Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

lab3_поток электрической индукции

.pdf
Скачиваний:
2
Добавлен:
07.11.2023
Размер:
466.47 Кб
Скачать

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)»

Лабораторная работа №3 по дисциплине: "Физика"

Тема: ИССЛЕДОВАНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ МЕТОДОМ МОДЕЛИРОВАНИЯ

Студент гр. 1323

 

В.В. Скопцов

Преподаватель

 

С.С. Чурганова

Санкт-Петербург 2023

Содержание

1

Основные теоретические положения

3

2

Основные расчётные формулы

4

 

2.1

Модуль нормальной составляющей вектора напряжённости . . . . . . . . . .

4

 

2.2

Погрешность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

3

Обработка экспериментальных данных

4

3.1Модуль значения индукции в произвольной точке . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3.2Контуры вокруг и вне электрода соответственно . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.3Значение потока вектора индукции (контур вокруг электрода) . . . . . . . . 5

3.4Значение потока вектора индукции (контур вне электрода) . . . . . . . . . . 6

3.5Погонный заряд цилиндра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Цели работы: ознакомление с методикой моделирования электростатического поля в токопроводящей среде; исследование электростатического поля, созданного системой проводящих тел; исследование интегральных характеристик электростатического поля – поток вектора напряженности и индукции, теорема Гаусса, циркуляция вектора напряженности.

Приборы и принадлежности: лабораторный макет установки для моделирования электростатического поля. В работе используется планшет 1, покрытый проводящей бумагой, с нанесенными на него металлическими электродами 2. На планшете установлены две подвижные линейки 3, с помощью которых определяются координаты щупа 4, подключенного к вольтметру PV. Помещая щуп в различные точки планшета и измеряя потенциал данной точки, можно построить картину исследуемого поля.

2

1Основные теоретические положения

Сила, воздействующая на заряд в электрическом поле:

 

−→

−→

= −q

∆φ

 

(1)

F

= qE

∆l

n,

где n — единичный вектор в направлении максимального изменения потенциала. Вектор плотности тока в проводящей среде:

−→

= −γ

∆φ

−→

(2)

J

∆l

n = γE ,

где γ — электропроводность среды (обратна удельному сопротивлению).

 

Из соотношений (1) и (2) следует, что оба поля потенциальны и линии напряжённости с линиями тока перпендикулярны линиям или поверхностям равного потенциала.

Абсолютное значение напряжённости поля для каждого цилиндра:

 

E =

 

τ

 

,

(3)

 

2πεε0r

где τ — абсолютное значение линейной плотности заряда на цилиндрах.

 

Соотношение между векторами напряженности поля и электрической индукции:

 

D

εε

E−→

 

−→ =

0

 

 

(4)

Поток вектора индукции электрического поля (теорема Гаусса):

 

ΦD = ZS D−→ds = ZS D−→nds = ZS D ds cos(D−→n) = ZS Dn ds,

(5)

где S — поверхность произвольной формы в области поля; n — единичный вектор нормали в данной точке поверхности.

Теорема Гаусса для электростатического поля:

 

I

D−→ds = Z

ρdV = QV ,

(6)

SV

где S — произвольная замкнутая поверхность в области поля; V — объем области поля, ограниченный поверхностью S; QV — заряд, распределенный в объеме V.

Определение электроемкости:

 

 

C =

Q

,

 

 

 

 

 

 

(7)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

φ

 

 

 

 

 

 

 

где Q — заряд, находящийся на проводящем теле, φ — потенциал этого тела. Электроем-

кость системы заряженных тел:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C =

 

 

 

Q

,

 

 

 

 

 

 

(8)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∆φ

 

 

 

 

 

 

 

где Q и ∆φ — заряд, переносимый с одного тела на другое и разность потенциалов, воз-

никающая между этими телами соответственно.

