книги / Математический анализ динамических моделей
..pdf
|
|
4 2t |
cosh(4 |
2t), |
t 2, |
|
35. |
f (t) e |
|
|
|||
|
0, |
|
|
t 2. |
|
|
36. |
sinh(4 2t)cos(2t 4), |
t 2, |
||||
f (t) |
|
|
|
|
t 2. |
|
|
0, |
|
|
|
||
Упражнение 7. Пользуясь свойством дифференцирования оригинала, найти изображения следующих функций.
1. |
f (t) sin2 t |
13. |
f (t) cosh4 t |
25. |
f (t) t sinh2 t |
2. |
f (t) sin3 t |
14. |
f (t) tet |
26. |
f (t) t cosh2 t |
3. |
f (t) t2 cost |
15. |
f (t) t2et |
27. |
f (t) t(et cosht) |
4. |
f (t) sin4 t |
16. |
f (t) t sinht |
28. |
f (t) t cosh(3t) |
5. |
f (t) cos2 t |
17. |
f (t) t cosht |
29. |
f (t) t(e t /2 cosh(3t)) |
6. |
f (t) cos3 t |
18. |
f (t) t2 sinht |
30. |
f (t) t(et sint) |
7. |
f (t) cos4 t |
19. |
f (t) t2 cosht |
31. |
f (t) cost sin2 t |
8. |
f (t) sinh2 t |
20. |
f (t) t sint |
32. |
f (t) sint cos2 t |
9. |
f (t) sinh3 t |
21. |
f (t) t cost |
33. |
f (t) sinh2 t cosht |
10. |
f (t) sinh4 t |
22. |
f (t) t2 sint |
34. |
f (t) sinht cosh2 t |
11. |
f (t) cosh2 t |
23. |
f (t) t sin2 t |
35. |
f (t) sinh2 t cosh2 t |
12. |
f (t) cosh3 t |
24. |
f (t) t cos2 t |
36. |
f (t) cos2 t sin2 t |
Упражнение 8. Пользуясь свойством дифференцирования изображения, найти изображения следующих функций.
1. |
f (t) t2et |
13. |
f (t) t2 sin(2t) |
25. |
f (t) t sin(3t) |
2. |
f (t) t cost |
14. |
f (t) t2 /2cos2 t |
26. |
f (t) t cos(2t) |
3. |
f (t) t2 cost |
15. |
f (t) t2 /2(sint cost) |
21. |
f (t) (t 2)cos(2t) |
4. |
f (t) t(et sinht) |
16. |
f (t) (t 1)cos(2t) |
28. |
f (t) t(1 et ) |
5. |
f (t) t cosh(3t) |
17. |
f (t) tet sin(3t) |
29. |
f (t) tet sin2 t |
6. |
f (t) (t 1)sin(2t) |
18. |
f (t) (t 1)et 1 |
30. |
f (t) tet sinht |
7. |
f (t) t sint |
19. |
f (t) (t 1)sinht |
31. |
f (t) tet cosht |
11
8. |
f (t) t sinh(3t) |
20. |
f (t) (t 1)cosht |
32. |
f (t) tet et |
9. |
f (t) t3 cost |
21. |
f (t) (t2 2t 1)sinht |
33. |
f (t) tet cosht |
10. |
f (t) t(et sint) |
22. |
f (t) (t 1)sinh(3t) |
34. |
f (t) te t cost |
11. |
f (t) t(et cost) |
23. |
f (t) t2 cosh(3t) |
35. |
f (t) t cos(3t) |
12. |
f (t) t(e 2t sin2 t) |
24. |
f (t) t sinh(4t) |
36. |
f (t) t cosh(3t) |
Упражнение 9. Пользуясь свойством интегрирования оригинала, найти изображения следующих функций.
