книги / Начала инженерного творчества
..pdfПример 2. Получение модели, характеризующей зависимость температуры резания от основных факторов процесса резания
Рассмотрим методику получения зависимости температуры резания θ от скорости υ, подачи s и глубины резания t при обработке точением материала «сталь 20» цельными проходными резцами из быстрорежущей стали Р18.
Эмпирические температурные зависимости принято представлять степенными уравнениями регрессии вида
θ = cυαsβt γ. |
(3.97) |
Для экспериментального получения степенных зависимостей их удобно логарифмировать с целью последующего использования метода наименьших квадратов и последующего потенцирования.
Уравнение (3.97) после логарифмирования получит вид
ln θ = ln c +αlnυ +βln s + γln t. |
(3.98) |
||||||||
Для представления результатов эксперимента предлагает- |
|||||||||
ся выбрать полиномом второй степени |
|
|
|
||||||
y =b0 +b1x1 +b2 x2 +b3x3 +b12 x1x2 +b13x1x3 |
+ |
||||||||
+b x x +b x2 |
+b x2 |
+b x2 , |
(3.99) |
||||||
|
|||||||||
23 |
2 |
3 |
11 |
1 |
22 |
2 |
33 |
3 |
|
где y = ln θ; θ – температура резания, записанная через анало-
го-цифровой преобразователь на компьютер; x1, x2, x3 – кодированные (безразмерные) значения параметров v, s, t.
В качестве плана эксперимента использован центральный композиционный ротабельный план второго порядка. Кодирование независимых переменных производили с помощью соотношения (3.8). Принятые в исследовании уровни факторов указаны в табл. 40.
171
Таблица 40
Уровни |
Скорость резания |
Подача |
Глубина резания |
|||
факторов |
v, м/с |
x1 |
s, мм/об |
x2 |
t, мм |
x3 |
Верхнее «звезд- |
0,725 |
1,682 |
0,463 |
1,682 |
1,49 |
1,682 |
ное плечо»: |
|
|
|
|
|
|
верхний |
0,454 |
1 |
0,26 |
1 |
1,04 |
1 |
основной |
0,229 |
0 |
0,17 |
0 |
0,61 |
0 |
нижний |
0,115 |
–1 |
0,11 |
–1 |
0,36 |
–1 |
Нижнее «звезд- |
0,072 |
–1,682 |
0,082 |
–1,682 |
0,25 |
–1,682 |
ное плечо» |
|
|
|
|
|
|
Формулы преобразования натурных значений факторов в кодированные в данном случае имеют вид
x |
= |
2(ln υ−ln 0,454) |
|
+1, |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
|
|
|
ln 0,454 −ln 0,115 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
x2 |
= |
2(ln s −ln 0,26) |
|
+1, |
(3.100) |
|||||||
ln 0,26 −ln 0,11 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
|
= 2(ln t −ln1,04) |
|
+1. |
|
|||||||
3 |
|
|
|
ln1,04 −ln 0,36 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Матрица планирования и результаты опытов представлены в табл. 41.
Коэффициенты данного уравнения вычислены по формулам, которые здесь не приводятся. В результате получено следующее уравнение регрессии второго порядка:
y= 2,0677 +0,2049x1 +0,0935x2 +0,0466x3 +
+0,0104x1x2 −0,0003x1x3 +0,0017x2 x3 −0,0292x12 − (3.101)
−0,0083x22 −0,0084x32 .
Дисперсия воспроизводимости вычислена по результатам шести опытов в центре плана s2y = 0,00014576.
