книги / Математика. Дифференциальные уравнения

Основные формулы

Определения и замечания

1.

y′+ P (x) y = Q (x)

(1.31)

Линейное

дифференциальное

уравнение первого порядка относи-

тельно y и y′.

Следует запомнить:

уравнение (1.31) – линейное, если

y и y′ входят в первой степени и

нет их произведения.

Замечание 1.

P (x) и Q (x)

– заданные непре-

рывные функции от х.

Замечание 2.

Если Q(x) ≠ 0, уравнение (1.31) на-

зывается линейным неоднородным

уравнением.

2.

y′+ P (x) y = 0

(1.32)

Уравнение (1.32) называется ли-

нейным однородным (или без пра-

вой части).

Замечание.

Однородное

линейное

уравнение

(1.32) легко интегрируется разде-

лением переменных.

3.

y = u v ,

(1.33)

Общее решение уравнения

(1.31)

u = u (x) ,

v = v (x)

будем искать в виде произведения

y′ = u′v +uv′

(1.34)

двух функций u = u (x)

и v = v (x) .

4.

u′v +uv′+ P (x)uv = Q (x)

(1.35)

Уравнение

(1.35)

получено

из

или

(1.31) подстановкой

y

и

y′

по

+ P (x)v = Q (x)

формулам (1.33) и (1.34).

u′v +u v′

(1.35')

v′+ P (x)v = 0

(1.36)

Выберем в качестве v какое-

тогда

нибудь частное решение уравнения

(1.36).

u′v = Q (x)

(1.37)

Для отыскания

u получили урав-

нение (1.37).

21

Основные формулы

Определения и замечания

5.

x′+ P ( y) x = Q ( y)

(1.38)

Линейное дифференциальное урав-

нение 1-го порядка относительно

x и x′.

Следует запомнить:

уравнение (1.38) – линейное, если

x и x′ входят в первой степени и

нет их произведения.

Замечание.

P ( y) и Q ( y) – заданные непре-

рывные функции от y.

6.

x = u v

v = v ( y)

(1.39)

Общее решение уравнения (1.38)

u = u ( y) ,

будем искать в виде произведения

x′ = u′v +uv′

(1.40)

двух функций u = u ( y) и v = v( y) .

7.

y′+ P (x) y = Q (x) yn

(1.41)

Уравнение Бернулли.

8.

z = y1−n

(1.42)

Подстановка, с помощью которой

z′

1

−

n

)

y−n y′

от уравнения Бернулли переходят к

(1.43)

линейному уравнению (1.31).

= (

9.

y−n y′+ P (x) y1−n = Q (x)

(1.44)

Следует запомнить:

делим все члены уравнения (1.41)

z′

+ P (x) z = Q (x)

на yn , получим уравнение (1.44).

(1.45)

Уравнение (1.45) получено из урав-

1−n

или

нения (1.44) с помощью подстано-

вок (1.42) и (1.43).

z′+ P

(

x 1−n

)

z =

−n

)

(

) (1.45')

Замечание.

1

Q

x

Уравнение (1.45') – линейное, от-

)(

(

носительно z и z′.

z = u v

Следует запомнить:

10.

(1.46)

решая линейное уравнение (1.45') с

помощью подстановки (1.46) и пе-

реходя от z снова к y , мы и полу-

чим решение исходного уравнения

(1.41).

dy

=

y2

,

dx

2xy +3

dy −1

y2

−1

=

.

2xy +3

dx

u′ y

2 =

3

,

y2

du

=

3

,

dy

y4

du = 3dy

,

y4

∫du =3∫ dy4

+C ,

y

u = −

1

+C .

y3

Зная u и v, находим искомую функцию x:

1

1

x =uv =

−

+C

y2 =Cy2 −

.

y

3

y

y′+

y

=

1

или

x

x2 y2

y′+

y

=

1

y−2

– это уравнение

Бернулли (1.41), где

P(x) =

1

,

x

x2

x

Выполняем замену z = y1−n , где n = −2 .

Тогда z = y3 ,

z′=3y2 y′.

Предварительно разделим все члены уравнения Бернулли на

y−2 ,

получим

y′

+

y

=

1

x y−2

x2

y−2

или

y′y2 +

y3

=

1

.

x

x2

Учитывая замену, приходим к уравнению вида:

z′

+

z

=

1

или

3

x

x2

z′+ 3 z =

3

– линейное уравнение относительно z и z′.

x

x2

Будем искать решение в виде z =u v,

z′ =u′v +uv′. Тогда

u′v +uv′+ 3 uv =

3

или

x2

x

3

3

u′v +u v′+

v

=

.

x

x

2

Выберем в качестве v какое-либо частное решение уравнения

v′+

3 v = 0 .

x

u′

1

=

3

,

x3

x2

du =3xdx ,

∫du =3∫ xdx +C ,

u =

3x

2

+C .

2

3x2

1

z =

3

C

.

Зная u и v, находим z =

+C

или

+

2

x

3

x

3

2x

Так как z = y3 , следовательно,

3

3

C

y

=

+

,

2x

x

3

Основные формулы

Определения и замечания

1.

M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0

(1.47)

Если

левая

часть

уравнения

(1.47) есть полный дифферен-

циал

некоторой

функции

u (x, y) , то (1.47) называется

уравнением в полных диффе-

du (x, y) = 0

ренциалах.

(1.48)

Уравнение (1.47) в иной форме.

2.

u (x, y) = C

(1.49)

Общий

интеграл

уравнения

(1.47)

3.

∂M = ∂N

(1.50)

Следует запомнить:

уравнение

∂y

∂x

для

того чтобы

(1.47) было уравнением в пол-

ных дифференциалах, необхо-

димо и достаточно, чтобы вы-

полнялось тождество (1.50).

x

y

Общий

интеграл

уравнения

4.

∫ M (x, y)dx + ∫ N (x0 , y)dy = C

(1.51)

(1.47)

находим по

формулам

x0

y0

(1.51) или (1.52).

или

x

y

∫ M (x, y0 )dx + ∫ N (x, y)dy = C

(1.52)

Замечание.

x0

y0

Второй способ решения урав-

нения

(1.47)

рассмотрим на

примере.

Основные формулы

Определения и замечания

5.

µ = µ(x, y)

(1.53)

µ – интегрирующий множитель.

Следует запомнить:

если уравнение (1.47) не явля-

ется

уравнением

в полных

дифференциалах и существует

функция µ = µ(x, y) такая, что

после умножения на нее обеих

µ(Mdx + Ndy) = 0

частей уравнения (1.47) полу-

(1.54)

чается уравнение (1.54) в пол-

т.е.

ных дифференциалах, то функ-

ция µ называется интегри-

µ(Mdx + Ndy) = du

(1.55)

рующим множителем.

6.

∂(µM )

=

∂(µN )

(1.56)

Условие, при котором уравне-

ние

(1.54) есть

уравнение в

∂y

∂x

полных дифференциалах.

7.

Если

1

∂M

−

∂N

= ϕ(x) ,

(1.57)

Замечание.

∂y

Интегрирующий

множитель

N

то

∂x

легко находится в двух случа-

ях: если выполняется условие

µ = e∫ϕ( x)dx

(1.58)

(1.57), то µ определяется по

1

∂M

∂N

формуле (1.58), а если справед-

Если

∂y

−

∂x

= ψ( y) ,

(1.59)

ливо условие (1.59), то µ опре-

то

M

деляется по формуле (1.60).

µ = e

∫ψ( y)dy

(1.60)