1. |
f (t) |
2t es 1ds |
19. |
f (t) t |
sin2 s ds |
||
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
2. |
f (t) t |
(s 1)cos(2s)ds |
20. |
f (t) t |
sinh2s ds |
||
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
3. |
f (t) t |
s2e sds |
21. |
f (t) t |
cosh2s ds |
||
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
4. |
f (t) t |
ssin(2s)ds |
22. |
f (t) t |
coshs cosh(2s)ds |
||
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
5. |
f (t) t |
cos2(2s)ds |
23. |
f (t) t |
sinhssins ds |
||
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
6. |
f (t) t |
s2 sins ds |
24. |
f (t) t |
sinhs coss ds |
||
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
7. |
f (t) t |
s coss ds |
25. |
f (t) t |
coshssins ds |
||
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
8. |
f (t) |
2t se sds |
26. |
f (t) t |
cosh(2t)sins ds |
||
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
9. |
f (t) t |
s2esds |
21. |
f (t) t |
et sinhs ds |
||
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
10. |
f (t) t |
s2 sinhs ds |
28. |
f (t) t |
et sins ds |
||
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
11. |
f (t) t |
s2 coss ds |
29. |
f (t) t |
e t cosh(2s)ds |
||
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
12. f (t) t ssins ds
0
13. f (t) t cost sin(2s)ds
0
14. f (t) t s coss ds
0
15. f (t) t s2 coshs ds
0
16. f (t) t (s 1)sin(2s)ds
0
17. f (t) t es cos(3s)ds
0
18. f (t) t s3e sds
0
30. f (t) t e2t coss ds
0
31. f (t) t ssine sds
0
32. f (t) t et ssins ds
0
33. f (t) t /2 sesds
0
34. f (t) t ses coshs ds
0
35. f (t) t es coshssins ds
0
36. f (t) t /2et s ds
0
Упражнение 10. Пользуясь свойством дифференцирования изображения, найти изображения следующих функций.
1.f (t) (t2 2t)e3t
2.f (t) t2 cost
3.f (t) t sinh(3t)
4.f (t) t(et cosht)
5.f (t) (t 1)sin(2t)
6.f (t) (t 1)cos(3t)
7.f (t) t2e3t
8.f (t) (t 1)cos(5t)
9.f (t) t2 sin(2t)
10.f (t) t cos(t /2)
11.f (t) t2et
12.f (t) (t 2)te2t
13.f (t)
14.f (t)
15.f (t)
16.f (t)
17.f (t)
18.f (t)
19.f (t)
20.f (t)
21.f (t)
22.f (t)
23.f (t)
24.f (t)
(t2 1)et
t2 cosh(2t)
te 2t sin(3t)
tet cost
t(et sin(2t))
t(e t cos(2t))
(t 1)e 2t 2
t(e 2t sinht)
t2 /2sinh(2t)
te2t cosh(3t)
(t 3)cosh(2t)
t2 cosh(3t)
25.f (t) t2 cos(2t)
26.f (t) (t2 1)sin(3t)
21.f (t) t cos(4t)
28.f (t) t2e t
29.f (t) t2 sin(3t)
30.f (t) t2 cos(3t)
31.f (t) t2 sinh(2t)
32.f (t) t2e t sinht
33.f (t) t3(sinht sint)
34.f (t) tet sint
35.f (t) (1 t)e3t
36.f (t) t2 sinh(5t)
13
Упражнение 11. Пользуясь свойством интегрирования изображения,
найти изображения следующих функций. |
|
|
|||
1. |
f (t) (e 3t 1)/(tet ) |
13. |
f (t) sin(4t)/t |
25. |
f (t) (cos(3t) 1)/t |
2. |
f (t) (et 1)/t |
14. |
f (t) (t2 sin(3t))/t 26. |
f (t) (sint cos(3t) t)/t |
|
3. |
f (t) (1 e 2t )/t |
15. |
f (t) sin(t2)/t |
21. |
f (t) (cos(3t) e3t )/t |
4. |
f (t) sin2 t /t |
16. |
f (t) (sin(2t) t)/t |
28. |
f (t) (e2t 1)/(ett) |
5. |
f (t) (1 cost)/t |
17. |
f (t) (et e 2t )/t |
29. |
f (t) (sin(3t)cost 1)/t |
6. |
f (t) sint /t |
18. |
f (t) sinht /t |
30. |
f (t) sin(3t)/t |
7. |
f (t) (1 et )/t |
19. |
f (t) sint /(te2t ) |
31. |
f (t) (e t cos(2t))/t |
8. |
f (t) (cost cos(2t))/t |
20. |
f (t) sin2(t /2)/t |
32. |
f (t) (e t et )/(4t) |
9. |
f (t) (et 1 t)/t |
21. |
f (t) (1 cost)/(tet )33. |
f (t) (1 cost)/tet |
|
10. |
f (t) (et e t )/t |
22. |
f (t) (e2t e t )/t |
34. |
f (t) (e3t 1)/t |
11. |
f (t) (cosht cost)/t |
23. |
f (t) sint /(2tet ) |
35. |
f (t) e2t sint /t |
12. |
f (t) sin(7t)sin(3t)/t |
24. |
f (t) (sin(2t) t2)/t 36. |
f (t) (1 et )/(te4t ) |
|
Упражнение 12. Пользуясь свойством свертки, найти изображения следующих функций.