172
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 41 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер |
x0 |
x1 |
x2 |
x3 |
x1 · x2 |
x1 · x3 |
x2 · x3 |
x2 |
x2 |
x2 |
y |
|
опыта |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
+ |
– |
– |
– |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
1,6879 |
|
2 |
+ |
+ |
– |
– |
– |
– |
+ |
+ |
+ |
+ |
2,0777 |
|
3 |
+ |
– |
+ |
– |
– |
+ |
– |
+ |
+ |
+ |
1,8499 |
|
4 |
+ |
+ |
+ |
– |
+ |
– |
– |
+ |
+ |
+ |
2,2837 |
|
5 |
+ |
– |
– |
+ |
+ |
– |
– |
+ |
+ |
+ |
1,7787 |
|
6 |
+ |
+ |
– |
+ |
– |
+ |
– |
+ |
+ |
+ |
2,1677 |
|
7 |
+ |
– |
+ |
+ |
– |
– |
+ |
+ |
+ |
+ |
1,9479 |
|
8 |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
2,3801 |
173 |
9 |
+ |
–1,682 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2,829 |
0 |
0 |
1,6391 |
10 |
+ |
+1,682 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2,829 |
0 |
0 |
2,3311 |
|
|
11 |
+ |
0 |
–1,682 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2,829 |
0 |
1,8868 |
|
12 |
+ |
0 |
+1,682 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2,829 |
0 |
2,2016 |
|
13 |
+ |
0 |
0 |
–1,682 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2,829 |
1,9652 |
|
14 |
+ |
0 |
0 |
+1,682 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2,829 |
2,1226 |
|
15 |
+ |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2,0551 |
|
16 |
+ |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2,0734 |
|
17 |
+ |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2,0743 |
|
18 |
+ |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2,0568 |
|
19 |
+ |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2,0608 |
|
20 |
+ |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2,0858 |
173
Дисперсии коэффициентов уравнения регрессии, имеют следующие значения:
s2{b0} = 0,000024; s2{bi} = 0,00001064;
s2{bil} = 0,00001822; s2{bii} = 0,00000966.
Обратим внимание, что они различны для линейных коэффициентов, эффектов взаимодействия и квадратичных слагаемых уравнения (3.96).
Доверительные интервалы коэффициентов при 5% уровне значимости составили:
∆b0 = ±0,01264; ∆bi = ±0,008383; ∆bil = ±0,01097; ∆bii = ±0,00811.
Коэффициенты b12, b13, b23 по абсолютной величине меньше доверительного интервала, поэтому их можно считать статистически незначимыми и исключить из уравнения регрессии. После исключения незначимых коэффициентов уравнение (3.99) получило вид
y = 2,0667 +0,2049x1 +0,0935x2 |
+0,0466x3 |
− |
||
−0,0292x2 |
−0,0083x2 |
−0,0084x2 . |
(3.102) |
|
|
||||
1 |
2 |
|
3 |
|
Проверка гипотезы адекватности модели, представленной уравнением (3.101), показала, что модель адекватна при 5%- ном уровне значимости, так как соотношение расчетного и табличного критериев Фишера свидетельствует в её пользу.
Fр < Fт.
Коэффициенты при квадратичных членах уравнения регрессии значимы. Это свидетельствует о том, что исследуемый процесс не может быть описан линейным уравнением. Уравнение (3.101) для рассматриваемой области изменения факторов дает возможность предложить другую модель процесса, которая получается подстановкой в уравнение (3.101) вместо кодированных натуральных значений факторов с использованием соотношений (3.100):
174
|
|
y = 2,0667 +0,2049 |
2(lnυ −ln 0,454) |
+1 + |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
ln 0,454 −ln 0,115 |
|
|
|
|
|
||||
+ 0,0935 2(ln s −ln 0,26) |
+1 |
+0,0466 |
2(ln t −ln1,04) |
+1 |
− |
||||||||
|
|
ln 0,26 −ln 0,11 |
|
|
ln1,04 −ln 0,36 |
|
|
|
|
||||
|
2(lnυ −ln 0,454) |
|
2 |
|
2(ln s −ln 0,26) |
|
|
2 |
|||||
−0,0292 |
|
|
|
+1 |
−0,0083 |
|
|
|
+1 |
− |
|||
|
|
|
|||||||||||
|
ln 0,454 −ln 0,115 |
|
|
|
ln 0,26 −ln 0,11 |
|
|
|
|||||
|
|
2(ln t −ln1,04) |
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
0,0084 |
|
|
|
|
+1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
ln1,04 −ln 0,36 |
|
|
|
|
|
|
|||||
После преобразования получена зависимость |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
θ = 26,8υ(1,58−0,34lnυ)s(0,46−0,23ln s)t(0,44−0,15ln t ) , |
|
(3.103) |
|||||||||
которая позволяет определять температуру резания в достаточно широком диапазоне изменения режимов резания при обработке точением стали 20.
По уравнению (3.103) построена номограмма для быстрой оценки температуры резания в практических условиях.
Изложенная в примере методика планирования и обработки эксперимента может быть использована для определения температуры резания при механической обработке других конструкционных материалов.
