книги / Строительная механика машин

В свою очередь, потенциальная энергия изгиба пластинки

Из уравнения баланса полной энергии (2.41) методом Ритца – Тимошенко получаем кубическое уравнение для определения коэффициента a11 , которое для квадратной пластинки (a = b) примет вид:

зующие нагрузку и геометрию пластинки соответственно. Кубическое уравнение (2.47) решается относительно a11 с по-

мощью формулы Кардано [7], что позволяет определить функцию прогибов w(x,y) (2.46). Следует отметить, что при использовании метода Ритца – Тимошенко по классической теории жестких пластин с учетом только потенциальной энергии изгиба пластинки мы получим линейное уравнение для определения коэффициентов amn , тогда функция прогибов для одного члена ряда бу-

дет иметь вид:

Максимальные прогибы определяются в виде

wmax x= a2 = a11. y= b2

На рис. 2.9 приведены результаты расчета максимальных прогибов в центре прямоугольной свободно опертой по краям пластины (x = a/2; y = b/2) по классической теории жестких пла-

61

стин wmax* (кривые 2, 4) и по данной методике wmax (кривые 1, 3), т.е. полученные по соотношению (2.48). При расчете принимали a = b = = 0,1 м, h = 0,001 м, b = 100; материал пластинки – сталь (кривые 1, 2), алюминий (кривые 3, 4).

wmax* 103, м wmax 103, м

Рис. 2.9. Зависимость максимальных прогибов прямоугольной свободно опертой по контуру пластинки от давления: 1, 3 – для гибкой пластинки; 2, 4 – для жесткой пластинки

Из анализа результатов, представленных на рис. 2.9, следует, что зависимость прогибов гибких пластин от давления существенно нелинейна, так как учитывает роль мембранных усилий. Кроме того, чем меньше модуль упругости материала пластинки (меньше жесткость материала), тем большее влияние оказывают мембранные усилия на ее деформацию.

62

3.ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ

3.1.Выполнение и оформление лабораторных работ

Выполняя лабораторную работу, студент самостоятельно получает экспериментальные результаты и оценивает их достоверность. Основу лабораторных работ составляют измерения – неотъемлемая часть любого эксперимента [8].

Физическая направленность представленных лабораторных работ обусловлена возможностью с помощью простых измерительных средств получить количественные экспериментальные результаты, что гораздо сложнее сделать, например, в химических и биологических опытах. Кроме того, многие крупные естественно-научные достижения в области химии, биологии и т.п. получены с применением современных физических экспериментальных методов: спектрального анализа, ядерного магнитного резонанса, рентгеноструктурного анализа, нейтронографии и т.д. Практическая реализация таких методов в виде лабораторных работ – сложная задача, и ее решение возможно только с применением моделирования и компьютерной техники.

При выполнении лабораторных работ полезно помнить сле-

дующие правила:

1.Лабораторную работу следует выполнять самостоятельно. Только в этом случае она окажется интересной и полезной. Описание лабораторных работ – всего лишь ориентир для самостоятельной работы. Успех определяется, главным образом, не столько изучением описания работы, сколько сознательным отношением к экспериментальным измерениям.

2.Необходимое условие для начала выполнения лабораторной работы – ясное понимание сущности изучаемого объекта.

3.Главное условие успешного выполнения измерений – внимательное и неторопливое ознакомление с лабораторной установкой

иприборами перед измерениями.

63

4.Работу с приборами следует начинать лишь после изучения инструкции и необходимых мер предосторожности. Не следует вскрывать приборы, прикасаться к оптическим и тонким деталям лабораторных установок. Необходимо бережно обращаться с экспериментальным оборудованием.

5.В лабораторных работах, содержащих электрические схемы, источник питания подключают после того, как вся схема тщательно проверена и получен допуск от преподавателя к выполнению измерений. Нарушение данного правила может привести к несчастному случаю.

6.Измерения должны производиться с максимальной точностью. Только точные, достоверные результаты позволяют наиболее полно количественно описать изучаемый объект и представляют интерес при их математической обработке.

7.При измерениях следует учесть, что некоторые приборы могут существенно изменить физическое состояние исследуемого объекта.

8.Стремясь получить достоверную картину изучаемого объекта, следует согласовать точность измерений различных величин. Например, даже при больших изменениях температуры изменение длины стержня относительно мало. Поэтому важно измерять изменение длины стержня с максимально достижимой точностью, и нет смысла измерять температуру, например, до сотых долей градуса.

9.В описаниях лабораторных работ обычно указывается приближенное число измерений. Как правило, число измерений устанавливает сам экспериментатор, основываясь на точности приборов

ирезультатах измерений. Если в результатах измерений получен большой разброс, лучше еще раз обратиться к описанию установки, чем продолжать измерения.

10.При построении кривой зависимости одной величины от другой плотность числа экспериментальных точек на различных участках кривой выбирается с таким расчетом, чтобы четко изображались изгибы, максимумы и минимумы. На участках плавного хода кривой зависимости плотность точек может быть меньшей.

64

11. Следует стремиться к аккуратности и полноте первичных (черновых) записей при выполнении лабораторных работ. Записи измерений лучше вести в виде таблиц с указанием единиц измеряемых величин. Необходимо записывать точность и чувствительность приборов.

При оформлении лабораторных работ необходимо выполнять ряд правил:

1.Лабораторные работы оформляют в виде отчета на листах формата А4 с титульным листом, где указаны номер лабораторной работы, ее название, дата выполнения, исполнители.

2.В отчете кратко излагают сущность теории, приводят описание лабораторной установки, схему нагружения и закрепления, ос-

иполучения окончательного результата.