1. |
t |
(t s)esds |
13. |
t |
e2(t s) sins ds |
25. |
t |
et s coshs ds |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
2. |
t |
cos(t s)e2sds |
14. |
t |
s3e3(t s) ds |
26. |
t |
sinh(t s)coshs ds |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
3. |
t |
et s sins ds |
15. |
t |
es sin(t s)ds |
21. |
t |
sinh(t s)sins ds |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
4. |
t |
e2(s t )s2ds |
16. |
t |
s3 sin(t s)ds |
28. |
t |
cos(t s)coshs ds |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
5. |
t |
sin(t s)s ds |
17. |
t |
(t s)2 coshs ds |
29. |
t |
sinh(t s)coss ds |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
6. |
t |
cos(t s)s ds |
18. |
t |
(t s)2 sinhs ds |
30. |
t |
sin(t s)coshs ds |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
7. |
t |
(t s)3 sinhs ds |
19. |
t |
(t s)2 sins ds |
31. |
t |
es sins(t s)ds |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
2t s2e3(s t )ds |
20. |
t |
(t s)2 coss ds |
32. |
t |
et s (t s)coss ds |
||
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
9. t |
sin(t s)coss ds |
21. |
t |
(t s)sinhs ds |
33. |
t |
es s cosh(t s)ds |
||
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
10. |
t |
cos(t s)sins ds |
22. |
t |
(t s)coshs ds |
34. |
t |
et s ssinhs ds |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
11. |
t |
(t s)3 cos(3s)ds |
23. |
t |
(t s)3 coshs ds |
35. |
t |
et s s2 sins ds |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
12. |
t |
(t s)4 cos(2s)ds |
24. |
t |
es sinh(t s)ds |
36. |
t |
(t s)sin(s)2 ds |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
Упражнение 13. По заданным изображениям найти оригиналы. |
||||
1. |
e p /(p2 |
4p 5) |
19. |
e p /[p(p 1)(p2 4)] |
||
2. |
e p /(p2 |
1)2 |
|
20. |
e p p /(p2 1) |
|
3. 1/(p3 2p2 p) |
21. |
e p /3 /[p(p2 1)] |
||||
4. |
(p 2)/[(p 1)(p 2)(p2 4)] |
22. |
e p /2 /[p(p 1)(p2 4)] |
|||
5. |
(2p 3)/(p3 |
4p2 5p) |
23. |
|
||
|
|
|
|
|
(2p3 p2 2p 2)/(p5 2p4 2p3) |
|
6. |
e p /(p2 |
2p 5) |
24. |
e p /(7 p p2) |
||
7. |
e 3p /[(p 1)2] |
25. |
2/[p(p 1)(p 2)] |
|||
8. |
2e p /(p2 4p 8) |
26. |
1/(p4 2p3 3p2 2p 1) |
|||
9. |
e p (p 1)/(p2 2p 1) |
27. |
p /(p3 1) |
|||
10. |
e p /(p2 4p 3) |
28. |
3p2 /[(p3 1)2] |
|||
11. |
(p 1)/[(p2 |
1)2] |
29. |
16/[p2(p2 4p 8)] |
||
12. |
e p /[p2(p2 |
1)] |
30. |
pe p /[(p2 1)(p2 9)] |
||
13. |
(p2 2p 1)/(p3 3p2 3p 1) |
31. |
1/[(p 1)2(p 3)3] |
|||
14. |
e p /[(p 1)2(p 2)] |
32. |
(p2 p 2)/(p3 p2 6p) |
|||
15. |
pe 2p /(p2 9) |
33. |
(p 1)/[(p2(p 1)(p 2)] |
|||
16. |
e p (p 1)/[(p(p 1)] |
34. |
(5p 13)/[(p 1)(p2 2p 2)] |
|||
17. |
2e 3p /(p2 4p 8) |
35. |
p2 /[(p2 4)(p2 9)] |
|||
18. |
(p 1)/[p(p2 p 1)] |
36. |
1/[(p2 6p 13)(p2 6p 10)] |
|||
15
Индивидуальное задание № 2
Решение ЛОДУ1, систем ЛОДУ, ЛДРУ2 и ИУ3 с помощью операционного исчисления. Решение ЛРУ4 с помощью характеристического уравнения
Упражнение 1. Решить следующие задачи Коши. Найти передаточную функцию и функцию Коши, записать формулу Коши.