Пример 3. Применение ротабельного планирования второго порядка для минимизации шероховатости при обработке материалов резанием
Изготовление прецизионных деталей из пластмасс часто производится обработкой резанием. Выбор рациональных режимов резания в значительной степени определяет производительность процесса и качество обработанной поверхности. Предусматривалось изучение влияния режимов резания на шероховатость поверхности (параметр оптимизации) при обработке точением капролона и поиск условий, обеспечивающих
175
минимальную шероховатость обработанной поверхности. Исследования проводились на высокоскоростном токарном станке. В качестве режущего инструмента использовались резцы с пластинками из твердого сплава ВК6М со следующими геометрическими параметрами: задний угол в плане γ = 30°; передний угол в плане α = 18°; угол наклона режущей кромки λ = 0; радиус скругления r = 1,5 мм. Шероховатость поверхностей режущего инструмента соответствовала Ra = = 0,04…0,16 мкм. Обработке подвергались блоки из капролона без охлаждения.
Шероховатость поверхности определялась на двойном микроскопе МИС-11. За критерий шероховатости принималась высота неровностей Rz, которая оценивалась осреднением по десяти измерениям каждого участка.
В качестве факторов, влияющих на шероховатость обрабатываемой поверхности, выбраны скорость резания V, подача S и глубина резания t, как параметры режима обработки, определяющие в основном высоту неровностей обработанной поверхности. В качестве параметра оптимизации принята высота неровностей.
На первом этапе исследования был поставлен полный факторный эксперимент типа 23. Уровни факторов и интервалы варьирования выбраны по результатам предварительных поисковых экспериментов. Факторы, уровни и интервалы варьирования факторов приведены в табл. 42.
|
|
|
|
|
Таблица 42 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Фактор |
|
Уровни фактора |
Интервал |
|||
|
|
|
|
|
варьирова- |
|
наименование |
обозна- |
верхний |
основ- |
ниж- |
||
и размерность |
чение |
ной |
ний |
ния |
||
|
|
|||||
Скорость резания, |
x1 |
314 |
205 |
96 |
109 |
|
м/мин |
||||||
|
|
|
|
|
||
Подача, мм/мин |
x2 |
0,7 |
0,5 |
0,3 |
0,2 |
|
Глубина резания, мм |
x3 |
0,75 |
0,5 |
0,25 |
0,25 |
|
176
Матрица плана эксперимента и результаты измерений высоты неровностей у представлены в табл. 43.
Таблица 43
Номер |
x0 |
x1 |
х2 |
x3 |
x1x2 |
x1x3 |
x2 x3 |
x1x2 x3 |
y (Rz) |
опыта |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+ |
– |
– |
– |
+ |
+ |
+ |
– |
2,16 |
2 |
+ |
+ |
– |
– |
– |
– |
+ |
+ |
2,65 |
3 |
+ |
– |
+ |
– |
– |
+ |
– |
+ |
3,80 |
4 |
+ |
+ |
+ |
– |
+ |
– |
– |
– |
4,70 |
5 |
+ |
– |
– |
+ |
+ |
– |
– |
+ |
2,22 |
6 |
+ |
+ |
– |
+ |
– |
+ |
– |
– |
2,48 |
7 |
+ |
– |
+ |
+ |
– |
– |
+ |
– |
4,20 |
8 |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
4,89 |
План эксперимента типа 23 (рис. 25) позволяет получить раздельные оценки для коэффициентов уравнения регрессии вида
у = b0 + b1x1 + b2 x2 + b3x3 + b12 x1x2 |
+ |
(3.104) |
+b13x1x3 + b23x2 x3 + b123x1x2 x3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 25. Центральный композиционный план для трёх факторов
177
В результате расчетов получены следующие значения коэффициентов:
b0 = 3,3875; b1 = 0,2925; b2 = 1,01; |
b3 = 0,06; |
|
|
b12 = 0,105; b13 = –0,055; b23 = 0,0875; |
b123 = 0,0025. |
||
После подстановки значений коэффициентов уравнение |
|||
(3.86) приняло вид |
|
|
|
у =3,3875 +0,2925x1 +1,01x2 +0,06x3 +0,105x1x2 |
− |
(3.105) |
|
−0,055x1x3 +0,0875x2 x3 ++0,0025x1x2 x3. |
|
||
|
|
||
Для проверки адекватности полученного уравнения и определения дисперсий коэффициентов определяется дисперсия
воспроизводимости эксперимента s2y по результатам шести
параллельных опытов, поставленных в центре плана (опы-
ты 1÷6, табл. 44).
