книги / Физика колебаний
..pdf
текания; L – индуктивность выводов; C0 – монтажная емкость; C –
емкость n–p-перехода; D – туннельный диод в статическом представлении.
4. Динистор. В статическом режиме динистор описывается уравнением вида U = F (I ), где F (I ) задается графиком, приведен-
ным на рис. П.1.5. При увеличении тока I, |
начиная с некоторых зна- |
||||
чений, напряжение на выводах динистора |
|
|
|
|
|
стремится |
к некоторой постоянной вели- |
|
|
|
|
чине U1. |
Если последовательно с дини- |
|
|
U |
|
|
|
||||
стором включено сопротивление, то с рос- |
|
|
|
|
|
том тока, начиная с некоторых значений, |
|
|
|
|
|
напряжение линейно нарастает. На высо- |
|
U1 |
|
|
|
ких частотах необходимо учитывать ин- |
|
|
|
|
|
дуктивность выводов, которая в эквива- |
|
|
|
I |
|
|
|
|
|||
лентной схеме включается последова- |
|
|
Рис. П.1.5 |
||
|
|
||||
тельно с самим динистором. |
|
|
|||
291
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Методы составления уравнений для электрических цепей
Любая электрическая схема может быть представлена как совокупность соединенных электрических элементов – двухполюсников и четырехполюсников, которые в свою очередь, подразделяются на линейные и нелинейные. К двухполюсникам относятся пассивные элементы: омическое сопротивление, электрические емкость и катушка индуктивности, а также активные: источники напряжения
иисточники тока, электронные лампы, туннельные диоды, динисторы.
Влинейных двухполюсниках связь между током и напряжением
на нем определяется следующими формулами: |
UR = RI, R > 0 – для |
омического сопротивления; UL = LdI / dt – |
для индуктивности; |
UC = (1/ C )∫ Idt – для электрической емкости. Для нелинейных эле-
ментов (туннельный диод, динистор) связь между током и напряжением в линейном приближении будет такой же, как и для омического сопротивления. Однако если постоянное смещение выбрано на падающем участке вольт-амперной (или ампер-вольтовой) характеристики, то сопротивление R будет отрицательным.
Для получения уравнений, описывающих процессы в электрических схемах, пользуются обычно двумя методами. К ним относятся метод узловых потенциалов и метод контурных токов. При использовании метода узловых потенциалов за переменные величины выбирают потенциалы (напряжения) в независимых узлах (узел – точка соединения выводов двухполюсников или четырехполюсников). С помощью первого закона Кирхгофа записываются уравнения для токов в виде алгебраической суммы. В этом случае токи в узлах выражаются через напряжения в узлах с помощью уравнений, описывающих соответствующие двухполюсники и четырехполюсники.
При использовании метода контурных токов за переменные выбираются токи в независимых контурах. С помощью второго закона Кирхгофа записываются уравнения для падений напряжений вдоль
292
выбранного контура, при этом само падение напряжения выражается через токи в контурах с помощью соотношений, описывающих соответствующие двухполюсники и четырехполюсники. Число уравнений при использовании того или другого метода должно равняться числу независимых переменных. Кроме того, иногда бывает удобным использование закона Ома для неоднородного участка цепи.
Рассмотрим для примера тран- |
|
||
зисторный генератор с колебатель- |
|
||
ным контуром в цепи |
коллектора |
|
|
(рис. П.2.1). Нашей задачей являет- |
|
||
ся получение такой полной системы |
|
||
уравнений, из которой можно найти |
|
||
уравнение для какой-либо пере- |
|
||
менной, |
описывающей |
колебания |
|
в данном генераторе. Будем пренеб- |
|
||
регать |
для простоты |
током базы |
Рис. П.2.1 |
и реакцией коллекторного напряже- |
|||
ния. В этом случае уравнения тран- |
|
||
зистора (П.1.7) примут вид |
|
|
iк = gэuб, iб = 0. |
(П.2.1) |
|
Так как мы пренебрегли током базы, то напряжение на базе |
||
можно записать в виде |
|
|
uб = M di |
, |
(П.2.2) |
dt |
|
|
где i – ток, протекающий через катушку индуктивности L и формирующий за счет взаимной индуктивности M напряжение в цепи базы. Тогда первое уравнение в (П.2.1) перепишется как
i |
= g |
M di . |
(П.2.3) |
к |
э |
dt |
|
|
|
|
Обратимся теперь к участку aRLb колебательного контура. Для него на основании закона Ома имеем
293
iR =uк −L di . |
(П.2.4) |
dt |
|
Кроме того, для узла a |
|
iк =iC +i, |
(П.2.5) |
где iC – ток, протекающий по участку, содержащему емкость C. Значение этого тока связано с напряжением на коллекторе
i =C |
duк |
. |
(П.2.6) |
C dt
Из уравнений (П.2.2)–(П.2.6) нетрудно получить уравнение для тока i, протекающего через индуктивность L:
|
2 |
+(RC − gэM ) di |
|
|
LC d |
|
2i |
+i = 0. |
|
dt |
|
dt |
|
|
Это уравнение свидетельствует о том, что в данном генераторе возможен автоколебательный режим, причем, условие его возбуждения определяется неравенством
RC < gэM .
