книги / Общая физика. Гидродинамика и теплообмен

h = 2σ cosθ ,

ρgr

где θ – краевой угол жидкости, соприкасающейся со стенками капилляра. При полном смачивании (θ = 0, радиус мениска совпадает с ра-

диусом капилляра) h = 2σ . При полном несмачивании (θ = 180°):

ρgr

h = − 2σ , что означает, что жидкость в капилляре находится ниже

ρgr

уровня жидкости (при этом мениск выпуклый, его радиус совпадает с радиусом капилляра).

Пример 5. В двух сообщающихся стеклянных капиллярах, имеющих радиусы r1 = 1 мм и r2 = 2 мм, находится ртуть. Определите разность высот уровней жидкости в капиллярах. Коэффициент поверхностного натяжения ртути σ = 0,49 Н/м, плотность ртути ρ = 13600 кг/м3. Ртутьабсолютно не смачивает поверхностькапилляров.

Решение. Поскольку ртуть абсолютно не смачивает капилляры, мениски будут выпуклые, радиусы менисков будут совпадать с радиусами капилляров. Пусть h1 и h2 – высоты подъема жидкости в капиллярах.

Рассмотрим первый капилляр. Давление над мениском равно атмосферному давлению р0. Поскольку мениск выпуклый, давление сразу под мениском (в точках, близких к поверхности ртути) больше

атмосферного на величину 2σ/r1, т.е. составляет p0 + 2σ . И, наконец, r1

добавляя гидростатическое давление ртути ρgh1, получаем давление на дно первого капилляра:

p1 = p0 + 2σ + ρgh1 . r1

Аналогично, давление на дно второго капилляра

p2 = p0 + 2σ + ρgh2 . r2

141

В равновесии p1 = p2 , т.е.

Во втором капилляре ртуть поднимется выше.

Пример 6. В открытом капилляре радиусом r = 0,5 мм находится столбик воды высоты h = 5 см. Определите радиус r1 и краевой угол θ нижнего мениска. Коэффициент поверхностного натяжения воды σ = 0,073 Н/м. Смачивание капилляра водой полное.

Решение. Если капилляр радиусом r = 0,5 мм опустить в сосуд с водой, то вода поднимется по капилляру на высоту

h = 2σ = 3,0 10−2 (м) = 3 (см) .

ρgr

Как в капилляре может находиться в равновесии столбик воды высотой h = 5 см? Дело в том, что у столбика есть еще нижний мениск, который может быть выпуклым вверх или вниз и иметь различный радиус в диапазоне от r до ∞ в зависимости от высоты столбика (верхний мениск при полном смачивании всегда будет выпуклым вниз и иметь радиус r).

В нашем случае нужно поддерживать столбик длиной больше 3 см (силы поверхностного натяжения верхнего мениска с этим не справятся), поэтому нижний мениск будет также выпуклым вниз (на нижнем конце капилляра будет наблюдаться свисающая капелька).

Гидростатическое давление столба жидкости ρgh будет скомпенсировано суммой добавочных давлений, возникающих за счет кри-

нижнего мениска. Из последнего уравнения находим r1:

142

Вычисляем краевой угол:

cosθ = r = 0,5 = 0,68 ; θ = 47,5° . r1 0,74

Пример 7. На середину стеклянной пластинки, лежащей на горизонтальном столе, налили некоторое количество ртути и сверху параллельно положили другую стеклянную пластинку. В результате пластинки сблизились до расстояния d = 2 мм, и ртуть образовала круглую лепешку радиусом R = 5 см. Определите массу верхней пластинки, если коэффициент поверхностного натяжения ртути σ = 0,49 Н/м. Ртуть абсолютно не смачивает стекло.

Решение. Поскольку ртуть абсолютно не смачивает стекло, боковая поверхность лепешки будет выпукла в воздух, и будет представлять собой изогнутую цилиндрическую поверхность с радиусом кривизны r = d/2. За счет кривизны поверхности давление внутри

лепешки будет выше атмосферного на величину ∆p = σ = 2σ . r d

В результате на верхнюю пластинку будут действовать две силы: сила тяжести mg, направленная вертикально вниз, и сила ∆рS (S = πR2 – площадь лепешки), направленная вверх. Поскольку пластина в равновесии, эти силыравны:

mg = 2σ πR2 ; m = 2σπR2 ≈ 0,39 (кг) . d gd

Идеальная жидкость

Идеальная жидкость – это жидкость, вязкость которой равна нулю. Строго идеальных жидкостей не существует. Идеальная жидкость является моделью реальной жидкости, которой можно воспользоваться, например, когда жидкость течет с низкой скоростью по широкой короткой трубе. Если идеальная жидкость течет по гори-

143

зонтальной трубе и площадь сечения трубы постоянна, то давление в любом сечении трубы будет одинаково (именно вязкость приводит к падению давления аналогично тому, как сопротивление проводов приводит к падению напряжения на них). Давление по ходу течения идеальной жидкости может изменяться только за счет изменения площади сечения трубы.