Таблица 44
Опыты |
Номеропыта |
x0 |
x1 |
х2 |
x3 |
х12 |
х22 |
х32 |
y |
Центр |
1 |
+ |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2,31 |
плана |
2 |
+ |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2,08 |
|
3 |
+ |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2,12 |
|
4 |
+ |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2,32 |
|
5 |
+ |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2,36 |
|
6 |
+ |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2,12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«Звёзд- |
7 |
+ |
–1,682 |
0 |
0 |
2,828 |
0 |
0 |
3,55 |
ные» |
8 |
+ |
+1,682 |
0 |
0 |
2,828 |
0 |
0 |
4,50 |
точки |
9 |
+ |
0 |
–1,682 |
0 |
0 |
2,828 |
0 |
1,80 |
|
10 |
+ |
0 |
+1,682 |
0 |
0 |
2,828 |
0 |
5,15 |
|
11 |
+ |
0 |
0 |
–1,682 |
0 |
0 |
2,828 |
2,32 |
|
12 |
+ |
0 |
0 |
+1,682 |
0 |
0 |
2,828 |
2,56 |
178
Среднее арифметическое значение параметра y в центре плана равно 2,218. Дисперсия воспроизводимости эксперимен-
та s2y = 0,015456. Разность между значением параметра y
в центре плана и значением свободного члена b0 (в центре плана значения всех эффектов в уравнении (3.96) равно нулю) со-
ставляет по модулю y −b0 = 2,218 −3,3875 =1,1695.
Полученная разность во много раз превышает ошибку эксперимента (дисперсию воспроизводимости) sy = s2y = 0,1241.
Из этого следует, что коэффициенты при квадратичных членах значимо отличаются от нуля, а исследуемая зависимость не может быть с достаточной точностью аппроксимирована уравнением (3.104). В связи с этим необходимо перейти к модели более высокого порядка. Предположим, что явление описывается моделью второго порядка, т.е. полиномом вида
y =b0 +b1x1 +b2 x2 +b3x3 +b12 x1x2 +b13x1x3 |
+ |
||||||||||||
+b x x +b x x x +b x2 |
+b x2 |
|
|
(3.106) |
|||||||||
+b x2. |
|||||||||||||
23 |
2 |
3 |
123 |
1 |
2 |
3 |
11 |
1 |
22 |
2 |
33 |
3 |
|
Эксперимент был поставлен по программе центрального композиционного ротабельного планирования второго порядка. Реализованные восемь опытов полного факторного эксперимента 23 (см. табл. 44) и шесть опытов в центре плана (см. табл. 44) дополнили шестью опытами в «звездных» точках (опыты 7÷12, табл. 44). Величина «звездного» плеча α в рассматриваемом случае равна 1,682.
Получили следующие значения коэффициентов: b0 =
=2,1956; b1 = 0,2882; b2 = 0,9819; b3 = 0,0646; b12 = 0,105; b13 =
=–0,055; b23 = 0,0875; b123 = 0,0025; b11 = 0,6663; b22 = 0,4594; b33 = 0,0833.
После подстановки значений коэффициентов в уравне-
ние (3.106) оно получило вид
179
y = 2,1956 + 0,2882х1 + 0,9819х2 + 0,0646х3 + 0,105х1х2 –
– 0,055х1х3 + 0,0875х2х3 |
+ 0,0025х1х2х3 |
+ 0,6663 х2 |
+ (3.107) |
|
|
1 |
|
+ 0,4594 х22 +0,083 х32 .
После нахождения дисперсий коэффициентов и их доверительных интервалов получено, что коэффициенты b3, b12, b13, b23, b123, b33 по абсолютной величине меньше соответствующих доверительных интервалов их определения, поэтому можно признать их статистически незначимыми и исключить из уравнения регрессии. Поскольку среди незначимых коэффициентов оказался также коэффициент b33 при квадратичном члене, то значимые коэффициенты при других эффектах должны быть пересчитаны, например, с использованием МНК. Пересчитанные значения коэффициентов приведены ниже:
b0 = 2,26; b11 = 0,6555; b22 = 0,4389; b1 = 0,2882; b2 = 0,9819.
Таким образом, математическая модель, полученная в результате ротабельного планирования второго порядка, приняла вид
у = 2,26 + 0,2882 x1 + 0,9819 x2 + 0,6555 x12 + 0,438 x12. (3.108)
Для проверки адекватности модели найдена дисперсия Sад2 адекватности и остаточная сумма квадратов, а также определено расчетное значение F-критерия:
s2
Fp = ад = 2,15. s2у
При 5%-ном уровне значимости и числах степеней свободы для числителя 10 и знаменателя 5 табличное значение критерия Fт равно 4,74. Значение FР < Fт, поэтому модель (3.108) следует признать адекватной. Уравнение (3.108) неудобно для интерпретации полученных результатов и практических расче-
180