294
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
Электронные генераторы
Электронными генераторами называют устройства, предназначенные для получения колебаний электрического напряжения или тока. По форме колебаний их разделяют на генераторы синусоидальных колебаний (LC-генераторы, RC-генераторы) и генераторы импульсных колебаний (мультивибраторы, блокинг-генераторы и гене-
раторы линейно изменяющегося напря- |
|
|
|
|
|
|
|||
жения). Возбуждение колебаний (генера- |
|
|
|
|
|
Uвых |
|||
K |
|
|
|
|
|||||
ция) во всех генераторах достигается за |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
счет введения положительной обратной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
связи в усилитель. При этом сигнал с вы- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
хода усилителя (блок K на рис. П.3.1) |
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
через цепь обратной связи (блок æ ) по- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
дается на вход усилителя. Для самовоз- |
Рис. П.3.1 |
|
|||||||
буждения генераторов необходимо вы- |
|
|
|
|
|
|
|||
полнить два условия: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) условие баланса |
фаз: ϕæ +ϕk = 2πn (n = 0,1, 2,...), где |
ϕk – |
|||||||
сдвиг фазы усилителем, |
ϕæ – сдвиг фазы цепью обратной связи; |
||||||||
2) условие баланса амплитуд: æ k ≥1, где |
k – коэффициент |
||||||||
усиления усилителя, æ – коэффициент обратной связи.
Для получения требуемой формы выходного напряжения в блок
K(или æ ) вводится избирательная или времязадающая цепочка.
Вгенераторах гармонических колебаний используется колебательный контур (LC-генераторы) или фазосмещающая цепь (RC-гене- раторы). В генераторах импульсных колебаний используется времязадающая RC-цепь. Постоянная времени этой цепи τ = RC определя-
ет частоту (период T ) и скважность Q прямоугольных импульсов Q =T / tи, где tи – длительность импульса (рис. П.3.2).
Электронные генераторы могут работать в двух режимах: 1) «мягкий» режим возбуждения,
295
Триггер. Данное электронное устройство имеет два устойчивых состояния, т.е. на выходе либо есть напряжение, либо его нет. Эти состояния изменяются при подаче на вход запускающих импульсов или изменении комбинаций единиц и нулей, поступающих на вход триггера. Положительная обратная связь позволяет производить эти изменения очень быстро, скачком. При отсутствии запускающих импульсов состояние триггера сохраняется сколь угодно долго.
Спусковая схема. Это триггер с одним устойчивым состоянием или мультивибратор (одновибратор), который формирует один прямоугольный импульс под воздействием внешнего управляющего сигнала.