3.Если в лабораторной работе предусмотрено выполнение графиков, то их следует чертить в масштабе. По осям нужно выбрать удобный для нанесения экспериментальных точек масштаб. Кривая на графике проводится таким образом, чтобы были видны отдельные точки, полученные в результате эксперимента. Графики можно чертить с использованием современных пакетов автоматизированного проектирования.

4.При обработке результатов лабораторной работы следует тщательно обдумывать возможные источники ошибок. Сравнивая свои результаты с данными таблиц либо с полученными ранее результатами других студентов, не следует при их несовпадении сразу считать свои результаты ошибочными. В таком случае нужно еще раз продумать методику измерений.

3.2. Порядок выполнения и защиты лабораторных работ

При выполнении лабораторных работ необходимо соблюдать следующий порядок:

1. Изучить описание лабораторной работы и оформить ее в лабораторной тетради, оставляя свободные места для занесе-

65

ния результатов измерений, их обработки и окончательного результата.

2.Перед началом выполнения лабораторной работы следует получить допуск-разрешение от преподавателя на выполнение измерений. Если студент показал знание сущности выполняемой работы

ипорядка измерений, то преподаватель допускает его к выполнению работы.

3.Получив допуск к выполнению работы, студент проводит измерения и заносит их результаты в соответствующие таблицы.

4.Сделав пробный расчет определяемого параметра, студент обязан предъявить результаты измерений преподавателю.

5.Дальше производится обработка результатов эксперимента: вычисляются промежуточные и окончательные данные и заносятся в тетрадь.

6.Лабораторная работа считается полностью выполненной, ес-

ли она защищена. При защите преподаватель вправе спросить не только о сущности выполненной работы и о результатах измерений, но и о теоретическом материале того раздела, к которому относится данная лабораторная работа. После защиты преподаватель выставляет в отчете студенту оценку.

3.3. Лабораторные работы

Лабораторная работа № 1. Изгиб круглых пластин

Цель работы – оценить напряженно-деформированное состояние круглой пластинки под сосредоточенной силой в центре пластины, сравнить полученные результаты с известными аналитическими решениями и результатами численного анализа.

Геометрические размеры пластинки и механические свойства материала:

h = 1 мм; 6 2 d = 249 мм

E = 2,0…2,2 · 10 кгс/см ; µ = 0,24…0,3.

66

Экспериментальная установка позволяет изменять сосредоточенную в центре пластинки нагрузку и измерять величину прогиба.

Задание

Необходимо экспериментально измерить прогибы [9], возникающие под действием сосредоточенной силы в центре круглой пластинки для случаев свободно опертой (рис. 3.1, а) и жестко закрепленной (рис. 3.1, б) по контуру пластины.

Рис. 3.1. Схемы нагружения и закрепления круглой пластины

Ход работы

Все измерения и анализ необходимо провести для двух видов закрепления.

1.Начиная с малых нагрузок, подобрать такую максимально допустимую, при которой прогибы не будут превышать 30 % от толщины пластины.

2.Разбить найденный диапазон изменения нагрузок на 5 шагов

ипровести пошагово измерения прогибов от действия нагрузки.

3.Повторить все измерения 4–5 раз для оценки погрешности измерения [9]. Результаты занести в таблицы для двух видов закрепления по образцу табл. 3.1.

4.Найти все силовые характеристики в пластинке.

5.Определить распределение напряжений по площади поперечного сечения.

6.Построить эпюры моментов.

67

7.Показать аналитическое решение задачи об изгибе круглой пластины [10].

8.Построить графики зависимостей прогибов от величины нагрузки по образцу, показанному на рис. 3.2.

9.Оценить сходства и различия полученных результатов. Сделать выводы.

Пример представления результатов лабораторной работы приведен в пособии [11].

Таблица 3.1

Прогибы круглой пластины под сосредоточенной в центре нагрузкой (вид закрепления)

68

Лабораторная работа № 2. Изгиб квадратных пластин

Цель работы – оценить напряженно-деформированное состояние квадратной пластины под сосредоточенной силой в центре пластины, а также провести сравнительный анализ экспериментальных результатов и решения подобных задач с применением приближенных энергетических и численных методов.

Геометрические размеры пластинки и механические свойства материала:

h = 1 мм; E = 2,0…2,2 · 106 кгс/см2;

µ = 0,24…0,3.

Экспериментальная установка позволяет изменять сосредоточенную в центре пластинки нагрузку и измерять величину прогиба.

Задание

Необходимо определить прогибы в квадратной стальной пластине под действием сосредоточенной в центре нагрузки для различных видов закрепления пластины по контуру (рис. 3.3).

Ход работы

Все измерения и анализ необходимо провести для шести видов закрепления.

1.Начиная с малых нагрузок, подобрать такую максимально допустимую, при которой прогибы не будут превышать 30 % от толщины пластины.

2.Разбить найденный диапазон изменения нагрузок на 5 шагов

ипровести пошагово измерения прогибов от действия нагрузки.

3.Повторить все измерения 4–5 раз для оценки погрешности измерения [9]. Результаты занести в таблицы для каждого вида закрепления, аналогичные табл. 3.1.

4.Найти максимальные прогибы аналитически с применением вариационных методов.

69

5.Для полного анализа полученных результатов определить прогибы для пластины численно.

6.Построить распределения и эпюры моментов.

7.Оценить полученные результаты, сделать выводы.

1. Свободно опертая по всему контуру пластинка

2. Жестко закрепленная по всем границам пластинка

3. Жестко закрепленная по одной границе пластинка (остальные три свободно оперты)

4. Жестко закрепленная по трем границам пластинка (одна граница свободно оперта)

6. Жестко закрепленная по двум смежным границам пластинка (две другие свободно оперты)

Рис. 3.3. Варианты закреплений квадратной пластины

70