x (t) 4x (t) 1,
1.x(0) 0, x (0) 1.
x (t) 4x (t) 5x(t) 0,
2.x(0) 0, x (0) 1.
x (t) 2x (t) 10x(t) 2e t cos(3t),
3.x(0) 0, x (0) 0.
x (t) 3x (t) 4,
4.x(0) 0, x (0) 0.
x (t) 4x (t) cos(3t),
5.x(0) 2, x (0) 2.
x (t) 2x (t) 2x(t) 0,
6.x(0) 1.0, x (0)
x (t) x(t) 4,
7.x(0) 0, x (0) 0.
x (t) x (t) t,
8.x(0) 0, x (0) 0.
x (t) 2x (t) x(t) 1,
9.x(0) 0, x (0) 0.
10.x (t) 4x(t) 2,x(0) 0, x (0) 0.
x (t) 9x(t) sinh(t),
x(0) 1, x (0) 3.
x (t) 9x(t) cos(3t),
x(0) 0, x (0) 0.
x (t) 4x (t) 5x(t) et ,
x(0) 1/2, x (0) 1/2.
x (t) 2x (t) e2t ,
x(0) 0, x (0) 0.
23.x (t) x (t) 2x(t) t,
x(0) 0, x (0) 0.
x (t) 2x (t) x(t) et ,
x(0) 0, x (0) 0.
25.x (t) x(t) sinh(t),
x(0) 0, x (t) 1.
x (t) 2x (t) 2x(t) e t ,
x(0) 0, x (0) 0.
x (t) 5x (t) 6x(t) et cos(t),
x(0) 0, x (0) 1.
x (t) 2x (t) 3x(t) e3t ,
x(0) 0, x (0) 0.
1 ЛОДУ – линейные обыкновенные дифференциальные уравнения.
2 ЛДРУ – линейные дифференциально-разностные уравнения.
3 ИУ – интегральные уравнения.
4 ЛРУ – линейные разностные уравнения.
16
11. x (t) 2x (t) 5x(t) sin(t),x(0) 0, x(0) 1.
x (t) 2x (t) 2et ,
x(0) 0, x (0) 0.
x (t) x(t) 4et ,
x(0) 4, x (0) 3.
x (t) 3x (t) 2x(t) tet ,
x(0) 1, x (0) 2.
15.x (t) 4x (t) 2sin(t),
x(0) 1, x (0) 0.
x (t) 2x (t) 5x(t) tet ,
x(0) 0, x (0) 0.
x (t) 2x (t) 2x(t) tet ,
x(0) 0, x (0) 0.
x (t) 2x (t) x(t) e t ,
x(0) 1, x (0) 0.
x (t) x (t) 2x(t) e t ,
x(0) 0, x (0) 1.
|
|
|
|
|
30. |
x (t) 9x(t) 0, |
|||
|
1, |
|
1. |
|
|
x(0) |
x (0) |
||
x (t) x (t) 2x(t) et ,
x(0) 1, x (0) 0.
