +1

,

x→ 1

x −1

ln x

→x 1 ( x −1) ln x

Так как

x → +∞

и ln3 x → +∞

,

то имеем неопределенность

вида∞ − ∞ .

Преобразуем разность к виду

lim

( x − ln3 x) = lim x 1 −

ln3 x

.

x→+∞

→+∞x

x

Так как при x → +∞

,

ln3 x → +∞

,

то имеем неопределен-

ность

∞

для дроби

ln3 x

.

∞

x

3

3ln2 x

1

2

2 ln x

1

lim

ln

x

= lim

x

= 3 lim

ln

x

= 3 lim

x

=

x

1

1

x

→+∞

→+∞x

→+∞ x

x →+∞

x

1

ln x

= 6 lim

1

= 0.

= 6 lim

= 6 lim

x

1

x→+∞

x

→+∞x

→+∞

x

x

ln3 x

Тогда

lim 1

−

= 1

и,

следовательно,

x→+∞

x

ln3 x

lim x 1

−

= +∞ .

x→+∞

x

1

; тогда, логарифмируя, находим ln y =

1

ln x ,

Пусть y = x

1−x

и, следовательно,

1

− x

lim ln y = lim

ln x

(неопределенность вида

0

).

x→ 1

→x

1 1 − x

0

Применяем правило Лопиталя,

1

ln x

lim ln y

= lim

= lim

x

= −1 .

−1

x→ 1

→x 1 1 − x → x 1

Таким образом, окончательно получаем

ln lim y = −1, lim y = e−1

или

x→ 1

x→

1

1

= e−1 .

lim x

1−x

x→

1

Задача 10.

Найти lim

(tg x)cos x .

x→

π

Решение

2

Здесь имеет место неопределенность вида ∞

0 .

Полагая

y = (tg x)cos x

и логарифмируя,

получим

ln y =

lim ln y = lim (cos x ln tg x) = lim

ln tg x

(неопределенность

∞

).

x→

π

→x

π

→ x

π

1

∞

2

2

2

cos x

По правилу Лопиталя находим:

1

1

lim ln y

= lim

ln tg x

= lim

tg x

cos2 x

= lim

cos x

= 0 ,

2

x→

π

→x

π

1

→ x

π

1

sin x→

x

π

sin

x

2

2

2

2

cos x

cos2

x

т.е.

ln lim y = 0 , тогда lim y = e0 =1 .

x→

π

x→

π

2

2

Следовательно,

lim (tg x)cos x

=1.

x→

π

2

Задача 11.

4

Найти lim x

1−2 ln x

.

x→+

0

Решение

Здесь имеет место неопределенность вида 00 .

4

Обозначая y = x

1−2 ln x

и логарифмируя, имеем

ln y =

4

ln x.

1 − 2 ln x

Переходим к пределу:

lim ln y = lim

4 ln x

(неопределенность вида

∞

).

x→+ 0

→+x

0 1

− 2 ln x

∞

Применяем правило Лопиталя:

1

ln x

lim ln y = 4 lim

= 4 lim

x

= −2 .

x→+ 0

→+x

0 1 − 2 ln x

→+ x

0

−

2

ln lim y = −2 , тогда lim y = e−2 .

x→+

0

x→+

0

4

= e−2 .

Таким образом,

lim x

1−2ln x

x→+ 0

§3. Возрастание и убывание функции.

Экстремум функции

Определения

Функция

y = f ( x)

возрас-

тающая (глава 1, §2, п. 2а)

Следует запомнить:

если

в

интервале

(a;b)

f ′( x) > 0 , то функция возраста-

ет в этом интервале (рис. 4.7).

Функция

y = f ( x)

убы-

вающая (глава 1, §2, п. 2б)

Следует запомнить:

если

в

интервале

(a;b)

f ′( x) < 0 ,

то функция убывает

в этом интервале (рис. 4.8).

Замечание

(a;b)

Если

в

интервале

f ′( x) = 0 ,

то функция y = f ( x)

в этом интервале не изменяется

(есть константа).

3.

Точка x0 называется точкой

локального максимума, если

существует такая δ -окрестность

точки x0, что для

всех x ≠ x0

из этой окрестности выполня-

ется неравенство f ( x) < f ( x )

0

(рис. 4.9), а значение функции

в этой точке f ( x0 )

называется

Рис. 4.9

локальным максимумом функ-

ции.

4.

Точка x0 называется точкой

локального минимума, если

существует такая δ -окрест-

ность

x ≠ x0

няется неравенство

f ( x) > f ( x )

0

(рис. 4.10), а значение функции

в этой точке f ( x0 )

называется

локальным минимумом функ-

Рис. 4.10

ции.

Замечание 1

Локальный

максимум

функции и локальный минимум

функции объединяются общим

названием локальный экстре-

мум функции (или просто экс-

тремум функции).

Замечание 2

Функция на данном интер-

вале (a;b) может иметь не-

сколько экстремумов (рис. 4.11).

Рис. 4.11

В точках x1 , x3 и x5 функция

x2 и x4 – минимум. По опреде-

лению

максимум

и

минимум

функции имеют локальный ха-

рактер: значения функции срав-

ниваются только в точках, доста-

точно близких к точкам экстре-

мума.

Отдельные

минимумы

функции

могут быть больше

максимумов

этой

функции.

Например, в точке x2 функция

имеет

минимум, в

точке x5 –

максимум, хотя f ( x2 ) > f ( x5 ).

5.

x0

–

точка

экстремума

Если

функция

y = f ( x)

f ′( x

)

= 0

или f

′( x

) не су-

имеет в точке

x0 экстремум, то

0

0

производная f ′( x) = 0 в точке x0

ществует

(4.17)

илинесуществует.

Следует запомнить:

точки,

в которых f ′( x) = 0 или

f ′( x)

не существует, называ-

ются

критическими

точками

I рода.

Замечание

Условие (4.17) означает, что

в точке экстремума дифферен-

цируемой

функции

y = f ( x)

наклон касательной к её графи-

ку равен нулю, касательная па-

раллельна оси OX (см. рис. 4.11).

Тот факт, что в точке экс-

тремума непрерывной функции

производная может не сущест-

вовать, поясняет пример функ-

Рис. 4.12

ции, график которой имеет из-

лом (рис. 4.12).

Следует запомнить:

точками экстремума

x = x0 мо-

гут быть

только критические

точки I рода, принадлежащие

области определения функции,

но не любая из возможных кри-

тических точек обязательно бу-

дет точкой экстремума.

Функция y = x3

определена

на (−∞ +∞;

) ; y′ = 3x2 ; критиче-

ская точка первого рода x = 0 .

Однако точка x = 0 не является

Рис. 4.13

точкой экстремума (рис. 4.13).

6.

Первое достаточное усло-

вие экстремума функции.

Пусть

функция

y = f ( x)

дифференцируема в некоторой

окрестности критической точ-

ки x0 (за исключением, быть

может, самой точки x0). Тогда

если при переходе через точку

x0 (слева направо) первая про-

Рис. 4.14

изводная меняет знак с плюса

на минус,

то x0 есть точка мак-

симума (см. рис. 4.14, а) с ми-

нуса на плюс, то x0 – точка ми-

нимума (см. рис. 4.14, б)

Замечание 1

Если

при переходе через

критическую точку x0 произ-

водная f ′( x) не меняет знака,

то функция f ( x) в точке x0 не

имеет экстремума.