Основным законом для течения идеальной жидкости является закон Бернулли: при стационарном течении идеальной жидкости сумма скоростного, пьезометрического и геометрического напоров вдоль одной и той же линии тока остается постоянной:

Если скорость жидкости одинакова в любой точке сечения трубы, то масса жидкости, протекающей через сечение S за единицу

времени, dm = ρυS . Если выбрать два сечения S1 и S2 вдоль течения dt

жидкости, то при стационарном течении масса жидкости, протекающей за единицу времени через сечение S1, будет равна массе жидкости, протекающей через сечение S2: ρ1υ1S1 = ρ2υ2 S2 . В противном

случае масса жидкости между сечениями S1 и S2 изменялась бы, что противоречило бы предположению о стационарности течения. Для несжимаемой жидкости ρ1 = ρ2 , следовательно,

υ1S1 = υ2 S2 .

Это уравнение называют уравнением неразрывности струи. Оно показывает, что при уменьшении сечения трубы скорость жидкости возрастает, и наоборот.

Особо подчеркнем, что произведение скорости потока жидкости (или средней скорости, если скорость по сечению переменна) на площадь сечения трубы есть объем жидкости, протекающий за единицу времени через сечение трубы. Объемный расход часто обозначают буквой Q:

144

dV = Q = υS . dt

Пусть жидкость течет по горизонтальной трубе переменного сечения. Для двух точек линии тока h1 = h2 и, согласно уравнению Бернулли, можно записать

υ12 + p1 = υ22 + p2 .

2g ρg 2g ρg

Если, например S1 > S2, то из уравнения неразрывности струи следует, что υ1 < υ2. Тогда из уравнения Бернулли последует, что p1 > p2. Таким образом, если сечение трубы уменьшается, то вместе с увеличением скорости последует падение давления. Если же сечение трубы увеличивается, то скорость потока падает, а давление в жидкости возрастает.

Пример 8. В закрытом широком сосуде находится вода. Суммарное давление воздуха и пара над поверхностью воды превышает атмосферное давление на 5 %. С какой скоростью будет вытекать вода, если проделать в стенке сосуда маленькое отверстие ниже уровня воды на h = 50 см?

Решение. Рассмотрим две точки некоторой линии тока. Первая точка – на поверхности воды, вторая точка – в центре отверстия. Согласно уравнению Бернулли,

Подставим в это уравнение данные для первой и второй точек: υ1 ≈ 0 (сосуд широкий), р1 = 1,05р0 (р0 – атмосферное давление, р0 = = 105 Па), h1 = h, р2 = р0 (вода вытекает в атмосферу), h2 = 0. Тогда уравнение Бернулли примет вид

145

Если в этом примере сосуд с водой был бы открыт, то на поверхности жидкости давление было бы равно атмосферному и для скорости вытекания воды получилась бы формула

υ = 2gh .

Эта формула называется формулой Торичелли. Она определяет скорость жидкости, вытекающей из открытого широкого сосуда через небольшое отверстие, находящееся на глубине h относительно уровня жидкости. Эта скорость для идеальных жидкостей не зависит от физическиххарактеристик жидкостей, а определяетсятолькопараметром h.

Пример 9. В широкий открытый сосуд постоянного сечения налита вода до высоты Н = 100 см. В дне сосуда проделано круглое отверстие площадью s = 20 мм2. Площадь сечения сосуда S = 100 см2. Определите время, за которое уровень жидкости в сосуде опустится до высоты h = 60 см.

Решение. Пусть х – высота столба жидкости в сосуде в некоторый момент времени. Тогда по формуле Торичелли скорость вытека-

ния жидкости из отверстия υ = 2gх . Объем жидкости, вытекающий за единицу времени из сосуда, Q = υs = s 2gx , где s – площадь отверстия. Тогда изменение объема жидкости в сосуде за время dt

dV = −Q dt = −s 2gx dt .

Знак минус учитывает тот факт, что объем жидкости в сосуде уменьшается, т.е. dV < 0.

С другой стороны, величину вытекшего из сосуда объема жидкости dV можно выразить через изменение высоты столба жидкости в сосуде dx: dV = S d x (в этой формуле знак минус не нужен, поскольку dx < 0, а значит, «автоматически» и dV < 0). Приравнивая правые части последних двух формул, получаем дифференциальное уравнение

S dx = −s 2gx dt .

146

Разделяем переменные и интегрируем:

Вязкая несжимаемая жидкость

Уравнение Навье–Стокса для компоненты скорости υz вязкой несжимаемой жидкости в поле тяжести Земли:

В главе 4 приведены решения этого уравнения в случае стационарных течений жидкости между двумя параллельными плоскостями (течения Куэтта) и по трубе круглого сечения (течения Пуазейля).