 

 

 

 

 

 

 

Энергия заряженного конденсатора:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W =

Q∆φ

=

 

Q2

=

C(∆φ)2

(9)

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

2C

 

 

 

 

Объемная плотность энергии электрического поля:

 

 

 

 

 

−→−→

εε0E

2

 

 

D

2

 

 

w =

E D

=

 

 

=

 

 

(10)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

2εε0

 

3

2Основные расчётные формулы

2.1Модуль нормальной составляющей вектора напряжённости

Вектор напряжённости из связи между напряжённостью и потенциалом равен:

−→ni

= − ni = − l

l

n

E

φ

φni

φni−1

 

r

ni

ni−1

 

 

 

 

 

 

Соответственно длина вектора напряжённости составит:

E

ni

=

φni φni−1 =

∆φni

 

 

lni lni−1

 

∆lni

2.2Погрешность

 

 

 

∆Ei = s

∂φi

Θφ

2

+ ∂φi+1 Θφ

∂∆li Θl

+

∂∆lii+1

Θl

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂Ei

 

 

 

 

 

∂Ei

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂Ei

 

 

∂E +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

li+1 − li

 

φi

 

2

 

 

 

li+1 − li

 

 

φi+1

 

2

 

 

(li+1 − li)2

li

2

 

 

(li+1

− li)2

li+1

2

 

 

 

 

=

 

 

1

Θ +

 

 

 

 

1

 

Θ

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

φi

φi+1

Θ +

 

 

 

 

 

φi − φi+1

Θ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi+1 − xi

 

 

φi

 

2

 

 

 

(xi+1 − xi)2

 

 

xi

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∆E = 2

 

 

1

 

 

Θ

 

 

 

 

 

+ 2

 

φi φi+1

Θ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yi+1 − yi

 

 

φi

 

2

 

 

 

(yi+1 − yi)2

 

yi

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∆E = 2

 

 

1

 

 

Θ

 

 

 

 

 

+ 2

 

φi φi+1

Θ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∆E = q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∆Ex2 + ∆Ey2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi+1

− xi

 

φi

 

2

 

(xi+1 − xi)2

 

xi

 

2

 

 

yi+1 − yi

 

φi

 

2

(yi+1

− yi)2

yi

 

2

∆E = 2

1

 

 

Θ

 

 

 

 

 

+ 2

 

φi φi+1

Θ

 

 

 

+ 2

 

 

 

 

1

 

Θ

 

 

 

 

 

+ 2

 

 

φi φi+1

Θ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∆D = εε0∆E

3Обработка экспериментальных данных

ε

n, мм.

l, см.

r, см.

U, В.

∆l, м.

∆r, м.

1

1

24

1,5

14

1

1

Таблица 1: Константы

3.1Модуль значения индукции в произвольной точке

1

2

3

x, см.

24.00

24.50

24.50

y, см.

14.00

14.00

13.50

φ, В

3.04

2.80

2.71

Таблица 2: Измерения в произвольной точке поля

4

Составляющие вектора напряженности Ex и Ey :

 

 

 

 

Ex =

φ1

− φ2

=

3.04

− 2.80

 

= 4, 89(В/см)

 

 

 

 

x2

− x1

(24.50

 

 

 

 

 

 

− 24.00)

 

 

E =

φ2 − φ3

=

2.80 − 2.71

=

1, 76

 

(13.50 − 14.00)

y

x3 − x2

 

 

 

(В/см)

Составляющие вектора индукции Dx и Dy :

Dx = εε0Ex = 1 · 8.85 · 10−12 · 4, 89 = 4, 32 · 10−11(Кл/см2) Dy = εε0Ey = 1 · 8.85 · 10−12 · 1, 76 = −1, 55 · 10−11(Кл/см2)

Погрешность модуля вектора напряженности ∆E : ∆E =

= v2

 

0.005

 

2

+

(3, 04 − 2, 80) · 0.05

 

2

+

 

0.005

 

2

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

u

24, 50 24, 00

 

24, 50 24, 00

 

 

(14, 00 13, 50)

 

Погрешность модуля вектора индукции ∆D :

∆D = εε0∆E = 1 · 8.85 · 10−12 · 0.4898 = 0.189 · 10−10(Кл/м2)

Значение вектора индукции с погрешностью:

D ± ∆D = (4, 599 ± 0, 189) · 10−10(Кл/м2)

!