32.x (t) 2x (t) 2x(t) 0,
x(0) 1, x (0) 1.
|
|
|
|
|
33. |
x (t) 6x (t) 9x(t) 0, |
|||
|
1, |
|
1. |
|
|
x(0) |
x (0) |
||
|
|
|
|
|
34. |
x (t) x (t) 6x(t) 2, |
|||
|
1, |
|
0. |
|
|
x(0) |
x (0) |
||
|
|
|
|
|
35. |
x (t) 9x(t) 2 t, |
|||
|
0, |
|
1. |
|
|
x(0) |
x (0) |
||
|
|
|
|
|
36. |
x (t) 4x(t) 4t, |
|||
|
1, |
|
0. |
|
|
x(0) |
x (0) |
||
Упражнение 2. Решить следующие задачи Коши. Найти передаточную функцию и функцию Коши, записать формулу Коши.
x (t) x (t) e2t ,
1.x(0) 0, x (0) 1, x (0) 0.
4x (t) 8x (t) x (t) 3x(t) 8et ,
2.x(0) 0, x (0) 1, x (0) 1.
x (t) x (t) et ,
3.x(0) 0, x (0) 0, x (0) 0.
x (t) x(t) 0,
4.x(0) 0, x (0) 1, x (0) 2.
x (t) x (t) et ,
5.x(0) 1, x (0) 0, x (0) 0.
x (t) 2x (t) 5x 0,
x(0) 1, x (0) 2, x (0) 0.
x (t) x (t) sint,
x(0) 1, x (0) 0, x (0) 0.
21.x (t) x (t) t,
x(0) 3, x (0) 1, x"(0) 0.
22.x (t) x (t) cos(t),
x(0) 2, x (0) 0, x (0) 0.
x (t) x (t) et ,
x(0) 0, x (0) 2, x (0) 0.
17
x (t) 3x (t) 3x (t) x(t) te t ,
6.x(0) 0, x (0) 0, x (0) 0.
x (t) 3x (t) 3x (t) x(t) 0,
7.x(0) 0, x (0) 2, x (0) 3.
x (t) x (t) 0,
8.x(0) 3, x (0) 1, x (0) 1.
x (t) x (t) 2t,
9.x(0) 0, x (0) 2, x (0) 2.
10.x (t) 5x (t) 17x (t) 13x(t) 0,
x(0) 2, x (0) 3, x (0) 4.
x (t) 3x (t) 3x (t) x(t) et ,
x(0) 0, x(0) 0, x (0) 0.
x (t) x (t) 6t e t ,
x(0) 0, x (0) 1, x (0) 8.
13.x (t) 6x (t) 11x (t) 6x(t) 0,
x(0) 0, x (0) 1, x (0) 0.
x (t) x (t) 2x(t) 5et ,
x(0) 0, x (0) 1, x 2.
x (t) x (t) 2x (t) t et ,
x(0) 0, x (0) 7/12, x (0) 7/6.
16.x (t) x (t) 1,
x(0) 0, x (0) 0, x (0) 0.
17.x (t) x (t) sin(t),
x(0) 0, x (0) 0, x (0) 0.
18.x (t) x (t) t,
x(0) 0, x (0) 1, x (0) 0.
18
24.x (t) x (t) cos(t),
x(0) 0, x (0) 2, x (0) 0.
x (t) x(t) et ,
x(0) 0, x (t) 2, x (0) 0.
26.x (t) 2x (t) x (t) 4,
x(0) 1, x (0) 2, x (0) 2.
x (t) x(t) et /(2t2),
x(0) 0, x (0) 1, x (0) 0.
|
|
|
|
x (t) 6x (t) 11x (t) 6x(t) |
|||
28. 1 t t2, |
|
|
|
|
|
|
0. |
x(0) |
0, x (t) 0, x (0) |
||
x (t) x (t) e2t ,
x(0) 0, x (0) 0, x (0) 0.
30.x (t) 3x (t) 4x(t) 0,
x(0) 0, x (0) 0, x (0) 2.
31.x (t) 3x (t) 3x (t) x(t) 1,
x(0) 0, x (0) 0, x (0) 0.