Остановимся подробнее на выводах, касающихся течения Пуазейля. Пусть жидкость течет по горизонтальной трубе радиусом R вдоль оси z. Зависимость скорости жидкости от расстояния r дооси трубы:

υ(r ) = 1 ∆p (R2 − r2 ) , 4µ ∆z

где величина ∆p называется напором жидкости в трубе (она берет-

∆z

ся по модулю, так как по течению жидкости давление падает, т.е. ес-

ли ∆z > 0, то ∆р < 0).

Максимальная скорость течения жидкости (на оситрубыпри r = 0)

υmax = 1 ∆p R2 .

4µ ∆z

Объемный расход (объем жидкости, протекающей за единицу времени через сечение трубы)

147

Q = ∫υ d S .

Если разбить сечение трубы на бесконечно тонкие кольца, то

d S = 2πr d r и Q = ∫R υ(r ) 2πr d r . Интегрирование дает результат

0

Q = π ∆р R4 . 8µ ∆z

Расход жидкости пропорционален четвертой степени (!) радиуса трубы. Например, при увеличении радиуса трубы в 2 раза при прочих равных условиях расход увеличится в 16 раз!

Средняя скорость течения

υср = 1 υmax . 2

При решении задач часто бывает удобно пользоваться этим соотношением для того, чтобы расход считать по простой формуле Q = υсрS . Отметим, что средняя скорость не всегда равна половине

Важно понимать, что речь идет о стационарном (установившемся) течении. Поэтому скорость жидкости постоянна, ускорение отсутствует, а значит, силы, действующие на жидкость со стороны окружающих тел, уравновешены. По течению на жидкость действует сила, возникающая из-за разности давлений ∆p на концах трубы: F1 = ∆pS , где S = πR2 – площадь сечения трубы. Против течения

Пример 10. Жидкость течет по горизонтальной трубе круглого сечения радиусом R = 10 см. Течение стационарное. Напор

∆p = 500 Па/м , длина трубы L = 10 м. Чему равна суммарная сила

∆z

трения, действующая на жидкость в трубе?

Решение. Так как течение стационарное, то суммарная сила трения равна силе, действующей на жидкость за счет разности давле-

Все основные выводы, приведенные для течения Пуазейля, справедливы для ламинарного течения жидкости. В случае турбулентного течения зависимости средней скорости и расхода от напора и радиуса трубы иные (будут разобраны ниже).

Режим течения жидкости зависит от безразмерного числа Рейнольдса:

где d – диаметр трубы, d = 2R. Для труб критическое значение числа Рейнольдса Reкр ≈ 2000. Если Re < Reкр, то течение жидкости ламинарное. Если Re > Reкр, то течение жидкости турбулентное.

Пример 11. Нефть течет по горизонтальной трубе круглого сечения. Зависимость скорости жидкости от расстояния r до оси трубы:

υ= 0,15 − 60r2 (м/с), расстояние r выражено в метрах. Вязкость нефти

µ= 0,05 Па·с, ее плотность ρ = 900 кг/м3. Определите максимальное

касательное напряжение, возникающее между слоями жидкости, и число Рейнольдса.

Решение. Знание закона υ(r) дает возможность сразу рассчитать максимальную скорость в сечении, среднюю скорость течения и радиус трубы R. Действительно, максимальная скорость в сечении по-

149

Скорость слоя жидкости вблизи поверхности трубы (при r = R) равна нулю. Следовательно, для того, чтобы определить радиус трубы, надо в уравнение для скорости подставить υ = 0, r = R:

0 = 0,15 − 60R2 ; R = 0,05 (м) .

Определяем величину касательного напряжения:

τ = µ dυ = µ −60 2r = 120µ r . dr

Касательное напряжение будет максимально при r = R, т.е. между слоями жидкости вблизи поверхности трубы: τ = 120µ R = 0,3 (Н/м2 ).

Число Рейнольдса: Re = υсрdρ = 135 . Можно сделать вывод о том,

µ

чтотечение нефти будет ламинарным, так как Re < Reкр≈2000.

Рассмотрим некоторые закономерности, связанные с турбулентным течением жидкости. Перенос импульса при турбулентном перемешивании представляет собой гораздо более мощный механизм по сравнению с переносом импульса от одного слоя к другому (за счет вязкости). Поэтому главной особенностью турбулентного течения является тот факт, что характеристики турбулентного движения, такие как средняя скорость потока или расход, вообще не зависят от динамического коэффициента вязкости жидкости µ (вязкость на-

чинает играть роль только в тонком слое вблизи поверхности трубы, где движение жидкости остается ламинарным).

Попробуем, исходя из размерностей физических величин, определить вид зависимости, связывающей среднюю скорость потока, напор и радиус трубы при турбулентном течении. Итак, физические величины, характеризующие турбулентное течение: свойство самой

150