книги / Математика. Дифференциальные уравнения

Приравнивая друг другу коэффициенты при

sin 2x и cos 2x

в обеих частях равенства, получим:

sin 2x : −4B −8A +13B =5

−8A +9B =5

или

9A +8B =

.

cos 2x : −4A +8B +13A = 0

0

Отсюда

A = −

8

,

B =

9

, т.е. частным решением будет функ-

29

29

ция y* = −

8

cos 2x +

9

sin 2x , а общим

29

29

y = e−2x (C1 cos3x +C2 sin 3x) −

8

cos 2x +

9

sin 2x .

29

29

y′′− y′= 4ex ,

(*)

y′′− y′= −x + 2,

(**)

и находим для каждого из них частные решения y *

и y *.

1

2

Частное решение уравнения (*) ищем в виде

y * = Aex x , так

1

ческого уравнении.

Дифференцируя

y * и

подставляя в уравне-

1

ние (*), имеем:

y1*′ = Aex x + Aex = Aex (x +1) ,

*′′

x

(x +1) +e

x

= Ae

x

(x + 2) ,

y1

= A e

в уравнение (**), находим:

2B −2Bx −C = −x + 2.

1

x : −2B = −1,

x0

: 2B −C = 2.

Следовательно, B =

1

, C = −1.

2

Таким образом, y2* = 1 x −1

x =

x2

− x .

2

2

На основании (п. 4 §3 гл. II) частное решение данного урав-

нения:

y* = y * + y *

= 4ex x +

x2

− x .

1

2

2

Общее решение этого уравнения запишется в виде

y =

+ y* =C ex +C

+ 4ex

x +

x2

− x.

y

2

1

2

§4. Метод вариации произвольных постоянных

Изложим теперь метод, позволяющий отыскивать решение линей-

ного

неоднородного уравнения

a0 (x) y′′+ a1 ( x) y′+ a2 (x) y = f (x) ,

где

f ( x) – любая функция.

Основные формулы

Определения и замечания

1. a0 (x) y′′+a1 (x) y′+a2 (x) y =

f (x)

(2.34)

Линейное неоднородное диф-

ференциальное уравнение вто-

рого

порядка,

где

a0 (x) ,

a1 (x) , a2 (x) ,

f (x) –

задан-

ные непрерывные на (а; b)

функции, причем a0 (x) ≠ 0 ,

для любого

x (a;b) ,

f (x) –

любая функция.

Замечание.

Метод вариации постоянных в

равной мере применим как к

уравнениям

с

постоянными

коэффициентами, так и к

уравнениям, в которых коэф-

фициенты а0, а1, а2 являются

функциями от х.

54

Основные формулы

Определения и замечания

2.

a0 (x) y′′+a1 (x) y′+a2 (x) y = 0

(2.35)

Однородное уравнение,

соот-

ветствующее уравнению (2.34).

= C1 y1 +C2 y2

(2.36)

Общее

решение

уравнения

y

(2.35), где

y1 и y2

– линейно

независимы, а C1 и C2 – кон-

станты.

3.

y = C1 (x) y1 +C2 (x) y2

(2.37)

Следует запомнить:

общее

решение

уравне-

ния(2.34) будем искать в виде

(2.37), где C1 (x) и C2 (x) –

неизвестные функции, подле-

жащие

определению,

а

y1 = y1 (x) и y2 = y2 ( x) – из-

вестные частные решения од-

нородного уравнения (2.35).

Замечание.

Поскольку определению

под-

лежат

две

функции C1 (x) и

C2 (x) , то одним соотношени-

ем между ними можем распо-

рядиться произвольным обра-

зом.

4.

y′ = C1′( x) y1 +C1 (x) y1′ +

(2.38)

Следует запомнить:

под-

наиболее

целесообразно

+C2′(x) y2 +C2 (x) y2′

чинить C1 (x) и C2 (x) такому

C1′(x) y1 +C2′(x) y2 = 0

(2.39)

условию,

чтобы

выражение

для y′

имело тот

же самый

y′ = C1 (x) y1′ +C2 (x) y2′

(2.40)

вид, что и функция

y (форму-

ла (2.37)). Тогда получим ра-

венство (2.40).

Основные формулы

Определения и замечания

5.

y′′ = C1′(x) y1′ +C1 (x) y1′′+

(2.41)

Следует запомнить:

+ C2′ (x) y2′ +C2 (x) y2′′

если

y, y′,

y′′

подставить в

левую часть уравнения (2.34),

f (x)

C1′(x) y1′ +C2′ (x) y2′ =

(2.42)

получим второе условие (2.42)

a0 (x)

для

определения

C1 ( x)

и

C2 (x) .

C1′(x) y1 +C2′

(x) y2

= 0

Для

определения

функций

6.

f

( x)

(2.43)

C1 (x)

и C2 (x)

получена сис-

C1′(x) y1′ +C2′

(x) y2′

=

тема

(2.43), в которую вошли

a0

(x)

условия (2.39) и (2.42).

y

y

(2.44)

∆ –

главный

определитель

7.

∆ =

1

2

≠

0

системы (2.43).

y1′

y2′

Замечание

y1

y2

=W ( x)

∆ =

есть

оп-

y ′

y ′

1

2

ределитель Вронского.

∆ ≠ 0 ,

так

как

y1 = y1 (x)

и

y2 = y2 (x)

по

условию

ли-

нейно независимы (замечание,

п.5, §1, гл. II).

8.

Следует запомнить:

из системы (2.43) определяем

C1′(x)

и C2′ (x), а затем ин-

тегрированием и сами функ-

C1 (x) = ∫C1′(x)dx +C1

ции C1 ( x) и C2 (x) .

(2.45)

C2 (x) = ∫C2′ (x)dx +C2

(2.46)

Замечание

Подставляя (2.45) и (2.46) в

формулу (2.37), мы сразу по-

лучим общее решение неодно-

родного уравнения (2.34).

56

y =C1 (x)cos x +C2 (x)sin x.

(*)

Найдем первую производную:

y′=C1′(x)cos x −C1 ( x)sin x +C2′ (x)sin x +C2 (x)cos x.

Выберем y′ в том же виде, что и функция

y(*), тогда сумма

остальных слагаемых равна нулю,

C1′(x)cos x +C2′ (x)sin x = 0.

(2.47)

y =

sin x −ln

tg

x

+

π

+C

cos x +(−cos x +C

)sin x =

2

1

2

4

π

=C1 cos x +C2 sin x −cos x ln

x

+

tg

.

2

4

Основные формулы

Определения и замечания

1.

y′′ = f (x)

(3.1)

Дифференциальное уравнение вто-

рого порядка. Правая часть не со-

держит

y и y′,

т.е. правая часть

f (x) зависит только от x.

2.

y′ = ∫ f (x)dx +C1

(3.2)

Следует запомнить:

y = ∫ ∫ f (x)dx dx +C1x +C2 –

если правая часть уравнения зависит

(3.3)

только от x, общее решение (3.3)

общее решение уравнения.

находим непосредственным интег-

рированием дважды.

Замечание.

C1 и C2 – произвольные постоян-

ные.

3.

y(n) = f (x)

(3.4)

Дифференциальное уравнение n-го

порядка. Правая часть f (x) зави-

сит только от x.

y = ∫ dx∫...∫ f (x)dx +

(3.5)

Общее

решение (3.5) находится

4.

+C1xn−1 +C2 xn−2 +... +Cn

непосредственным

интегрировани-

ем уравнения (3.4)

последовательно

n раз.