297
ПРИЛОЖЕНИЕ 4
Некоторые тригонометрические соотношения и интегралы
sin (α±β) =sin αcosβ±cos αsinβ cos(α±β) = cosαcosβ sin αsin β
tg (α±β) = |
tg α±tgβ |
|
|
|
|
|
|||
1 tg αtgβ |
|
|||
ctg (α±β) = ctg α ctgβ 1 |
|
|||
|
ctg α±ctgβ |
|
||
sin α+sin β= 2sin |
α+βcos |
α−β |
||
|
|
2 |
|
2 |
sin α−sin β= 2cos |
α+βsin |
α−β |
||
|
|
2 |
|
2 |
cos α+cosβ= 2cos α+βcos α−β |
||||
|
|
2 |
2 |
|
cos α−cosβ= −2sin α+βsin α−β |
||||
|
|
2 |
2 |
|
2sin αsin β= cos(α−β) −cos(α+β)
2cos α cosβ=cos(α−β) +cos(α+β)
2sin α cosβ=sin (α−β) +sin (α+β) sin2 α2 =1−cos2 α
cos2 α2 =1+cos2 α
sin2 x = 12 (−cos 2x +1)
298
sin3 x = |
1 |
(−sin 3x +3sin x) |
|||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
||
sin4 x = |
1 (cos 4x −4cos 2x +3) |
||||||||
|
8 |
|
|
|
|
|
|
||
sin5 x = |
1 |
|
|
(sin 5x −5sin 3x +10sin x) |
|||||
16 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||
sin6 x = |
1 |
|
|
|
(−cos6x +6cos 4x −15cos 2x +10) |
||||
32 |
|
||||||||
|
|
|
|
||||||
sin7 x = |
1 |
|
|
|
(−sin 7x +7sin 5x −21sin 3x +35sin x) |
||||
64 |
|
||||||||
|
|
|
|
||||||
cos2 x = |
1 |
|
(cos 2x +1) |
||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
cos3 x = |
1 |
|
(cos3x +3cos x) |
||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
||
cos4 x = |
1 |
|
(cos 4x +4cos 2x +3) |
||||||
|
8 |
|
|
|
|
|
|
||
cos5 x = |
|
1 |
|
|
|
(cos5x +5cos3x +10cos x) |
|||
16 |
|
||||||||
|
|
|
|
||||||
cos6 x = |
|
1 |
|
|
|
(cos6x +6cos 4x +15cos 2x +10) |
|||
32 |
|||||||||
|
|
|
|||||||
cos7 x = |
|
1 |
|
|
|
(cos7x +7cos5x +21cos3x +35cos x) |
|||
64 |
|
||||||||
|
|
|
|||||||
sin 2x = 2sin x cos x . sin 3x =3sin x −4sin3 x
sin 4x =cos x(4sin x −8sin3 x)
sin 5x =5sin x −20sin3 x +16sin5 x
sin 6x =cos x(6sin x −32sin3 x +32sin5 x)
299
sin 7x =7sin x −56sin3 x +112sin5 x −64sin7 x cos 2x = 2cos2 x −1
cos3x = 4cos3 x −3cos x . cos 4x =8cos4 x −8cos2 x +1
cos5x =16cos5 x −20cos3 x +5cos x
cos 6x =32cos6 x −48cos4 x +18cos2 x −1
cos 7x =64cos7 x −112cos5 x +56cos3 x −7 cos x
∞ |
(−1) |
k |
|
|
|
|
x2k+1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
sin x = ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2k +1)! |
|
|
|
||||||||||||
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
∞ |
|
|
|
k+1 |
22k−1 x2k |
|||||||||||||
sin2 x = ∑ (−1) |
|
|
|
|
|
|
|
(2k )! |
|
|
|
|||||||
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
sin3 x = 1 |
∞ |
|
|
|
|
|
k+1 |
3 |
2k+1 |
−3 |
|
|||||||
∑ (−1) |
|
|
|
|
|
|
|
x2k+1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4 k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2k +1)! |
|||||||
∞ |
(−1) |
k |
|
|
x |
2k |
|
|
|
|
|
|
||||||
cos x = ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
(2k )! |
|
|
|
|
|
||||||||||
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
∞ |
|
|
−1) |
k+1 |
22k−1 x2k |
||||||||||||
cos2 x =1−∑ ( |
|
|
|
|
|
(2k )! |
||||||||||||
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
2k |
+3 |
|
|
|||
cos3 x = 1 |
∑ (−1) |
|
3 |
|
x2k |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
4 k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2k )! |
||||||||
∫sin2 xdx = −14 sin 2x + 12 x = −12 sin x cos x + 12 x
∫sin3 xdx =121 cos3x − 34 cos x = 13 cos3 x −cos x
∫sin4 xdx = |
3x |
− sin 2x |
+ sin 4x |
= − |
3sin xcos x |
− sin3 x cos x |
+ |
3x |
|
8 |
4 |
32 |
|
8 |
4 |
|
8 |
300