2

0.09 · 0.05

+(14, 00 − 13, 50)2

3.2Контуры вокруг и вне электрода соответственно

 

1

 

2

 

3

 

4

 

5

6

7

8

 

9

 

10

 

11

 

12

 

13

 

14

 

15

16

 

 

φ

2,85

 

2,96

 

3,03

 

3,13

 

3,21

3,33

3,44

3,55

 

3,67

 

3,77

 

3,85

 

3,99

 

4,04

 

4,18

 

4,27

4,44

 

 

φ

2,92

 

3,01

 

3,08

 

3,14

 

3,24

3,35

3,46

3,59

 

3,69

 

3,78

 

3,88

 

4,00

 

4,09

 

4,21

 

4,23

4,47

 

 

Ei

0.14

 

0.10

 

0.10

 

0.02

 

0.06

0.04

0.04

0.08

 

0.04

 

0.02

 

0.06

 

0.02

 

0.10

 

0.06

 

-0.08

0.06

 

 

Ei

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3,38

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∆E

0.02

 

0.02

 

0.02

 

0.01

 

0.01

0.01

0.01

0.01

 

0.01

0.01

0.01

0.01

0.02

 

0.01

 

0.01

0.01

 

 

P i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 3: Данные контура, охватывающего один из электродов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

3

 

4

 

5

6

 

7

 

8

 

 

9

 

 

10

 

 

11

 

 

12

 

 

13

 

 

14

 

 

15

 

16

 

 

φ

 

7,2

 

7,59

 

7,98

 

8,34

 

8,9

8,79

 

8,69

 

8,61

 

8,22

 

7,97

 

7,7

 

 

7,46

 

6,89

 

6,89

 

6,89

 

6,85

 

 

φ

 

7,35

 

7,76

 

8,12

 

8,48

 

8,78

8,69

 

8,6

 

8,52

 

8,32

 

8,04

 

7,79

 

7,54

 

7,15

 

7,15

 

7,14

 

7,14

 

 

Ei

 

0.30

 

0.34

 

0.28

 

0.28

 

-0.24

-0.20

 

-0.18

 

-0.18

 

0.20

 

0.14

 

0.18

 

0.16

 

0.52

 

0.52

 

0.50

 

0.58

 

 

Ei

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-0,76

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∆E

 

0.02

 

0.02

 

0.01

 

0.01

 

0.01

0.02

 

0.02

 

0.02

 

0.01

 

0.01

 

0.02

 

0.01

 

0.01

 

0.01

 

0.02

 

0.02

 

 

P i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 4: Данные контура, вне электрода

3.3Значение потока вектора индукции (контур вокруг электрода)

Рассмотрим цилиндр высотой h = 1см, основанием которого является выбранный контур ABCD, охватывающий электрод. Вычислим значение потока вектора индукции сквозь поверхность цилиндра.

5

X

ΦD = εε0ΦE = εε02πrh Ei = 1 · 8, 85 · 10−12 · 2 · 3, 14 · 3 · 1 · 3, 38 = 5, 64 · 10−10Кл/см2

i

3.4Значение потока вектора индукции (контур вне электрода)

Рассмотрим цилиндр высотой h = 1см, основанием которого является выбранный контур ABCD, не охватывающий электрод. Вычислим значение потока вектора индукции сквозь поверхность цилиндра.

X

ΦD = εε02πrh Ei = 1 · 8, 85 · 10−12 · 2 · 3, 14 · 3 · 1 · −0, 76 = −1, 27 · 10−14Кл/см2

i

3.5Погонный заряд цилиндра

C = Q = 5, 64 · 10−10 = 5, 64 · 10−10Кл/см h 1

Вывод: В ходе выполнения лабораторной работы ознакомились с методикой моделирования электростатического поля в токопроводящей среде, исследовали электростатическое поле, созданное системой проводящих тел. Рассчитано значение электрической индукции поля в произвольно выбранной точке D ± ∆D = (4, 599 ± 0, 189) · 10−10(Кл/м2), на эскиз модели нанесено изображение найденного вектора индукции. На основе проведённых измерений рассчитаны значения потока вектора электрической индукции поля сквозь замкнутые поверхности, одна из которых не охватывает электрод ΦD = −1, 27·10−14Кл/см2, а вторая охватывает ΦD = 5, 64 · 10−10Кл/см2. Теоретическое значение потока вектора индукции сквозь поверхность, внутри которой отсутствуют электрические заряды, равно нулю. Неравенство нулю вычисленного значения потока вектора индукции вне электрода обусловлено погрешностями измерения потенциала. Также было измеренно значение погонного заряда цилиндра, охватывающего электрод C = 5, 64 · 10−10Кл/см.

6