32.x (t) x(t) 1,
x(0) 0, x (0) 0, x (0) 0.
33.x (t) x (t) 0,
x(0) 1, x (0) 3, x (0) 2.
34.x (t) 4x (t) 1,
x(0) 0, x (0) 1/4, x (0) 0.
x (t) 3x (t) 2x(t)
35.(4t2 4t 10)e t ,
x(0) 1, x (0) 2, x (0) 1.
x (t) 6x (t) 11x (t) 6x(t)
36.12t2e3t e2t ,
x(0) 1, x (0) 22, x (0) 25.
Упражнение 3. Решить следующие задачи Коши. Найти передаточную функцию и функцию Коши, записать формулу Коши.
x(IV )
x(0)
x(IV )
x(0)
2x (t) x(t) sin(t),
0, x (0) 0, x (0) 0, x (0) 0.
(t) x (t) 2,
0, x (0) 0, x (0) 2, x (0) 0.
x(IV )
x(0)
x(IV )
x(0)
x(IV )
x(0)
x(IV )
x(0)
(t) x (t) cos(t),
1/2, x (0) 1/2, x (0) 1/2, x (0) 1/2.
(t) x(t) 1,
0, x (0) 0, x (0) 0, x (0) 0.
(t) 4x(t) 1,
0, x (0) 0, x (0) 0, x (0) 0.
(t) x (t) sinh(t),
0, x (0) 0, x (0) 0, x (0) 1.
x(IV )(t) x (t) cos(t),
7.x(0) 0, x (0) 0, x (0) 0, x (0) 2.
x(IV )(t) 4x(t) t2,
8.x(0) 0, x (0) 0, x (0) 0, x (0) 0.
x(IV )(t) 2x (t) x(t) t2,
9.x(0) 0, x (0) 0, x (0) 0, x (0) 0.
x(IV )(t) x(t) sinh(t),
x(0) 0, x (0) 0, x (0) 0, x (0) 1.
x(IV )(t) x (t) cos(t),
x(0) 0, x (0) 1, x (0) 0, x (0) 0.
x(IV )(t) 2x (t) x(t) t sint,
x(0) 0, x (0) 0, x (0) 0, x (0) 0.
x(IV )(t) x (t) cos(t),
x(0) 0, x (0) 0, x (0) 0, x (0) 1.
19
x(IV )(t) 5x (t) 10x (t) 6x(t) 0,
x(0) 1, x (0) 0, x (0) 6, x (0) 14.
x(IV )(t) x (t) 1,
x(0) 0, x (0) 0, x (0) 0, x (0) 0.
x(IV )(t) x(t) 8et ,
x(0) 1, x (0) 0, x (0) 1, x (0) 0.
x(IV )(t) x(t) 1,
x(0) 1, x (0) 0, x (0) 0, x (0) 0.
x(IV )(t) x(t) 8et ,
x(0) 0, x (0) 2, x (0) 4, x (0) 6.
x(IV )(t) x (t) 2,
x(0) 0, x (0) 2, x (0) 0, x (0) 0.
x(IV )(t) 2x (t) 3x (t) 2x (t) x(t) 1 t t2,
x(0) 1, x (0) 1, x (0) 2, x (0) 0.
x(IV )(t) x (t) 6,
x(0) 0, x (0) 0, x (0) 0, x (0) 6.
x(IV )(t) 2x (t) x (t) 400e4t ,
x(0) 1, x (0) 4, x (0) 16, x (0) 64.
x(IV )(t) 4x (t) 4x (t) 8,
x(0) 0, x (0) 0, x (0) 2, x (0) 0.
x(IV )(t) 2x (t) x(t) cos(t),
x(0) 1/4, x (0) 0, x (0) 1/4, x (0) 0.
x(IV )(t) x (t) t2 t,
x(0) 0, x (0) 0, x (0) 2, x (0) 1.
x(IV )(t) 2x (t) 2x (t) 2x (t) x(t) et ,
x(0) 0, x (0) 0, x (0) 1/2, x (0) 3/2.
x(IV )(t) x (t) 2cos(t),
x(0) 2, x (0) 1, x (0) 0, x (0) 0.
20